奥数拓展第二讲：圆综合-数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）。
A．因为扇形是它所在圆的一部分，所以圆的一部分一定是扇形
B．圆的面积比扇形的面积大
C．在一个圆内，剪去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形
D．将一个圆对折3次后，所得到的扇形圆心角是120°
2．下雨了，小蚂蚁要从A点把食物运回B点，两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度爬（路线如下图）。哪只蚂蚁先把食物运回B点？（ ）
A．同时到达 B．上面的蚂蚁 C．下面的蚂蚁
3．如图，阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则阴影部分的面积是大圆面积的（ ）。
A． B． C．
4．下图中，正方形的面积是10平方厘米，圆的面积是（ ）。
A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米
5．如下图，三张正方形铁皮的边长都是16厘米，分别按下图剪下不同规格的圆片。哪种剪法最浪费材料？（ ）
A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．三种浪费的同样多
6．在如图所示的比赛场中（弯道部分为半圆），赛车左、右轮子的距离为2米，若赛车按照指定的方向绕一圈后，下列说法正确的有（ ）。
①在第一段弯道上，右轮比左轮多走了2π米。
②第二段弯道上右轮比左轮多走了2π米。
③第三段、第四段盘道右轮比左轮共多走4π米。
④赛车跑完全程，右轮比左轮多走8π米。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．如图，边长为8厘米的正方形中依次挖去了四个半圆，阴影部分的面积是( )平方厘米。（结果用含有π的式子表示）
8．如图中，正方形的面积是40平方厘米，正方形内的小圆面积是( )平方厘米。正方形外的大圆面积是( )平方厘米。
9．和玩运动游戏，从A出发，沿着实线部分（箭头方向）在圆上一直运动，也从A出发，沿着圆内的虚线部分来回运动。如果的速度是的2倍，跑( )圈就能与相遇。（不列式，直接答）
10．一个圆形纸片，沿半径剪成32个相等的小块后，拼成了一个长是6.28厘米的近似长方形，原来圆形纸片的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
11．从一个正方形中剪一个最大的圆，圆的面积是125.6平方厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。
12．如图，涂色部分占整个图形的；如图，正方形的面积是8平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。
13．在一个半径为6厘米的圆中画一个圆心角为120°的扇形，这个扇形的面积是( )平方厘米．
14．如图，把一个直径6厘米的圆形硬纸片放在一张长方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不可能接触到的部分的面积是( )平方厘米。
三、解答题
15．下图中阴影②比阴影①的面积大10.8平方厘米。BC长多少厘米？（取3.14）
16．水运是世界上最省力的木材运输方法，伐木工人将采伐的木材并排捆扎在一起，利用木材的浮力和水流的动力运输木材，从而节约成本。如图，把8根直径约为1米的圆木用铁丝紧紧地并排捆扎在一起，像这样前、后各捆1圈一共要用铁丝多少米？（接头处忽略不计）
17．如图，每个小正方形的边长是2厘米。
①照样子，用圆规在长6厘米、宽4厘米的长方形中画出一个“逗号”。
②这个“逗号”的周长是（ ）厘米。
18．在学习“圆的认识”时，王老师在边长为20cm的正方形硬纸板上有圆。（不能拼接）
（1）如图1，正方形硬纸板剪完一个圆后剩下的边角料的面积是多少？
（2）如图2，像这样剪4个大小相等的圆，剩下的边角料的面积是多少？正中心的边角料（阴影部分）的面积是多少？
（3）猜想：继续像上面这样剪图片，在正方形硬纸板上剪下9个大小相等的圆，剩下的边角料是多少？剪16个圆呢？从中你发现了什么？为什么会这样呢？请写出你的想法。
19．阅读分析。
