2022-2023学年四川省达州市万源四中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 不等式 变形后得到成立，则的取值( )
A. B. C. D.
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则等于( )
A. B. C. D.
5. 下列分式的值，可以为零的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，，、是的中位线，则四边形的周长是( )
A. B. C. D.
7. 如图，四边形中，，是对角线，是等边三角形．，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
8. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 关于的分式方程有解，则满足( )
A. B.
C. 且 D. 且
10. 如图是一个由张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张正方形纸片的面积为，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知关于的不等式组的解集为，则 ____ ， ____ ．
12. 若对任意自然数都成立，则 ______ ， ______
13. 如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转角得到，设交于，连接，当旋转角度数为______，是等腰三角形．
14. 如图， 中，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，若点的落点记为，则的长为______．
15. 如图所示，的两条外角平分线、相交于点，于若，则下面的结论：；；；，其中正确的结论是______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
16. 解方程：
．
四、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
因式分解：
；
．
18. 本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
19. 本小题分
如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交与点，求证：．
20. 本小题分
已知平行四边形中，平分且交于点，，且交于点．
求证：≌；
如图，若，求的大小．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点 成中心对称．
画出；
是的边上一点，将平移后点的对应点，请画出平移后的；
若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．
22. 本小题分
“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，本文学名著和本动漫书共需元，本文学名著比本动漫书多元注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样．
求每本文学名著和动漫书各多少元？
若学校要求购买动漫书比文学名著多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请求出所有符合条件的购书方案．
23. 本小题分
如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接．
求证：平分；
若，，求的长．
24. 本小题分
在平行四边形中，是上一点，，过点作直线，在上取一点，使得，连接．
如图，当与相交时，若，求证：；
如图，当与相交时，且，请你写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．
25. 本小题分
阅读与理解：
图是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起点与点重合的图形．
操作与证明：
操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接，，如图，在图中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
操作：若将图中的，绕点按顺时针方向任意旋转一个角度，连接，，如图，在图中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：由题意，得
变形后得到成立，得
，
解得，
故选：．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、等式的右边是三个整式积的形式，且，则此项属于因式分解，符合题意；
B、等式的右边不是整式积的形式，则此项不属于因式分解，不符合题意；
C、等式的右边不是整式积的形式，则此项不属于因式分解，不符合题意；
D、等式的右边不是整式积的形式，则此项不属于因式分解，不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式逐项判断即可得．
本题考查了因式分解，熟记因式分解的概念是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：中，，，
，
由折叠的性质可得：，，
，
．
故选：．
由中，，，可求得的度数，由折叠的性质可得：，，由三角形外角的性质，可求得的度数，继而求得答案．
此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
5.【答案】
【解析】解：、分子不能等于，分式的值不能为零，故A不可能为；
B、时，分子、分母都等于，分式无意义，故B不可能为；
C、时，分子、分母都等于，分式无意义，故C不可能为；
D、时，分式的值为零，故D可以为；
故选：．
分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
6.【答案】
【解析】解：，，、是的中位线，
，，，，
四边形为平行四边形，
四边形的周长为：，
故选：．
由中位线的性质可知，，，，可知四边形为平行四边形，从而可得周长．
本题主要考查了三角形中位线的性质，利用中位线的性质证得四边形为平行四边形是解答此题的关键
7.【答案】
【解析】解：如图，以为边作等边，连接．
，
在和中，
，
≌，
．
又，
．
在中，，，
于是，
．
故选：．
首先以为边作等边，连接，利用全等三角形的判定得出≌，进而求出的长即可．
此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：一次函数和的图象交点为，
当时，，
不等式的解集为，
在数轴上表示为：
故选：．
观察图象，直线落在直线上方的部分对应的的取值范围即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，也考查了在数轴上表示不等式的解集．
9.【答案】
【解析】解：方程去分母得：，
去括号得：，
移项、合并得：，
该分式方程有解，
