绝密★启用前
湖南省部分重点高中2023-2024学年高三上学期开学考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则的元素个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．椭圆可以看作由圆进行伸缩变换得到，模仿圆的面积公式，数学家得到椭圆的面积公式：椭圆的面积．若椭圆的面积是椭圆的4倍，则椭圆的焦距为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知圆，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形的面积为（ ）．
A．6 B．12 C．14 D．18
5．在如图所示的表格中填写1，2，3三个数字，要求每一行、每一列均有这3个数字，则不同的填法种数为（ ）．
A．6 B．9 C．12 D．18
6．Peukert于1898年提出铅酸蓄电池的容量C（单位：A·h）、放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间的经验公式：，其中n为Peukert常数．现有某铅酸着电池，在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为，当放电电流为时，放电时间为，则当放电电流为时，放电时间t为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知圆台的上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为6，圆台的体积为，且它的两个底面圆周都在球O的球面上，则（ ）．
A．3 B．4 C．15 D．17
8．已知，则当函数取得最小值时，（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某网站注册会员时需要在线答100道题，该网站随机调查了部分注册成功的会员答题所花费的时间（单位：min），所有样本数据都在区间内，按照，，，分组作出如图所示的频率分布直方图，其中内的频数比内的频数多12，则（ ）．
A．图中
B．估计该网站会员答题时间不少于的概率为0.36
C．调查的会员人数为400
D．估计该网站会员答题时间的70％分位数为70
10．已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）．
A． B．
C．，使得 D．是公差为的等差数列
11．已知棱长为2的正方体中，M，N，P分别在线段，，上运动（含端点位置），则下列说法正确的是（ ）．
A．若点M与B不重合，点N与C不重合，则平面平面
B．若，则为直角三角形
C．若四边形为菱形，则四边形的面积最大值为4
D．若A，P，M，N四点共面，则
12．已知函数，是定义在R上的非常数函数，的图象关于原点对称，且，，则（ ）．
A．为奇函数 B．为偶函数
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量，，若，则__________．
14．若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则__________．
15．已知函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为__________．
16．已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，点N在双曲线右支上且轴，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为__________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）若，求B；
（Ⅱ）若，，求的面积．
18．（12分）如图所示，在直三棱柱中，，，，，点M，N分别是棱，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
19．（12分）王师傅用甲、乙两台不同型号的车床加工某种零件，已知用甲车床加工的零件合格的概率为，用乙车床加工的零件合格的概率为，且每次加工的零件是否合格相互独立．
（Ⅰ）若王师傅用甲、乙车床各加工2个零件，求他加工的零件恰好有3个合格的概率；
（Ⅱ）若王师傅加工3个零件，有以下两种加工方案：
方案一：用甲车床加工2个零件，用乙车床加工1个零件；
方案二：每次用一台车床加工1个零件，若加工的零件合格，则下次继续用这台车床加工，否则下次换另一台车床加工，且第一次用甲车床加工．
若以加工的合格零件数的期望值为决策依据，应该选用哪种方案？
20．（12分）记正项等比数列的前n项和为，其中，．
（Ⅰ）证明：不存在正整数，使得，，成等差数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
21．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若存在极值点，且，求a的值，并分析是极大值点还是极小值点．
22．（12分）已知抛物线的焦点为F，抛物线的焦点为，且．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 B
命题意图 本题考查集合的表示、集合的运算、不等式的解法．
解析 依题意，故．
2．答案 D
命题意图 本题考查复数的概念、复数的运算、复数的几何意义．
解析 设，则，，
则，解得，
则在复平面内，复数z所对应的点为，位于第四象限．
3．答案 B
命题意图 本题考查椭圆的方程与性质、新定义问题．
解析 依题意，，解得，故椭圆的焦距为．
4．答案 B
命题意图 本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系．
解析 依题意，圆，
则，，
故，故四边形的面积．
5．答案 C
命题意图 本题考查排列组合、新情境问题．
解析 第一行填数有种填法，第二行填数有2种填法，第三行填数只有1种填法，
故总的填数方法有种．
6．答案 C
命题意图 本题考查指对数的运算、函数模型及其应用．
解析 依题意，两式相除可得，
令，则．
7．答案 D
命题意图 本题考查空间几何体的体积．
解析 设圆台的高为h．依题意，解得．
设，则，解得，
