广东省实验中学2019-2020学年高一上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高一上·广东月考）在平面直角坐标系中，已知角 始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且 终边上有一点P坐标为 ，则 ）
A． B． C． D．1
2．（2019高一上·广东月考）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是（ ）
A． B．
C．y=sin D．
3．（2019高一上·广东月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2019高一上·广东月考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
5．（2019高一上·杭州期末）若函数 局部图象如图所示，则函数 的解析式为
A． B．
C． D．
6．（2019高一下·中山月考）函数 在区间（ ， ）内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019高一上·广东月考）在△ABC中，已知 ，则△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
8．（2019高一上·广东月考）若 ，则 的值是（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
9．（2019高一上·广东月考）给出下列命题中正确的个数有（ ）
①小于90°的角为锐角；②存在实数x，使sinx+cosx=2;③sin2·cos3·tan4符号为负④终边相同的角有无限多个；⑤若α，β是第一象限角且α<β,则tanα
10．（2018高一上·台州期末）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2019高一上·广东月考）已知函数 ，对于任意 ，都有 ，且 在 有且只有5个零点，则
A． B． C． D．
12．（2019高一上·广东月考）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019高一上·广东月考）一个扇形的半径为4，圆心角为120°，它的面积为 .
14．（2019高一上·广东月考）已知 ，则 .
15．（2019高一上·广东月考）化简： .
16．（2019高一上·广东月考）已知函数 ，若方程 有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2019高一上·广东月考）已知 ， ，且
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)若 ，求 的值.
18．（2019高一上·广东月考）已知函数
（1）将函数 化简成 的形式，并指出 的最小正周期、振幅、初相和单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
19．（2019高一上·广东月考）已知函数 的图像关于直线 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；
（2）求 的定义域；
（3）在给定的坐标系中，用“五点作图法”按照列表-描点-连线三步作出函数f（x）在 图象．
20．（2019高一上·广东月考）在经济学中，函数 的边际函数 定义为 ．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产 台 的收益函数为 （单位：万元），成本函数 （单位：万元），该公司每月最多生产 台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数 及边际利润函数 ；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少 （精确到 ）
（3）求 为何值时利润函数 取得最大值，并解释边际利润函数 的实际意义．
21．（2019高一上·广东月考）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y= x+a没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）= +m 2x-1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．（2019高一上·广东月考）已知函数 ，如果存在给定的实数对（ ），使得 恒成立，则称 为“S-函数”.
（1）判断函数 是否是“S-函数”；
（2）若 是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对 ；
（3）若定义域为 的函数 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对 和 ，当 时， 的值域为 ，求当 时函数 的值域.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】已知角 始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且 终边上有一点P坐标为 ，
则 ， ， ，
故答案为：C．
【分析】由题意结合三角函数的定义可得 ， ，据此求解 的值即可.
2．【答案】D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正切函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】函数 是奇函数但周期是 ，故答案A不符合题意．函数 周期是 ，但是偶函数，故答案B不符合题意．函数 的周期为 ，但为偶函数，故答案C不符合题意．函数 是奇函数且周期为 ， D符合题意．
故答案为：D
【分析】利用三角型函数的最小正周期公式和奇函数的定义结合已知条件，从而找出满足要求的函数。
3．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】∵ ， ，∴ ，
，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】由 及 得 ，这样只要对 平方后可利用平方关系和二倍角公式求值.
4．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为
所以 的图象向右平移 个单位，即可得到
故答案为：C
【分析】将函数 变形为 根据三角函数的平移变换求解即可.
5．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】 ，
；
又由图象可得： ，可得： ，
，
， ．
， ，
又 ，
当 时，可得： ，此时，可得：
故答案为：D．
【分析】根据函数的最大值求出A，结合周期求出，代入特殊点求出，即可得到函数的解析式.
6．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=
分段画出函数图象如D图示，
故答案为：D．
【分析】由已知函数得到分段函数的解析式，即可分段画出函数的图象.
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】在△ABC中,因为 ,
所以 ,
所以
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以△ 一定是等腰三角形.
故答案为：B
【分析】根据三角形内角和定理以及诱导公式,将 化为 ,再根据两角和的正弦公式和两角差的正弦公式的逆用公式化为 ,最后根据 的范围,可得 .
8．【答案】A
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】因为 ,
所以 , , ,
所以 .