小米同学六一儿童节期间去必胜客买披萨，点了一个12英寸的披萨。一会儿服务员过来说：“12英寸披萨卖完了，给你换2个8英寸的”，如果披萨的材料和厚度都一样，请你帮小米同学算一算划不划算？（关于披萨的知识：披萨通常做成圆形，“英寸”指的是直径长度，12英寸约是30厘米，8英寸约是20厘米）
20．量一量，画一画，算一算。
（1）量一量，上面这个圆的直径是（ ）厘米。
（2）这个圆沿直线向右滚动一周时，圆心前进的距离是（ ）厘米。
（3）请画出这个圆向右滚动一周后在直线上的正确位置，并标出这时的圆心和点。
参考答案：
1．C
【分析】根据对圆和扇形的理解逐项分析即可。
【详解】A．因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆的一部分是一段弧，而不是扇形，原题说法错误。
B．圆和扇形的半径不确定，面积大小无法确定，原题说法错误。
C．根据扇形和圆的特征即可判断，在一个圆内，剪去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形，原题说法正确。
D．将一个圆对折3次后，平均分成8份，所得到的扇形圆心角是360°÷8＝45°，原题说法错误。
故答案为：C
【点睛】本题考查对圆和扇形的理解。
2．A
【分析】根据图可知，上面蚂蚁走了一个大半圆的圆弧，下面的小蚂蚁走了4个半圆弧的长度，可以设下面小蚂蚁走的4个半圆的直径分别是d1，d2，d3，d4，根据圆的周长公式：C＝πd，分别求出两只蚂蚁走的路程，再进行比较即可。
【详解】设四个小半圆的直径分别是d1，d2，d3，d4。
上面蚂蚁走的长度：π×（d1＋d2＋d3＋d4）÷2
下面蚂蚁走的长度：π×d1÷2＋π×d2÷2＋π×d3÷2＋π×d4÷2＝π×（d1＋d2＋d3＋d4）÷2
由此即可知道两只蚂蚁走的长度一样，所以同时把食物运回B点。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查圆的周长公式，要注意当多个小圆的直径和跟大圆的直径相等时，两个圆的周长相等。
3．C
【分析】阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则大圆的半径＝小圆的半径×2，根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2）；即圆环面积＝π×（4×小圆半径2－小圆半径2），圆环面积＝3π×小圆半径2；大圆面积＝π×（小圆半径×2）2＝4π×小圆半径2；再用圆环面积÷大圆面积，即可解答。
【详解】根据分析可知，阴影部分（圆环）面积＝3π×小圆半径2；
大圆面积＝4π×小圆半径2；
3π×小圆半径2÷4π×小圆半径2
＝3÷4
＝
如图，阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则阴影部分的面积是大圆面积的。
故答案为：C
【点睛】本题考查圆环的面积公式，圆的面积公式的应用，关键求出大圆半径与小圆半径之间的关系。
4．B
【分析】如下图所示，把正方形平均分成两个完全相同的三角形，每个三角形对应的一组底和高分别等于圆的直径（2r）和半径（r）。已知正方形的面积是10平方厘米，则每个三角形的面积是10÷2＝5（平方厘米）。三角形的面积＝底×高÷2＝2r×r÷2＝5（平方厘米），据此可得r2＝5，则圆的面积＝πr2＝5π（平方厘米）。
【详解】10÷2＝5（平方厘米）
2r×r÷2＝5
2r2÷2＝5
r2＝5
圆的面积＝πr2＝5π（平方厘米）
故答案为：B
【点睛】把正方形平均分成两个三角形，根据三角形的底和高与圆的半径的关系，得出r2的值是解题的关键。
5．D
【分析】要想知道哪种剪法最浪费材料，就是求哪张铁皮剩下的废料多，由题意可知：
剪法1：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－一个大圆的面积；
剪法2：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－4个小圆的面积；
剪法3：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－16个小圆的面积；
正方形的边长是16厘米，则能求出正方形的面积和圆的面积，从而求得剩下的铁皮的面积。
【详解】因为正方形的边长是16厘米，则正方形的面积：16×16＝256（平方厘米）
剪法1：圆的半径：16÷2＝8（厘米）
