专题17 手拉手－旋转相似模型
1．如图，，，交于，图中相似三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
2．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（ ）
A．AB：AC B．BC：AC
C．AB：BC D．AC：AB
3．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点D是AC上的点，连接AE，下列相似三角形：①△BCD∽△BEO；②△AOD∽△EOB；③△AOE∽△DOB；④△BOD∽△BDA．成立的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，已知，当 时，．
5．如图，AB＝4，AC＝，∠DAB＝∠DBC＝30°，∠BDC＝90°，ED⊥AD交AB于E，则DE的长是 ．
6．在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片和如图放置（其中，，．、分别与边相交于、两点．请完成下列探究：
（1）若，则的值为 ；
（2）过作于，若，则的值为 ．
7．如图，已知．求证：．
8．已知：如图，.求证：.
9．问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值．
10．如图，在ABC与DEC中，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=6，BC=3，CD=5，CE=2.5，连接AD，BE．
（1）求证：ACD∽BCE；
（2）若∠BCE=45°，求ACD的面积．
11．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：
（1）△ABC∽△ADE
（2）若AC︰BC＝3︰4，求BD︰CE为多少．
12．如图，点B在线段CD上，在CD的同一侧作两个等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB＝∠BED＝90°，AD与CE，BE分别交于点P，M，连接PB．
（1）若AD＝k CE，则k的值是______；
（2）求证：△BMP∽△DME；
（3）若BC，PA＝3，求PM的长．
13．如图，，绕点A逆时针旋转得到，恰好点在上，连接．
(1)与有何关系？并说明理由；
(2)与有何关系？并说明理由；
(3)线段与在位置上有何关系？为什么？
14．已知是等腰三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点、点的对应点分别是点、点．
感知：（1）如图①，当落在边上时，与之间的数量关系是___________（不需要证明）；
探究：（2）如图②，当不落在边上时，与是否相等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由；
应用：（3）如图③，若，、交于点，则__________度．
15．如图，已知
求证：（1）;
（2）.
16．把两个等腰直角和按如图1所示的位置摆放，，将绕点按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为．
(1)求证：．
(2)如图3，若点在线段上，且，，求的长．
(3)当旋转角_________时，的面积最大．
17．
(1)【问题发现】
如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．填空：
①线段CF与DG的数量关系为 ；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为 ．
(2)【拓展探究】
如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．
(3)【解决问题】
如图③，和都是等腰直角三角形，，，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为 （直接写出结果）．
18．【问题背景】如图，在和中，，由已知可以得到：
①________________；
②________________．
【尝试应用】如图，在和中，，
求证：．
【问题解决】如图，在和中，与相交于点F，点D在上，，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】根据两个角相等可以证明，和，根据两边成比例且夹角相等可以证明．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，，
即，
，
，
，
，
，
．
图中相似三角形共有4对．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，有条理的找出相似的条件是解题的关键．
2．A
【分析】利用旋转的性质得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，则可判断△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断．
【详解】解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，
∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3．D
【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可．
【详解】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠CAB=60°，∠EDB=∠DBE=∠DEB=60°，
∴∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD，
∴∠CBD=∠ABE，
∴△BCD∽△BEO，
故①正确；
∵∠AOD=∠BOE，∠DAB=∠DEB=60°，
∴△AOD∽△EOB，
故②正确；
∵△AOD∽△EOB，
∴，
∵∠AOE=∠DOB，
∴△AOE∽△DOB，
故③正确；
∵∠DBA=∠DBO，∠DAB=∠ODB=60°，
∴△BOD∽△BDA，
故④正确，
所以，相似三角形成立的有4对．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
4．
【分析】因为，可得，再根据两边成比例且夹角相等，两三角形相似，所以添加条件后，．
【详解】解：添加条件后，．理由如下：
，
，
即，
又，
．
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题关键是熟悉相似三角形判定定理．
5．
【分析】连接CE，先证△ABD∽△ECD，得到，∠ABD=∠ECD，再证∠BEC=90°，由AB=4，得到，则,．
【详解】解：如图所示，连接CE，
∵∠BDC=90°，AD⊥DE，∠EAD=∠CBD=30°，
∴，∠ADE+∠BDE=∠BDC+∠BDE，
∴∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴，∠ABD=∠ECD，
∵∠DBC+∠DCB=90°，
∴∠DBC+∠ECB+∠ECD=90°，
∴∠DBC+∠ECB+∠EBD=90°，
∴∠BEC=90°，
∵AB=4，
∴，
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
6． 4
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，可得，即可证明，可得，即可求解；
（2）过点作于点，可得，由等腰直角三角形的性质可得，，从而可得，即可证得，可得，设，则，，即可求解．
【详解】解：（1）和为等腰直角三角形，
，，，
，，
，
∴，
，
，
，
故答案为：4．
（2）如图，过点作于点，
，
，
，，
，
∴，
，
，
设，则，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题关键是利用图形找到相似三角形，熟练运用相似三角形的性质．
7．证明见解析．
【分析】根据可推出，，进一步得出即可证．
【详解】证明：，
，，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的证明，熟知两边成比例和夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
8．见解析.