故答案为：A
【分析】根据 ,推出 , , 的符号,根据符号去掉绝对值即可计算得到答案
9．【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角；三角函数值的符号
【解析】【解答】①:大于0°且小于90°的角叫锐角,故①不正确;
②:因为 ,故②不正确;
③:因为 ,所以 ,因为 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,故③正确;
④:与 终边相同的角,连同 在内的所有角的集合为 ,因此 终边相同的角有无限多个是正确的;
⑤:取 , ,满足 ,但是 ,故⑤不正确.
故答案为：B
【分析】根据锐角的定义可知①不正确,根据 ,可知②不正确,根据三角函数的符号规则可知③正确,根据终边相同的角的集合可知④正确,举特殊角可知⑤不正确.
10．【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；正弦函数的单调性
【解析】【解答】 ， ， ，
又 在 上单调递增，且 ，
∴
故答案为：C
【分析】将a,b用二倍角正余弦公式化为锐角的正弦,再将c先用二倍角正切公式求出值,再化为锐角的正弦,由正弦函数的单调性比较大小.
11．【答案】A
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 函数 ，对于任意 ，都有 ，
故 的图象关于点 对称， ，即 ， ．
在 有且只有5个零点，则 ，求得 ，
综上，结合所给的选项可得， ，
故答案为：A．
【分析】由题意可得 的图象关于点 对称，可得 ，再根据 在 有且只有5个零点，则可得 ，结合所给的选项，求得 的值．
12．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】因为
,
因为值域为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 的最大值为 ,
而 ,
所以 的值不可能是 .
故答案为：D
【分析】先将 化为 ,再根据值域可得 ,进而可得 ,所以 的最大值为 ,只有选项 不满足.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】将120°化为弧度数为 ,
因为 ,
根据扇形的面积公式可得 .
故答案为: .
【分析】将角度数化为弧度数后,利用扇形的面积公式计算可得答案.
14．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】原式 .
故答案为:
【分析】根据诱导公式化简后,再根据同角公式弦化切即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】原式
故答案为:
【分析】将正切化为弦后通分,利用两角差的正弦公式的逆用公式化简,然后用二倍角的正弦公式以及诱导公式可得答案.
16．【答案】
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数 ，
函数的图象如图：方程 有四个不同的实数根，
转化为 ， 有4个交点．
可得 ．
故答案为： ．
【分析】首先由函数的解析式绘制函数图象，然后将问题转化为 ， 有4个交点，据此确定实数a的取值范围即可.
17．【答案】解：(Ⅰ)因为 ， ，所以 ，
因此 ，
所以 ；
(Ⅱ)因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
因此 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】(Ⅰ)根据题中条件，求出 ，进而可得 ，再由两角差的正切公式，即可得出结果；(Ⅱ)根据题中条件，得到 ，求出 ，再由 ，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.
18．【答案】（1）解：因为
,
最小正周期为 ,振幅 ,初相 ,
由 ,
得 ,
所以单调递增区间为 .
（2）解：因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 在区间 上的最大值为 ,最小值为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的单调性；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式,两角差的正弦公式的逆用公式可得 ,再根据周期公式得周期,根据振幅的概念得振幅,根据初相的概念得初相,根据正弦函数的递增区间得增区间;(2)根据正弦函数的最值的性质计算可得答案.
19．【答案】（1）解：因为图像上相邻两个最高点的距离为π,所以周期 ,
所以 ,
因为图像关于直线 对称,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
由 ,得 ,
所以 的中心为
（2）解：因为 ,
由 ,得 ,
所以 ,
解得 ,
所以 的定义域为 .
（3）解：列表如下:
0 0 1
描点,连线可得图象如下:
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)根据像上相邻两个最高点的距离为π.求得周期,由周期求得 ,根据对称轴求得 ,由此可得解析式,根据正弦函数的中心可求得 的中心;(2)利用正弦函数的图象解三角不等式 可得定义域;(3)利用正弦函数的五个关键点可得函数在 上的图象.
20．【答案】（1）解：由题意知： 且 ，
，
.
（2）解：每台医疗器材的平均利润 ，当且仅当 时等号成立.
因为 ，当每月生产 台机器时，每台平均约为 万元，每月生产 台时，每台平均约为 万元，故每月生产 台时，每台医疗器材的平均利润最大为 万元
（3）解： ，
由 ，得 ，此时 随 增大而增大，
由 得 ，此时 随 增大而减小，
或 时， 取得最大值.