剩下的铁皮的面积：
256－3.14×82
＝256－200.96
＝55.04（平方厘米）
剪法2：圆的半径：16÷4＝4（厘米）
剩下的铁皮的面积：
256－3.14×42×4
＝256－200.96
＝55.04（平方厘米）
剪法3：圆的半径：
16÷4÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
剩下的铁皮的面积：
256－3.14×22×16
＝256－12.56×16
＝256－200.96
＝55.04（平方厘米）
所以剩下的铁皮同样多，三种浪费得同样多。
故答案为：D
【点睛】解答此题的关键是明白：剩下的铁皮的面积＝正方形的面积－圆的面积，只要补充上直径的长度，即可求解。
6．B
【分析】根据题目逐项进行判断正误即可。
【详解】①在第一段弯道处是左转弯，假设右边轮子压着右边线走，经过弯道右轮走了半个半径为50的圆周长，为50π米，左轮与右轮的距离为2米，所以左轮走了半个半径为（50－2）π＝48π，所以右轮比左轮多走：50π－48π＝2π（米），正确。
②第二段弯道处为右转弯，右轮走的距离为50r米，左轮走（50＋2）π＝52π（米），所以左轮比右轮多走：52π－50π＝2π（米），题中说右轮比左轮多为错误说法。
③第三段和第四段都是左转弯，第三段右轮比左轮多走：50π－（50－2）π＝2π（米）；
第四段右轮比左轮多走：150π－（150－2）π＝2π（米）；
所以第三段和第四段右轮比左轮共多走2π＋2π＝4π（米），正确。
④结合以上可知，第一段、第三段、第四段都是左转弯，是右轮比左轮多走：2π＋2π＋2π＝6π（米）；
第二段是右转弯，左轮比右轮多走：2π（米）；
综上右轮比左轮多走：6π－2π＝4π（米），故题干中的8π米错误。
结合以上只有①③正确。
故答案为：B
【点睛】本题考查半圆周长的应用，关键是发现左轮比右轮多（少）走的和圆周的半径没有关系，只和两个轮子之间的距离有关。
7．64－16π
【分析】如图，先看最小的三角形和半圆，最小三角形部分的阴影面积为三角形面积减去半圆面积：由于三角形的两条直角边是4厘米，圆心位于斜边中点，从圆心像三角形的直角边作垂线，由此即可知道圆的半径应该是直角三角形直角边的一半，即4÷2＝2厘米，半圆的面积公式：πr2÷2：则阴影部分的面积：4×4÷2－π×（4÷2）2÷2＝8－2π；由于最小的两个阴影部分面积相等，稍微大一点的三角形是最小三角形的2倍，那么阴影部分也是它的2倍，则稍微大一点的阴影部分的面积是：（8－2π）×2，最大的三角形面积是最小三角形面积的4倍，则阴影部分的面积是最小三角形的4倍，则它的面积是：（8－2π）×4，据此把四个部分的面积相加即可。
【详解】如图：
最小的阴影部分面积是：4×4÷2－π×（4÷2）2÷2
＝8－4π÷2
＝（8－2π）平方厘米
最上面的阴影部分面积：（8－2π）×2＝（16－4π）平方厘米
最大的阴影部分的面积：（8－2π）×4＝（32－8π）平方厘米
阴影部分面积：32－8π＋16－4π＋8－2π＋8－2π
＝32＋16＋8＋8－8π－4π－4π
＝（64－16π）平方厘米
如图，边长为8厘米的正方形中依次挖去了四个半圆，阴影部分的面积是（64－16π）平方厘米。
【点睛】本题主要考查求阴影部分的面积，同时掌握圆的面积公式和三角形的面积公式是解题的关键。
8． 31.4 62.8
【分析】设小圆的半径为r，大圆的半径为R，则正方形的边长为2r，所以有：2r×2r＝40，可得出：，所以小圆的面积为：3.14×10＝31.4（平方厘米）；连接正方形两条对角线，可将正方形平均分成4份，每个三角形的面积为：40÷4＝10（平方厘米），所以R×R÷2＝10，所以，所以大圆的面积为：20×3.14＝62.8（平方厘米）。
【详解】
设小圆的半径为r，大圆的半径为R；如上图，连接正方形的两条对角线。
2r×2r＝40
小圆的面积为：3.14×10＝31.4（平方厘米）
R×R÷2＝10
大圆的面积为：20×3.14＝62.8（平方厘米）
所以正方形内的小圆面积是31.4平方厘米。正方形外的大圆面积是62.8平方厘米。
【点睛】本题考查圆面积公式的灵活运用，已知圆的半径或者半径的平方都可以求出圆的面积。
9．2
【分析】根据圆的周长公式：π×直径可知；实线部分的长度是虚线部分长度的2倍；的速度是速度的2倍，就是沿着实线部分从A点再到A点跑1圈的时间等于沿虚线部分从A点跑到B点的时间；再从A点到A点跑1圈的时间等于从B点跑到A点的时间，也就是与相遇；即跑2圈与相遇，据此解答。
