2022-2023学年河南省周口市扶沟重点中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图所示的六角螺栓，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
3. 已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
4. 如图，在中，，，垂足为，若，，则的值为 ( )
A. B. C. D.
5. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸提示：丈尺，尺寸，则竹竿的长为( )
A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺
6. 如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“”作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，、、、、都在横格线上，且线段、交于点若线段，则线段长为( )
A. B. C. D.
7. 反比例函数与一次函数在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
8. 如图，中，点，分别是边，上的点，，点是边上的点，连接交线段于点，且，，，则( )
A. B. C. D.
9. 如图，在轴的上方，直角绕原点按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数、的图象交于、两点，则的大小的变化趋势为( )
A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 时大时小 D. 保持不变
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点纵坐标分别为，，反比例函数的图象经过，两点若菱形的面积为，则值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减少，则的取值范围是______．
12. 如图，在中，，过点作，垂足为，且，连接，与相交于点，过点作，垂足为若，则的长为______ ．
13. 直线与函数的图象交于点，若，则的取值范围是______．
14. 如图，在菱形中，点是上的点，，若，，是边上的一个动点，则线段最小时，长为______．
15. 如图，等腰，，以为直径的圆交于点，则图中阴影部分的周长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：
；
．
17. 本小题分
如图，是的中线，是锐角，，，．
求的长．
求的值．
18. 本小题分
如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．
求证：∽；
当，时，求的长．
19. 本小题分
黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出河南段黄河某处的宽度不能到对岸如图，已知该段河对岸岸边有一点，兴趣小组以为参照点在河这边沿河边任取两点、，测得，，量得的长为求河的宽度结果精确到，参考数据，，
20. 本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为．
求反比例函数和一次函数的表达式．
根据图象，直接写出满足的的取值范围．
若点在轴上，使得，请直接写出点的坐标．
21. 本小题分
如图，已知锐角中，边为，高长为矩形的边在边上，其余两个顶点，分别在，边上，交于点．
求的的值；
设，矩形的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值．
22. 本小题分
数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“已知为的直径，过的中点为的切线．
求证；
王老师说：如果添加条件“，，则能求出的直径请你写出求解过程．
23. 本小题分
综合与实践
问题情境：在中，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．
猜想证明：
如图，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
如图，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：从上边看，是一个正六边形，六边形内部是一个圆，
故选：．
根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看的到的图形，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
2.【答案】
【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，．
，
故选：．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：为锐角，且，
．
故选A．
根据特殊角的三角函数值解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值．
4.【答案】
【解析】【分析】
先根据勾股定理列式求出的长，再根据同角的余角相等求出，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，根据同角的余角相等求出是解题的关键．
【解答】
在中，，，，
，
，，
，，
，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：设竹竿的长度为尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，解得尺．
故选B．
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
本题考查相似三角形的应用．
6.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，于点，则、分别是、的高线，
练习本中的横格线都平行，
∽，
，即，
．
故选：．
过点作于点，于点，则由相似三角形∽，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
本题主要考查了相似三角形的应用，此题利用了相似三角形对应边上的高之比等于相似比求得相关线段的长度．
7.【答案】
【解析】分析
根据反比例函数所在的象限判定的符号，然后根据的符号判定一次函数图象所经过的象限．
本题主要考查在同一平面直角坐标系中反比例函数和一次函数的图象，解题关键是根据反比例函数图象确定的正负，判断一次函数图像是否相符．
详解
解：
A、反比例函数图象位于第一、三象限，则，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示不符，故本选项错误；
B、反比例函数图象位于第二、四象限，则，，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；
C、反比例函数图象位于第二、四象限，则，，所以一次函数图象经过第一、二、四象限，与图示不符，故本选项错误；
D、反比例函数图象位于第一、三象限，则，所以一次函数图象必定经过第一、三象限，与图示一致，故D中的图象最有可能，故本选项正确；