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
【知识点】二次函数的性质；基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据利润公式得到 ，根据边际函数定义得到 ；（2）判断函数的单调性，计算 和 对应的平均利润，从而得到结论；（3）根据二次函数的对称性求出 的值.
21．【答案】（1）解：∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即 log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立．
∴2kx=log4（4-x+1）-log4（4x+1）= = =-x，
∴k=-
（2）解：若函数y=f（x）的图象与直线y= x+a没有交点，
则方程log4（4x+1）- x= x+a即方程log4（4x+1）-x=a无解．
令g（x）=log4（4x+1）-x= = ，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．
∵g（x）在R上是单调减函数． ，
∴g（x）＞0．
∴a≤0
（3）解：由题意函数h（x）= +m 2x-1=4x+m 2x，x∈[0，log23]，
令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]
∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=- ，
故当- ≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，
当1＜- ＜3，即-6＜m＜-2时，当t=- 时，函数取最小值 =0，解得：m=0（舍去），
当- ≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），
综上所述，存在m=-1满足条件
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（-x）=f（x），可得k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y= x+a没有交点，方程log4（4x+1）-x=a无解，则函数g（x）= 的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；（3）函数h（x）=4x+m 2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．
22．【答案】（1）解：若 是“S-函数”，则存在常数 ，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b时，对一切实数恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，
因此 不是“S-函数”
若 是“S-函数”，则存在常数a,b使得 ，
即存在常数对（a, 32a）满足.
因此 是“S-函数”
（2）解： 是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:
则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
当a= 时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.
因此 ， ,
则有 .
即 恒成立.
即 ,
当 时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足 是一个“S-函数”的常数（a, b）=
（3）解：函数 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对 和 ，
于是
即 ,
， .
.
依次类推可知
因此,
综上可知当 时函数 的值域为 .
【知识点】函数的值域；抽象函数及其应用；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用“S-函数”的定义结合已知条件判断出函数 不是“S-函数”且函数 是“S-函数”。
（2）利用“S-函数”的定义结合恒成立问题的解决方法，从而求出所有满足条件的有序实数对 。
（3）利用“S-函数”的定义结合类比推理的方法，再利用已知条件求出当 时函数 的值域。
广东省实验中学2019-2020学年高一上学期数学12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高一上·广东月考）在平面直角坐标系中，已知角 始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且 终边上有一点P坐标为 ，则 ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】已知角 始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且 终边上有一点P坐标为 ，
则 ， ， ，
故答案为：C．
【分析】由题意结合三角函数的定义可得 ， ，据此求解 的值即可.
2．（2019高一上·广东月考）下列函数中是奇函数，且最小正周期是 的函数是（ ）
A． B．
C．y=sin D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正切函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】函数 是奇函数但周期是 ，故答案A不符合题意．函数 周期是 ，但是偶函数，故答案B不符合题意．函数 的周期为 ，但为偶函数，故答案C不符合题意．函数 是奇函数且周期为 ， D符合题意．
故答案为：D
【分析】利用三角型函数的最小正周期公式和奇函数的定义结合已知条件，从而找出满足要求的函数。
3．（2019高一上·广东月考）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】∵ ， ，∴ ，
，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】由 及 得 ，这样只要对 平方后可利用平方关系和二倍角公式求值.
4．（2019高一上·广东月考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为
所以 的图象向右平移 个单位，即可得到
故答案为：C
【分析】将函数 变形为 根据三角函数的平移变换求解即可.
5．（2019高一上·杭州期末）若函数 局部图象如图所示，则函数 的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】 ，
；
又由图象可得： ，可得： ，
，
， ．
， ，
又 ，
当 时，可得： ，此时，可得：
故答案为：D．
【分析】根据函数的最大值求出A，结合周期求出，代入特殊点求出，即可得到函数的解析式.
6．（2019高一下·中山月考）函数 在区间（ ， ）内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=
分段画出函数图象如D图示，
故答案为：D．
【分析】由已知函数得到分段函数的解析式，即可分段画出函数的图象.
7．（2019高一上·广东月考）在△ABC中，已知 ，则△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】在△ABC中,因为 ,
所以 ,
所以
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以△ 一定是等腰三角形.
故答案为：B
【分析】根据三角形内角和定理以及诱导公式,将 化为 ,再根据两角和的正弦公式和两角差的正弦公式的逆用公式化为 ,最后根据 的范围,可得 .
8．（2019高一上·广东月考）若 ，则 的值是（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】A
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】因为 ,
所以 , , ,
所以 .