【分析】先利用得到，再利用比例性质得，加上，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论.
【详解】证明：∵，
∴，，
∴，，
即，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了相似三角形的性质.
9．问题背景：见解析；尝试应用：3
【分析】（1）问题背景：由题意得出，，则，可证得结论；
（2）尝试应用：连接，证明，由（1）知，由相似三角形的性质得出，，可证明，得出，则可求出答案．
【详解】问题背景
证明：，
，，
，，
；
尝试应用
解：如图1，连接，
，，
，
由（1）知，
，，
在中，，
，
．
，，
，
．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；
（2）过点作交于点，由得，是等腰直角三角形，即可求出，由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1），
，
，
，，，，
，
；
（2）如图，过点作交于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
解得：，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质与三角形的面积，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）5：3
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法证明即可．两组角对应相等的两个三角形相似；
（2）由△ABC∽△ADE可得和∠BAC=∠DAE，进而根据两组边对应成比例证明出△ACE∽△ABD，然后根据相似三角形对应边成比例和已知条件即可求出BD︰CE的值．
【详解】（1）∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，，
∵∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
即∠CAE=∠BAD，
∵，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
∵AC：BC=3：4，∠ACB=∠AED=90°，
∴AC：BC：AB=3：4：5，
∴BD：CE=5：3，
故答案为：5：3．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．
12．（1）；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）根据两组角对应相等得到△ABD∽△CBE，根据相似三角形的性质和勾股定理可得k的值；
（2）根据△ABD∽△CBE得到∠ADB＝∠CEB，利用两组角相等得到△BMD∽△EMP，从而得到，进而可以得到结论；
（3）首先证明△ABP∽△AMB，得到，利用腰直角△ABC得到AB的值，可以根据线段关系求解．
【详解】解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
且∠ACB＝∠BED＝90°，又点B在CD上，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE＝135°，
又∴ ，
∴△ABD∽△CBE，
∴
∴k的值是；
(2)证明：∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
且∠ACB＝∠BED＝90°，又点B在CD上，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE＝135°，
又∵ ，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠ADB＝∠CEB， 又∠BMD＝∠EMP，
∴△BMD∽△EMP，
∴，
又∵∠BMP＝∠EMD，
∴△BMP∽△DME．
（3）∵△BMP∽△DME，
∴∠BPM＝∠BED＝90°，
又∵∠ABM＝180°－45°－45°＝90°，∠BAP＝∠MAB，
∴△ABP∽△AMB，
∴，即，
∵在等腰直角△ABC中，AB＝，
∴，，
则．
【点睛】本题考查的是三角形的相似的性质与判定和等腰直角三角形的性质，熟练应用三角形相似的判定是解决本题的关键．
13．(1)与互补；见解析
(2)与相似；见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据旋转的性质可知，，然后利用角的加减运算即可计算出答案；
（2）根据旋转的性质可知，，，，然后利用等边对等角的性质，等角的余角相等的性质即可得出答案；
（3）根据（2）可知，，然后利用互余的性质即可得出答案.
