《三角恒等变换》课后习题
复习巩固
1．已知sin α＝，cos β＝，α∈，β∈，求cos（α－β）的值．
2．已知α，β都是锐角，cos α＝，cos（α＋β）＝，求cos β的值．（提示：β＝（α＋β）－α．）
3．已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α的值．
4．在△ABC中，sin A＝，cos B＝，求cos C的值．
5．已知tan（α＋β）＝3，tan（α－β）＝5，求tan 2α，tan 2β的值．
6．化简：
（1）sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；
（2）sin 164°sin 224°＋sin 254°sin 314°；
（3）sin（α＋β）cos（γ－β）－cos（β＋α）sin（β－γ）；
（4）sin（α－β）sin（β－γ）－cos（α－β）cos（γ－β）；
（5）；
（6）．
7．已知sin α＝0.80，α∈，求sin 2α，cos 2α的值（精确到0.01）．
8．求证：
（1）（sin 2α－cos 2α）2＝1－sin 4α；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
9．已知sin（α＋β）＝，sin（α－β）＝，求证：
（1）sin αcos β＝5cos αsin β；
（2）tan α＝5tan β．
10．已知，求证．
11．已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切．
12．化简：
（1） （2）；
（3）； （4）．
综合运用
13．在△ABC中，已知tan A，tan B是x的方程x2＋p（x＋1）＋1＝0的两个实根，求∠C．
14．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于，则cos A＝（ ）．
（A） （B） （C） （D）
15．求证：
（1）3＋cos 4α－4cos 2α＝8sin 4α；
（2）．
16．是否存在锐角α，β，使α＋2β＝，同时成立？若存在，求出α，β的度数；若不存在，请说明理由．
17．（1）求函数的周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）＝asin x＋bcos x（a2＋b2≠0）的最大值和最小值．
拓广探索
18．观察以下各等式：
sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝，
sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝，
sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝．
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
19．你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？
20．设f（α）＝sinxα＋cosxα，x∈｛n｜n＝2k，k∈N＋｝．利用三角变换，估计f（α）在x＝2，4，6时的取值情况，进而猜想x取一般值时f（α）的取值范围．
答案
1．． 2．． 3． 4．．
5．tan 2α＝；tan 2β＝．
6．（1）． （2）． （3）sin（α＋γ）．
（4）－cos（α－γ）． （5）． （6）tan（β－α）．
7．sin 2α＝0.96；cos 2α＝－0.28．
8．（1）（2）略． （3）提示：用sin2φ＋cos2φ代替1，用2sin φcos φ代替sin 2φ．
（4）略． （5）提示：用2sin2 θ代替1－cos 2θ，用2cos2θ代替1＋cos 2θ． （6）略．
9．证明略．
10．由已知可解得tan θ＝．于是tan 2θ＝，．因此tan 2θ＝－4tan（θ＋）．
11．设圆心角为α，则同弧所对的圆周角为．因为sinα＝，所以0°＜α＜180°，0°＜＜90°．当0°＜α＜90°时，cosα＝，，，tanα＝．当90°＜α＜180°时，cosα＝，，，tanα＝3．
12．（1）． （2）；
（3）． （4）．
13．135°．
14．C．提示：设BC边上的高与BC边交于点D，则∠BAD＝，且AD＝BD．因为AD＝，所以DC＝2AD，所以sin∠CAD＝，cos∠CAD＝．所以cosA＝cos（∠BAD＋∠CAD）＝．
15．略．
16．设存在锐角α，β使α＋2β＝，所以，，又，于是有．由此可解得tanβ＝1，．所以．经检验，是符合题意的两锐角．
17．（1）函数的周期为，单调递增区间为，k∈Z．
（2）函数的最大值为，最小值为．
18．反映一般规律的等式不唯一，例如：sin2α＋cos2（α＋30°）＋sin αcos（α＋30°）＝；sin2（α－30°）＋cos2α＋sin（α－30°）cos α＝；sin2（α－15°）＋cos2（α＋15°）＋sin（α－15°）cos（α＋15°）＝；sin2α＋cos2β＋sin αcos β＝，其中β－α＝30°；等等．证明略．
19．线段AB的中点M的坐标为（（cos α＋cos β），（sin α＋sin β））．过M作MM1垂直于x轴，交x轴于M1．∠MOM1＝（β－α）＋α＝（α＋β）．
在Rt△OMA中，．在Rt△OM1M中，OM1＝OMcos ∠MOM1＝，M1M＝OMsin ∠MOM1＝．于是有（cosα＋cosβ）＝，（sinα＋sinβ）＝．
20．当x＝2时，f（α）＝sin2α＋cos2α＝1；
当x＝4时，f（α）－sin4α＋cos4α－1－sin22α．因为0≤sin22α≤1，所以≤f（α）≤1；
当x＝6时，f（α）＝sin6α＋cos6α－1－sin22α．所以≤f（α）≤1．
由此猜想，当x＝2k，k∈N＋时，≤f（α）≤1．