【详解】根据分析可知，和玩运动游戏，从A出发，沿着实线部分（箭头方向）在圆上一直运动，也从A出发，沿着圆内的虚线部分来回运动。如果的速度是的2倍，跑2圈能与相遇。
【点睛】解答本题的关键明确跑的圈的长度是长度的2倍，根据与跑的时间相同，进行解答。
10． 12.56 12.56
【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成若干份，沿半径剪开后拼成一个近似长方形，这个近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，面积不变。根据圆的周长公式：，面积公式：，把数据代入公式解答。
【详解】6.28÷3.14＝2（厘米）
6.28×2＝12.56（厘米）
3.14×
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
答：原来圆形纸片的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
11．34.4
【分析】正方形中剪一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长。已知圆的面积，可求出圆的半径的平方，半径的平方乘4可得直径的平方，即为正方形的面积。正方形的面积减去圆的面积即可求出剩下部分的面积。
【详解】125.6÷3.14＝40（平方厘米）
40×4＝160（平方厘米）
160－125.6＝34.4（平方厘米）
【点睛】此题考查了圆的面积，关键要理解圆的直径等于正方形的边长。
12．；6.28
【分析】把大正方形看作一个整体，平均分成16个小正方形，其中一个正方形的面积表示为。涂色部分的中间为4个完整的小正方形，四周为4个相同的直角三角形，这4个直角三角形合起来正好组成6个完整的正方形；正方形的边长等于圆的直径，据此求解。
【详解】根据分析可知，涂色部分占整个图形的；
边长×边长＝8平方厘米，圆的面积＝3.14×（边长÷2）2，化简得：
圆的面积＝ （平方厘米）。
【点睛】本题主要考查分数的意义、正方形面积与圆的面积公式。
13．37.68
【详解】略
14．36－9π
【分析】如图所示，这张圆形硬纸片“不能接触到的部分”的面积就是以边长为（6÷2）厘米的小正方形的面积与半径为（6÷2）厘米的圆面积的的差，然后再乘4，根据正方形的面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详解】6÷2＝3（厘米）
（3×3－×3×3π）×4
＝（9－π）×4
＝（36－9π）平方厘米
【点睛】此题主要考查正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
15．11.22厘米
【分析】根据题意，可假设空白部分的面积为S；S△ABC－S＝S②；S半圆－S＝S①；故S②－S①＝S△ABC－S－（S半圆－S）＝S△ABC－S半圆＝10.8；代入数值即可解答出BC的长度。
【详解】根据题意，可假设空白部分的面积为S；
S△ABC－S＝S②；
S半圆－S＝S①；
故S②－S①＝S△ABC－S－（S半圆－S）＝S△ABC－S半圆＝10.8；
S△ABC＝
＝
＝6×BC；
S半圆＝[π×（）2]÷2
＝[3.14×（）2]÷2
＝3.14×62÷2
＝3.14×36÷2
＝113.04÷2
＝56.52（平方厘米）
代入式子：
S△ABC－S半圆
＝6×BC－56.52
＝10.8（平方厘米）
由此可得BC为
（10.8＋56.52）÷6
＝67.32÷6
＝11.22（厘米）
答：BC长11.22厘米。
【点睛】解题关键利用已知的条件，列出关系式。根据三角形面积公式和圆的面积公式计算解答即可。
16．34.28米
【分析】由图可知铁丝紧紧地捆绑一圈，最左边和最右边各一个半圆，上面的铁丝是7根圆木直径的和，下面的铁丝也是7根圆木直径的和，前、后各捆1圈的总长度实际上是由一个圆的周长加上14个直径的长度再乘2即可。
【详解】（3.14×1＋7×1×2）×2
＝（3.14＋14）×2
＝17.14×2
＝34.28（米）
答：像这样前、后各捆1圈一共要用铁丝34.28米。
【点睛】此题考查了学生的观察能力以及求圆的周长的方法。
17．①见详解
②18.84