【详解】（1）与互补，理由如下：
由旋转的性质知：
∵，
；
即，
∴与互补．
（2）与相似，理由如下：
由旋转的性质知：，，
∴在中，，
在中，
又∵，
∴
即；
∴．
（3），理由如下：
由（2）可知，
∵在中，
∴
∵
∴，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质及三角形相似的判定，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
14．（1）；（2），利用见解析；（3）135
【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据已知条件证明，即可得解；
（3）根据等腰三角形的性质和旋转性质计算即可；
【详解】解：感知：由旋转可得，，，
∴，
∴，
探究：，
证明：∵由旋转可得，，，
∴，
∴，
∴．
应用：∵，
∴，
由探究可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
设与AE的交点为O，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案是135．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．
15．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据三边对应成比例两三角形相似得到△ABC∽△ADE，然后根据三角形相似的性质和等量代换即可证明；
（2）根据两条对应边成比例，且夹角相等，两三角形相似即可证明．
【详解】（1）证明：∵
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC
即：∠BAD＝∠CAE
（2）由（1）得：∠BAD＝∠CAE
又∵
∴△ABD∽△ACE
【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件和性质，关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
16．(1)见解析；
(2)5；
(3)90°或270°；
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，求得∠BAD=∠CAE即可证明；
（2）过点A作AH⊥BE于H，由△ABD≌△ACE可得BD=CE，由等腰三角形三线合一的性质可得AH=DH=EH=DE=，由BC求得AB，再由勾股定理求得BH即可解答；
（3）根据D点轨迹可得当AD⊥AB时，△ABD面积最大，由旋转的性质求得即可；
【详解】（1）证明：△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC，
∠BAC=∠DAE=90°，则∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
（2）解：如图，过点A作AH⊥BE于H，
由（1）证明同理可得△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴AH是斜边中线，
∴AH=DH=EH=DE=，
Rt△ABC中，∠ABC=45°，BC=13，
∴AB=BCcos∠ABC=，
Rt△ABH中，BH==，
∴BD=BH-DH=5，
∴CE=BD=5；
（3）解：∵D点轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，
∴AD的长度为定值，
∵AB的长度为定值，
∴△ABD底边AB上的高≤AD
∴当AD⊥AB时，△ABD面积最大，即点D在直线AC上，
①如图当时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
②如图当时，AD⊥AB，△ABD面积最大，
∴当为90°或270°时，△ABD面积最大；
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；掌握旋转的性质是解题关键．
17．(1)①CF＝DG；②45°
(2)结论不变．理由见解析
(3)
【分析】（1）连接AF．易证A，F，C三点共线．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．
（2）连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．证明△CAF∽△DAG即可解决问题．
（3）证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OE⊥CE时，OE的长最短．
【详解】（1）解：如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；
②直线CF与DG所夹锐角的度数为45°．
理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．
∵AF＝AG．AC＝AD，
∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．
故答案为CF＝DG，45°．
（2）解：结论不变．
理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．
∵∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAF＝∠DAG，
∵AC＝AD，AF＝AG，
∴＝＝，
∴△CAF∽△DAG，
∴＝＝，∠AFC＝∠AGD，
∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，
∵∠AOF＝∠GOK，
∴∠K＝∠FAO＝45°．
（3）解：如图3中，连接EC．
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴点E的运动轨迹是在射线CE上，当OE⊥CE时，OE的长最短，
∵AB=AC=10
∴OA=OC=5
∵
当OE⊥CE时，为等腰直角三角形
则
∴
∴OE=
∴OE的最小值为，
故答案为： ，
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．问题背景：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE；尝试应用：见解析；问题解决：3
【分析】问题背景：利用证明△ABD≌△ACE即可；证明利用两个角对应相等的两个三角形相似可得答案；
尝试应用：先证明△ABC∽△ADE，可得，∠CAB＝∠EAD，再证明∠CAE＝∠BAD，从而可得结论；
问题解决：连接CE，依次证明△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE，△ADF∽△ECF，可得，结合，从而可得答案.
【详解】问题背景：
解：①
△ABD≌△ACE；
②
△ABC∽△ADE．
尝试应用：
解：∵
△ABC∽△ADE
∴，∠CAB＝∠EAD
∴∠CAE＝∠BAD
∴△ACE∽△ABD．
问题解决：
解：同理：△ABC∽△ADE，连接CE
∴△ABD∽△ACE
∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE=30°，
∴△ADF∽△ECF
∴
∵，
∴
∵
∴
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的应用相似三角形的判定方法解决问题是解本题的关键.
