2023-2024学年浙江省嘉兴重点学校九年级（上）返校数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列函数关系中，是的二次函数的是( )
A. B. C. D.
2. 已知点在抛物线上，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公式第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是( )
A. B. C. D.
4. 抛物线可以由抛物线平移而得到，下列平移正确的是( )
A. 先向左平移个单位长度，然后向上平移个单位
B. 先向左平移个单位长度，然后向下平移个单位
C. 先向右平移个单位长度，然后向上平移个单位
D. 先向右平移个单位长度，然后向下平移个单位
5. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6. 二次函数，若，则它的图象一定过点( )
A. B. C. D.
7. 已知二次函数的的部分对应值如下表：
则二次函数图象的对称轴为( )
A. 轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线
8. 二次函数、、为常数的图象如图所示，则方程有实数根的条件是( )
A. B. C. D.
9. 如图是二次函数的图象，对于下列说法：，，，，当时，随的增大而减小，其中正确的是 ( )
A. B. C. D.
10. 某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度单位：与时间单位：之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为根据图象，当推出秋千后，秋千的高度为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 抛物线的顶点坐标是______ ．
12. 抛物线与轴的交点坐标是______ ．
13. 二次函数，当时，的取值范围为______．
14. 若点、、、在同一条抛物线上，则的值等于______．
15. 如果函数与函数有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
16. 甲船和乙船分别从港口和港口同时出发，各沿图中箭头所指的方向航行如图所示现已知甲、乙两船的速度分别为海里时和海里时，且，两港口之间的距离为海里，则经过______ 小时甲船和乙船之间的距离最近．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数，
当为何值时，此函数是一次函数？
当为何值时，此函数是二次函数？
18. 本小题分
已知二次函数的图象分别经过点，，．
求二次函数的函数表达式；
直接写出：当时，自变量的取值范围．
19. 本小题分
将函数的图象向左平移个单位，使其经过坐标原点，求的值；
将函数的图象向上平移个单位，使其顶点落在轴上，求平移后的函数表达式．
20. 本小题分
某超市购进一批单价为元的生活用品，如果按每件元出售，那么每天可销售件经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高元，其销售量相应减少件，那么将销售价定为多少元时，才能使每天所获销售利润最大？
21. 本小题分
如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．
求抛物线的解析式；
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式指出自变量的取值范围和的最大值．
22. 本小题分
如图，足球场上守门员徐杨在处抛出一高球，球从离地面处的点飞出，其飞行的最大高度是，最高处距离飞出点的水平距离是，且飞行的路线是抛物线一部分．以点为坐标原点，竖直向上的方向为轴的正方向，球飞行的水平方向为轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．参考数据：
求足球的飞行高度与飞行水平距离之间的函数关系式；
在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？精确到个位
若对方一名的队员在距落点的点处，跃起进行拦截，则这名队员能拦到球吗？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该函数式中，表达式不是二次整式，故本选项不合题意；
B、不是二次函数，是一次函数，故本选项不合题意．
C、该函数式中，表达式是二次整式，是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数式中，表达式不是二次整式，是二次根式，故本选项不合题意；
故选：．
一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
本题考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．
2.【答案】
【解析】解：因为点在抛物线的图象上，
所以．
得．
故选：．
将点坐标代入即可．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】
解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，
依题意得第三个月投放单车辆，
则．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：抛物线顶点为，抛物线的顶点为，则抛物线向左平移个单位，向下平移个单位得到抛物线的图象．
故选：．
抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
5.【答案】
【解析】解：由题知，
抛物线的开口向上，且对称轴是直线，
所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小．
又，
所以．
故选：．
根据抛物线的对称轴和开口方向，再由，，三个点离对称轴的远近，即可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的开口方向、对称轴及，，三个点离对称轴的远近是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：对二次函数，将代入可得：，
则它的图象一定过点．
故选：．
此题可将代入二次函数，变形得，然后分析．
本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把当做变量，令其系数为进行求解．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．