【分析】①先以上面四个小正方形的交点为圆心，以2厘米为半径画圆得到逗号的上半部分；以左下角小正方形的左上顶点为圆心，以2厘米为半径画出圆的弧，再以这个圆心上面的一个正方形顶点为圆心，以2×2＝4（厘米）为半径画出圆的弧，两条弧组成逗号的下半部分。
②这个逗号的周长包括上面整圆周长的、以2厘米为半径的圆的弧长和以4厘米为半径的圆的弧长。圆的周长＝2πr，据此代入数据计算。
【详解】①
②3.14×2×2×＋3.14×2×2×＋2×2×2×3.14×
＝9.42＋3.14＋6.28
＝18.84（厘米）
【点睛】本题考查了圆的画法和组合图形的周长。明确逗号周长的组成是解题的关键。
18．（1）86cm2
（2）86cm2；21.5cm2
（3）86cm2；86cm2；剩下的边角料的面积是相等的；因为这些小圆的面积和都可以转化成图1的圆的面积
【分析】（1）正方形的面积＝边长×边长，圆的半径＝正方形的边长÷2，再求出圆的面积，S＝πr2，最后用正方形的面积－圆的面积求出剩下的边角料的面积；
（2）求出小圆的半径，小圆的半径＝正方形的边长÷4，再求出一个小圆的面积，S＝πr2，然后用一个小圆的面积乘4求出4个小圆的面积之和，最后用正方形的面积－4个小圆的面积和求出剩下的边角料的面积；
要求正中心的边角料的面积，顺次连接4个小圆的圆心，可以得到一个边长10cm的正方形，然后用小正方形的面积－半径为5cm的圆的面积求出正中心的边角料面积；
（3）通过上面的计算，可以猜想：继续像上面这样剪圆片，在正方形铁皮上剪下9个大小相等的圆，剩下的边角料是86cm2；
剪16个圆，剩下的边角料是86cm2；
从中我发现了剩下的边角料的面积是相等的，因为这些小圆的面积和都可以转化成图1的圆的面积，所以剩下的边角料面积不变。
【详解】正方形的面积：20×20＝400（cm2）
圆的半径：20÷2＝10（cm）
圆的面积：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（cm2）
400－314＝86（cm2）
答：正方形硬纸板剪完一个圆后剩下的边角料的面积是86cm2。
（2）小圆的半径：20÷4＝5（cm）
小圆的面积：
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（cm2）
四个小圆的面积之和：78.5×4＝314（cm2）
400－314＝86（cm2）
答：剩下的边角料的面积是86cm2。
作图如下：
10×10－3.14×52
＝100－78.5
＝21.5（cm2）
答：正中心的边角料（阴影部分）的面积是21.5cm2。
（3）猜想：继续像上面这样剪圆片，在正方形铁皮上剪下9个大小相等的圆，剩下的边角料是86cm2；剪16个圆，剩下的边角料是86cm2；从中我发现了剩下的边角料的面积是相等的，因为这些小圆的面积和都可以转化成图1的圆的面积，所以剩下的边角料面积不变。
【点睛】考查了圆的面积的灵活应用，也考查了学生的逻辑推理能力。
19．不划算
【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出两个8英寸的面积与一个12寸的披萨的面积进行比较，如果两个8英寸的面积大于或等于一个12寸的披萨的面积，说明划算，否则就不划算。
【详解】3.14×（20÷2）2×2
＝3.14×100×2
＝628（平方厘米）
3.14×（30÷2）2
＝3.14×225
＝706.5（平方厘米）
628＜706.5
答：如果换2个8英寸的，小米同学不划算。
【点睛】此题主要考查圆面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．（1）2；
（2）6.28；
（3）见详解；
【分析】（1）圆内线段，直径最长，利用直尺，通过圆心，就可以量出圆的直径为2厘米。
（2）这个圆沿直线向右滚动一周时，走过的路程是圆边缘一周的长度，即圆的周长，可用化曲为直的方法进行理解，根据：C＝πd，进行解答即可。
（3）滚动一周后圆的圆心在距离原来圆心一个圆周长处，确定圆心和半径，用圆规画圆。
【详解】（1）量出上面这个圆的直径是2厘米。
（2）这个圆沿直线向右滚动一周时，圆心前进的距离是：3.14×2＝6.28（厘米）
（3）圆的周长是6.28厘米，滚动一周后圆的圆心在距离原来圆心6.28厘米处，圆的半径是1厘米，据此画图如下：
【点睛】本题考查圆的周长计算和如何画圆，需掌握用圆规作图的方法。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