且，即，且，
解得：且，
故选：．
将当作是常数解关于的分式方程，由分式方程有解可知其解且，从而得关于的不等式，解不等式可得．
本题考查解分式方程和分式方程的解，分式方程有解，则未知数的值不能使最简公分母为是解决本题关键．
10.【答案】
【解析】解：设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为，
则，
，
，
平行四边形面积．
故选：．
设等腰直角三角形的直角边为，正方形边长为，求出用、表示，得出，，之间的关系，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出，，之间的关系，属于中考常考题型．
11.【答案】；
【解析】解：不等式组，
由得，，
由得，，
，
解得，
故答案为：，．
先解不等式组，解集为，再由不等式组的解集为，转化成关于，的方程组来解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和二元一次方程组及其解法，分式的运算，还考查了学生的计算能力，能得出关于、的方程组是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，
故答案为：，．
根据分式的加减法运算法则即可求出答案．
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰三角形的性质．
根据旋转的性质得，，则，利用三角形外角的性质得，当是等腰三角形，若，则，则旋转角度为，所以讨论：，则当或，分别利用等腰三角形的性质得；，即可得到的值．
【解答】
解：绕点按逆时针方向旋转角得到，
，，
，
是等腰三角形，，
，则，
当，则，这不合题意舍去；
当，
，
，
解得；
当，
，
，
解得．
故答案为或．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换折叠的性质推知是解题的关键．
如图，连接根据折叠的性质知是等腰直角三角形，则又是的中垂线，则．
【解答】
解：四边形是平行四边形，，
．
如图，连接．
根据折叠的性质知，，
．
，
是等腰直角三角形，
则．
又，，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查角平分线的判定定理和性质定理．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
作如下图，于，于利用角平分线的判定定理和性质定理可得是的平分线，由≌，≌，推出，，由，推出，由，推出即可一一判断．
【解答】
解：如图作，于，于．
，，，
，同理，
，
平分，
，故正确，
在和中，
，
≌，同理可证，≌，
，，
，
，故正确，
在中，，
，故正确，
，
，故正确，
故答案为：．
16.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】解：原式
．
原式
．
【解析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
用平方差公式分解彻底即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：，
解得，
解得，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示为：
【解析】先分别解两个不等式得到和，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，即．
【解析】利用“边角边”证明和全等，可得可得，根据“八字型”证明即可．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
在和中，，
≌；
解：平分，
，
．
【解析】由平行四边形的性质得出，，，得出，证出，由证明≌即可；
由得，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21.【答案】如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求；
．
【解析】
解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求；
和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为：．
故答案为：．
【分析】
直接利用旋转的性质得出对应点的位置，进而得出答案；
直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．
此题主要考查了中心对称以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22.【答案】解：设每本文学名著元，动漫书元，
可得：，
解得：，
答：每本文学名著和动漫书各为元和元；
设学校要求购买文学名著本，动漫书为本，根据题意可得：
，
解得：，
因为取整数，
所以取，，；
方案一：文学名著本，动漫书本；
方案二：文学名著本，动漫书本；
方案三：文学名著本，动漫书本．
【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
设每本文学名著元，动漫书元，根据题意列出方程组解答即可；
根据学校要求购买动漫书比文学名著多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，列出不等式组，解答即可．
23.【答案】解：过点作于，
与中，，，，
≌，
，
又，
即，
，
又，，，
≌，
，
即平分；
≌，
，
又，，，
≌，
，
≌，
的面积，
，
，
解得．
【解析】先过点作于，判定≌，得出，再判定≌，即可得出；
先判定≌，得出，再根据≌，求得的面积，进而得到的长．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等．
24.【答案】证明：方法一：如图，作交于点．
．
，，
．
在和中，
，
．
，．
，
是等边三角形．
．
；
方法二：如图在上截取，连接
，，
．
在和中，
方法一：．
如图，作交于点．
．
，
．
．
又，
．
，．
，
是等腰直角三角形．
．
．
方法二：延长，使得，连接
，
．
．
在与中，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
【解析】首先作交于点，易证得≌，又由，可证得是等边三角形，继而证得结论；
首先作交于点，易证得≌，继而可得是等腰直角三角形，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25.【答案】解：．
证明：绕点按顺时针方向旋转，
，
与是等边三角形，
，，
≌，
．
．
绕点按顺时针方向旋转的角度为，
，
与是等边三角形，
，，
≌，
．
猜想与发现：
当为时，线段的长度最大，等于；当为或时，线段的长度最小，等于．
【解析】根据旋转的性质及等边三角形的性质，利用判定≌，根据全等三角形的对应边相等，可得到．
围绕证明≌，根据寻找全等的条件，方法不变．
此题主要考查学生对旋转的性质，等边三角形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用能力．
第1页，共1页