故选D．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：
，
∽，
，
又，，
，
又，
，
又与的高相等，
，
又，
，
又，
，
又，
，
又，
，
故选：．
由相似三角形的判定与性质求出的长为，与同高不同底求出的面积为，最后根据图形的面积的和差法求出的面积为．
本题综合考查了相似三角形的判定与性质，面积的和差法，同高不同底的三角形面积的求法等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是同高不同底求三角形的面积方法．
9.【答案】
【解析】解：如图，分别过点、作轴、轴；
，
，
，
，
∽，
；
设，，
则，，，，
，；
，
；
∽，
，
由知为定值，
的大小不变，
故选：．
如图，作辅助线；首先证明∽，得到；设，，得到，，，，进而得到，，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知为定值，即可解决问题．
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
10.【答案】
【解析】解：过点作轴的垂线，交的延长线于点，
，两点在反比例函数的图象，且纵坐标分别为，，
，，
，，
菱形的面积为，
，即，
，
在中，，
，
．
故选：．
过点作轴的垂线，交的延长线于点，根据，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可求得，的长，根据菱形的面积为，求得的长，在中，即可得出的值．
本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减少，
，
，
的取值范围为：．
故答案为：．
直接利用反比例函数的性质得出，进而得出的取值范围．
此题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．
12.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，，
∽，∽，
，，
，
，
．
故答案为：．
由，，得，从而得∽，∽，由相似比，得到的长度．
本题主要考查了三角形相似的判定和性质，旨在判断学生是否对两个常见的相似模型“型相似”和“字型相似”能够灵活应用．这里的易错点是在得到第一对三角形的相似比时，学生容易直接使用在第二对相似三角形中，导致失分．
13.【答案】或
【解析】解：直线与函数的图象交于点，
直线与函数的图象交于另一个点的坐标是，
如图，若，则的取值范围是或，
故答案为或．
根据对称性即可得到点的坐标，然后根据、点的坐标即可求得的取值范围．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
14.【答案】
【解析】解：根据垂线段最短可知当时，线段最短．
于，，
设，，则，，
，
，
，，，
当时，，
，
线段的最小值为，
．
故答案为：．
根据垂线段最短可知当时，线段最短．根据，只要求出、、、，即可解决问题．
本题考查菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：，
，
为直径，
，
，
，
取中点，连接，则，
，
弧长
图中阴影部分的周长为
故答案为．
图中阴影部分的周长为、、弧的长度之和，求出每一个长度即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质和弧长公式，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先计算负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数和绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数和二次根式等混合运算能力，关键是能准确理解以上知识并能进行正确的计算．
17.【答案】解：作于，设，
在中，，
，
，
，解得，
，，
在中，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
答：的度数为，的值为；
为中线，
，
，
，
即的值为．
【解析】作于，设，利用的正切可得到，则根据勾股定理得到，所以，解得，于是得到，，接着利用得到，则，最后计算得到的长；
利用为中线得到，则，然后根据正切的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．
18.【答案】证明：四边形为菱形，
，
，
，
，
∽；
解：∽，
，
，，
，
．
【解析】根据两角相等可得两三角形相似；
根据中的相似列比例式可得结论．
本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
19.【答案】解：如图，过点作于点，
设，
由图可知，，，
在中，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
答：河的宽度约为．
【解析】过点作于点，设，则，根据，即可列出方程．
本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：把点代入反比例函数得，，
，
反比例函数的解析式为，
将点代入得，，
，
将、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
由图象可知：的的取值范围是或．
在中，令，则，
直线与轴的交点为，
设，
，
，
，
，
或，
或．
【解析】把点坐标代入反比例函数解析式可求得的值，把点代入求得的反比例函数的解析式求得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
直接由、的坐标根据图象可求得答案；
求得直线与轴的交点，然后根据列出关于的方程，解方程即可求得的坐标．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
21.【答案】解：，
∽，
，
；
，
∽，
，
，
，
．
，
有最大值，最大值为．
【解析】由，推出∽，推出，由此即解决问题．
用类似的方法求出，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．
22.【答案】证明：如图，连接，
为的切线，
，
，，
，
；
解：连接，
在中，，，
则，
由勾股定理得：，
，
，
为的直径，
，
，
，即的直径为．
【解析】连接，根据切线的性质得到，根据三角形中位线定理得到，证明；
连接，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，再求出，根据圆周角定理得到，根据线段垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23.【答案】解：四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
如图，过点作于，
，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，连接，，过点作于，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
．
【解析】由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
第1页，共1页