故答案为：A
【分析】根据 ,推出 , , 的符号,根据符号去掉绝对值即可计算得到答案
9．（2019高一上·广东月考）给出下列命题中正确的个数有（ ）
①小于90°的角为锐角；②存在实数x，使sinx+cosx=2;③sin2·cos3·tan4符号为负④终边相同的角有无限多个；⑤若α，β是第一象限角且α<β,则tanα
【答案】B
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角；三角函数值的符号
【解析】【解答】①:大于0°且小于90°的角叫锐角,故①不正确;
②:因为 ,故②不正确;
③:因为 ,所以 ,因为 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,故③正确;
④:与 终边相同的角,连同 在内的所有角的集合为 ,因此 终边相同的角有无限多个是正确的;
⑤:取 , ,满足 ,但是 ,故⑤不正确.
故答案为：B
【分析】根据锐角的定义可知①不正确,根据 ,可知②不正确,根据三角函数的符号规则可知③正确,根据终边相同的角的集合可知④正确,举特殊角可知⑤不正确.
10．（2018高一上·台州期末）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；正弦函数的单调性
【解析】【解答】 ， ， ，
又 在 上单调递增，且 ，
∴
故答案为：C
【分析】将a,b用二倍角正余弦公式化为锐角的正弦,再将c先用二倍角正切公式求出值,再化为锐角的正弦,由正弦函数的单调性比较大小.
11．（2019高一上·广东月考）已知函数 ，对于任意 ，都有 ，且 在 有且只有5个零点，则
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】 函数 ，对于任意 ，都有 ，
故 的图象关于点 对称， ，即 ， ．
在 有且只有5个零点，则 ，求得 ，
综上，结合所给的选项可得， ，
故答案为：A．
【分析】由题意可得 的图象关于点 对称，可得 ，再根据 在 有且只有5个零点，则可得 ，结合所给的选项，求得 的值．
12．（2019高一上·广东月考）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】因为
,
因为值域为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 的最大值为 ,
而 ,
所以 的值不可能是 .
故答案为：D
【分析】先将 化为 ,再根据值域可得 ,进而可得 ,所以 的最大值为 ,只有选项 不满足.
二、填空题
13．（2019高一上·广东月考）一个扇形的半径为4，圆心角为120°，它的面积为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】将120°化为弧度数为 ,
因为 ,
根据扇形的面积公式可得 .
故答案为: .
【分析】将角度数化为弧度数后,利用扇形的面积公式计算可得答案.
14．（2019高一上·广东月考）已知 ，则 .
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】原式 .
故答案为:
【分析】根据诱导公式化简后,再根据同角公式弦化切即可得到答案.
15．（2019高一上·广东月考）化简： .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】原式
故答案为:
【分析】将正切化为弦后通分,利用两角差的正弦公式的逆用公式化简,然后用二倍角的正弦公式以及诱导公式可得答案.
16．（2019高一上·广东月考）已知函数 ，若方程 有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数 ，
函数的图象如图：方程 有四个不同的实数根，
转化为 ， 有4个交点．
可得 ．
故答案为： ．
【分析】首先由函数的解析式绘制函数图象，然后将问题转化为 ， 有4个交点，据此确定实数a的取值范围即可.
三、解答题
17．（2019高一上·广东月考）已知 ， ，且
(Ⅰ)求 的值；
(Ⅱ)若 ，求 的值.
【答案】解：(Ⅰ)因为 ， ，所以 ，
因此 ，
所以 ；
(Ⅱ)因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
因此 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】(Ⅰ)根据题中条件，求出 ，进而可得 ，再由两角差的正切公式，即可得出结果；(Ⅱ)根据题中条件，得到 ，求出 ，再由 ，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.
18．（2019高一上·广东月考）已知函数
（1）将函数 化简成 的形式，并指出 的最小正周期、振幅、初相和单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
【答案】（1）解：因为
,
最小正周期为 ,振幅 ,初相 ,
由 ,
得 ,
所以单调递增区间为 .
（2）解：因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 在区间 上的最大值为 ,最小值为
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的单调性；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式,两角差的正弦公式的逆用公式可得 ,再根据周期公式得周期,根据振幅的概念得振幅,根据初相的概念得初相,根据正弦函数的递增区间得增区间;(2)根据正弦函数的最值的性质计算可得答案.