故．
8．答案 A
命题意图 本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质．
解析 依题意，，
所以，
当，
即，取最小值，
此时．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案 BD
命题意图 本题考查频率分布直方图、样本的数字特征．
解析 对于A，由题意，解得，故A错误；
对于B，答题时间不少于的频率为，故B正确；
对于C，设调查的会员人数为n，则，得，故C错误；
对于D，估计该网站会员答题时间的70％分位数为，故D正确．
10．答案 ACD
命题意图 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式．
解析 对于A，记数列的公差为d，，
故，则，故，故A正确；
对于B，，，故，故B错误；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，，故是首项为1，公差为的等差数列，故D正确．
11．答案 ABD
命题意图 本题考查空间线面的位置关系．
解析 对于A，易知平面平面，故平面平面，故A正确；
对于B，若，则，故平面，
因为平面，故，则，
故为直角三角形，故B正确；
对于C，若四边形为菱形，则，
所以，的取值范围是，
所以菱形的面积的取值范围是，故C错误；
对于D，若A，P，M，N四点共面，则，
所以，即，故D正确．
12．答案 BCD
命题意图 本题考查抽象函数的性质．
解析 因为的图象关于原点对称，故，即①，
而，故，
两式相减可得，即②，
由①②可得③，
故的周期为4，所以，故为偶函数，
因为不是常数函数，所以不是奇函数，故A错误，B正确．
由①可得，，于是，故C正确．
由可得，
故，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 1
命题意图 本题考查平面向量的数量积及其应用．
解析 依题意，，解得．
14．答案
命题意图 本题考查三角函数的图象变换．
解析 函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，要使该函数为奇函数，且，
则，得．
15．答案
命题意图 本题考查复合函数的单调性．
解析 ，令，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而在R上单调递减，且，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，则．
16．答案
命题意图 本题考查双曲线的性质．
解析 不妨设点M在渐近线上且位于第一象限，
因为与该渐近线垂直，所以，则点M的纵坐标为，
又轴，所以点N的纵坐标为，其横坐标满足．
因为，即，
将代入并化简可得，故双曲线C的离心率为．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式．
解析 （Ⅰ）由正弦定理，可得．（2分）
因为，所以，（4分）
又，故，．（5分）
（Ⅱ）由已知得，（6分）
由余弦定理得，即，（7分）
解得或（舍去），（8分）
故的面积为．（10分）
18．命题意图 本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角．
解析 如图所示，以A为坐标原点，，所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系．（1分）
由已知可得，，，，，，．（2分）
（Ⅰ）由上面各点的坐标可得，，，（3分）
计算可得，且，（4分）
所以，．（5分）
又，所以平面．（7分）
（Ⅱ）在直三棱柱中，平面平面，
故可设平面的法向量为，（8分）
因为，所以，可取．（9分）
由（Ⅰ）可知平面的一个法向量为，（10分）
所以，（11分）
所以二面角的正弦值为．（12分）
19．命题意图 本题考查相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的期望．
解析 （Ⅰ）设“加工的零件恰好有3个合格”为事件A，
则．（4分）
（Ⅱ）记王师傅用方案一加工的合格零件数为X，
由题意知用甲车床和乙车床加工的合格零件数分别服从二项分布和，
故．（7分）
记王师傅用方案二加工的合格零件数为Y，Y的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．（9分）
所以．（11分）
因为，所以应该选方案二．（12分）
20．命题意图 本题考查等比数列和等差数列的性质，错位相减法．
解析 记的公比为q，显然，
，即，（1分）
因为，所以．（2分）
又因为，所以．（3分）
故．（4分）
（Ⅰ）假设存在满足条件的正整数i，j，k，使得，，成等差数列，
则，故，整理得，（5分）
两边同除以，得．（*）
因为且，故，，
于是有（*）式的左边为奇数，右边为偶数，矛盾，
所以不存在正整数，使得，，成等差数列．（7分）
（Ⅱ）依题意，
所以，
故，（8分）
两式相减可得（9分）
，（10分）
故．（12分）
21．命题意图 本题考查导数的计算，导数的几何意义，以及利用导数研究函数性质．
解析 （Ⅰ）当时，，，（1分）
，且，（2分）
所以曲线在处的切线方程为，
即．
（Ⅱ），
由题意知，所以①，（5分）
代入，得，
因为，所以，所以．（6分）
所以，，故①式等价于②．（7分）
设，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
故方程②有唯一解，所以．（9分）
当时，，设，则，
令，得，
当时，，单调递增，（10分）
又，，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，（11分）
所以为的极小值点．（12分）
22．命题意图 本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的综合性问题．
解析 （Ⅰ）由题意知，，（2分）
所以，（3分）
解得．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
设直线，，，，，
根据题意结合图形可知，且．（5分）
联立，得，
则，同理可得．（6分）
由可得，
即，化简得．（7分）
又因为，，所以，
再由，得．（8分）
联立，解得，（9分）
所以，，．（10分）
故，为定值．（12分）