由于、时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【解答】
解：和时的函数值都是，
对称轴为直线．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．
利用函数图象，当时，直线与二次函数有公共点，从而可判断方程有实数根的条件．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
即时，二次函数有最小值为，
当时，直线与二次函数有公共点，
方程有实数根的条件是．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】
解：由图象可知：，，
，故错误；
由于对称轴可知：，
，故正确；
由于抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
由图象可知：时，，
故正确；
当时，随着的增大而增大，故错误；
故选：．
10.【答案】
【解析】解：观察图象可知：
当推出秋千后，秋千的高度为．
故选：．
根据二次函数的图象即可得结果．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是观察图象得结论．
11.【答案】
【解析】解：
，
抛物线的顶点坐标是．
故填空答案：．
首先把配方成为，然后即可确定抛物线的顶点坐标．
此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为；此题也考查了配方法求顶点式．
12.【答案】，
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数与一元二次方程，以及一元二次方程的解法，解答此题要明白函数与轴的交点的坐标为时方程的两个根．
要求抛物线与轴的交点，即令，解方程．即当时，，所以即可求出与轴的交点坐标．
【解答】
解：令，则，
解得：或．
则抛物线与轴的交点坐标是，．
故答案为：，．
13.【答案】
【解析】解：二次函数，
函数的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围为，
故答案为：．
由二次函数解析式可知，函数对称轴为直线，在和之间，可确定的最小值在处取得，再求出和时的值，可得出的最大值，即可确定的范围．
本题考查了二次函数的性质，先判断所给自变量的范围与对称轴的位置，再判断函数的最值．
14.【答案】
【解析】【分析】
利用抛物线的对称性得到和点，点和点为抛物线上的两组对称点，由点、的坐标得到抛物线的对称轴，然后利用对称轴求出的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
【解答】
解：抛物线经过、，
点、为抛物线上的对称点，
抛物线解析式为直线，
、为抛物线上的对称点，
即与关于直线对称，
，
．
故答案为．
15.【答案】且．
【解析】解：当时，两直线和只有一个交点，
当时，，由题意得，方程有两个不同的实数根，
，
解得：．
故答案为：且．
当时，两直线和只有一个交点，则当时，先联立抛物线与直线的解析式得出关于的方程，再由直线和抛物线有两个不同交点可知，求出的取值范围．
主要考查的是函数图象的交点问题，两函数有两个不同的交点，则．
16.【答案】
【解析】解：设经过小时甲船和乙船之间的距离最近，最近距离是海里，
如图，
由勾股定理得：，
当，即时，的值最小，
则的值最小，此时取得最小值为，
即经过小时甲船和乙船之间的距离最近，
故答案为：，
设经过小时甲船和乙船之间的距离最近，最近距离是海里，由勾股定理得，当，即时，的值最小，即可得出结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17.【答案】解：函数，是一次函数，
，，
解得：；
函数，是二次函数，
，
解得：且．
【解析】直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键．
18.【答案】解：因为二次函数的图象分别经过点，，，
所以设二次函数的表达式为，
则，得．
所以二次函数的表达式为．
因为，
所以抛物线的开口向下．
又抛物线与轴的两个交点坐标为和，
所以当时，的取值范围是．
【解析】根据函数图象经过的三个点，设出相应的函数表达式即可．
利用数形结合的思想解题即可．
本题考查二次函数的图象和性质及用待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象经过的点的坐标，设出相应的函数表达式是解题的关键．
19.【答案】解：令，求得，，函数的图象向左平移或个单位，使其经过坐标原点，所以或．
函数的图象向上平移个单位，使其顶点落在轴上，平移后的函数表达式．
【解析】求出函数的图象与轴的交点再求出即可；
利用顶点式解析式平移求解即可．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；或只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
20.【答案】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则
，
所以将销售定价定为元时，才能使每天所获销售利润最大．
【解析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
21.【答案】解：将、代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作轴，交于点，
如图所示．当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
当时，的面积取得最大值，最大值为．
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
．
【解析】将、代入，可得，解二元一次方程组，求出、的值即可得出答案；
过点作轴，交于点，可得点的坐标为设直线的解析式为，将、代入，可得，解二元一次方程组求出、的值，即可得出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，即可得出，即可得出三角形的面积，，根据二次函数的性质即可得出答案．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
22.【答案】解：当时，，又
，
，
；
令，则，
解得：，舍去
球飞行的最远水平距离是米；
当时，，
这名队员不能拦到球．
【解析】由飞行的最高点距离地面米，可知，又即可求出解析式；
令，解方程即可解决问题；
把代入，即可得到结论；
本题主要考查了二次函数的实际应用，弄清题意，数形结合，把函数问题转化为方程或不等式问题是解决问题的关键．
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