19．（2019高一上·广东月考）已知函数 的图像关于直线 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求函数f（x）的解析式和对称中心；
（2）求 的定义域；
（3）在给定的坐标系中，用“五点作图法”按照列表-描点-连线三步作出函数f（x）在 图象．
【答案】（1）解：因为图像上相邻两个最高点的距离为π,所以周期 ,
所以 ,
因为图像关于直线 对称,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
由 ,得 ,
所以 的中心为
（2）解：因为 ,
由 ,得 ,
所以 ,
解得 ,
所以 的定义域为 .
（3）解：列表如下:
0 0 1
描点,连线可得图象如下:
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)根据像上相邻两个最高点的距离为π.求得周期,由周期求得 ,根据对称轴求得 ,由此可得解析式,根据正弦函数的中心可求得 的中心;(2)利用正弦函数的图象解三角不等式 可得定义域;(3)利用正弦函数的五个关键点可得函数在 上的图象.
20．（2019高一上·广东月考）在经济学中，函数 的边际函数 定义为 ．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产 台 的收益函数为 （单位：万元），成本函数 （单位：万元），该公司每月最多生产 台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）
（1）求利润函数 及边际利润函数 ；
（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少 （精确到 ）
（3）求 为何值时利润函数 取得最大值，并解释边际利润函数 的实际意义．
【答案】（1）解：由题意知： 且 ，
，
.
（2）解：每台医疗器材的平均利润 ，当且仅当 时等号成立.
因为 ，当每月生产 台机器时，每台平均约为 万元，每月生产 台时，每台平均约为 万元，故每月生产 台时，每台医疗器材的平均利润最大为 万元
（3）解： ，
由 ，得 ，此时 随 增大而增大，
由 得 ，此时 随 增大而减小，
或 时， 取得最大值.
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
【知识点】二次函数的性质；基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据利润公式得到 ，根据边际函数定义得到 ；（2）判断函数的单调性，计算 和 对应的平均利润，从而得到结论；（3）根据二次函数的对称性求出 的值.
21．（2019高一上·广东月考）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y= x+a没有交点，求a的取值范围；
（3）若函数h（x）= +m 2x-1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即 log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立．
∴2kx=log4（4-x+1）-log4（4x+1）= = =-x，
∴k=-
（2）解：若函数y=f（x）的图象与直线y= x+a没有交点，
则方程log4（4x+1）- x= x+a即方程log4（4x+1）-x=a无解．
令g（x）=log4（4x+1）-x= = ，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．
∵g（x）在R上是单调减函数． ，
∴g（x）＞0．
∴a≤0
（3）解：由题意函数h（x）= +m 2x-1=4x+m 2x，x∈[0，log23]，
令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]
∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=- ，
故当- ≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，
当1＜- ＜3，即-6＜m＜-2时，当t=- 时，函数取最小值 =0，解得：m=0（舍去），
当- ≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），
综上所述，存在m=-1满足条件
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（-x）=f（x），可得k的值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y= x+a没有交点，方程log4（4x+1）-x=a无解，则函数g（x）= 的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；（3）函数h（x）=4x+m 2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．
22．（2019高一上·广东月考）已知函数 ，如果存在给定的实数对（ ），使得 恒成立，则称 为“S-函数”.
（1）判断函数 是否是“S-函数”；
（2）若 是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对 ；
（3）若定义域为 的函数 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对 和 ，当 时， 的值域为 ，求当 时函数 的值域.
【答案】（1）解：若 是“S-函数”，则存在常数 ，使得 (a+x)(a-x)=b.
即x2=a2-b时，对一切实数恒成立.而x2=a2-b最多有两个解，矛盾，
因此 不是“S-函数”
若 是“S-函数”，则存在常数a,b使得 ，
即存在常数对（a, 32a）满足.
因此 是“S-函数”
（2）解： 是一个“S-函数”，设有序实数对（a, b）满足:
则tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.
当a= 时，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常数.
因此 ， ,
则有 .
即 恒成立.
即 ,
当 时，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.
因此满足 是一个“S-函数”的常数（a, b）=
（3）解：函数 是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对 和 ，
于是
即 ,
， .
.
依次类推可知
因此,
综上可知当 时函数 的值域为 .
【知识点】函数的值域；抽象函数及其应用；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用“S-函数”的定义结合已知条件判断出函数 不是“S-函数”且函数 是“S-函数”。
（2）利用“S-函数”的定义结合恒成立问题的解决方法，从而求出所有满足条件的有序实数对 。
（3）利用“S-函数”的定义结合类比推理的方法，再利用已知条件求出当 时函数 的值域。
