哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年度（上）学期
假期学情反馈活动（九年级数学）
活动时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定根的情况
4．在矩形ABCD中，，，则点A到对角线BD的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
5．有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个矩形的两条对角线的夹角有一个角为60°，且这个角所对的边长为5cm，则矩形的对角线长是（ ）
A． B．20cm C．10cm D．
7．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得米，则树的高AB（单位：米）为（ ）
A． B． C． D．
8．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若，，则线段BM的长是（ ）
图① 图②
A．3 B． C．2 D．1
9．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达青少年宫；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共30分）
11．中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16000000余册数据16000000用科学记数法表示为________．
12．若方程的一个根为1，则________．
13．直角三角形两条直角边长分别为1和2，则这个直角三角形斜边的中线为________．
14．函数中，自变量x的取值范围是________．
15．在一次函数中，y随x的增大而增大，则k的取值范围是________．
16．△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为________．
17．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，按照这个规律，方程的解为________．
18．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为________．
19．在△ABC中，，，高，则△ABC的周长为________．
20．如图，在△ABC中，，D是△ABC外一点，连接BD和DC，，，，则线段BC的长为________．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24各8分，25-27各10分，共60分）
21．先化简，再求值：，其中
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸上画以AB为斜边的等腰Rt△ABE；
（2）在方格纸中画以CD为斜边的Rt△CDF，点F在小正方形的顶点上，，连接EF，并直接写出线段EF的长．
23．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则________，________．
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
24．在四边形ABCD中，AC为对角线，．于点E，，．
图1 图2
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长BE，交AD边的延长线于点F，交CD边于点G，连接CF、DE，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与△ABF相似，但不全等的三角形．
25．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若设日销售量为S，每千克应涨价x元，请写出S与x的函数关系式，并求出销售量最大时，每天盈利多少？
26．正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、BF交于点G，且
图1 图2
（1）如图1，连接DG，求∠DGF的度数；
（2）如图2，点M在CD边上，且，求证：；
（3）如图2，在（2）的条件下，若，，求CF的长．
27．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过点A作交x轴于点C．
图1 图2
图3
（1）如图1，求直线AC的解析式；
（2）如图2，点P在y轴负半轴上，点Q在线段AC上，若，设点P的纵坐标为t，线段AQ的长为d，求d与t的函数关系式（直接写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长PQ交射线BA于点E，过点E作交y轴于点F，若，求点Q的坐标．
