内蒙古集宁一中2019-2020学年高一下学期数学第二次月考试卷
一、单选题
1．（2020高一下·内蒙古月考）已知扇形的面积为2cm2，扇形圆心角θ的弧度数是4，则扇形的周长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．（2020高一下·内蒙古月考）已知角 的终边过点 ，且 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019高一下·潮州期末）设D为 所在平面内一点，若 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020·武汉模拟）已知tan（ ）＝7，且 ，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高一下·深圳期中）已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2020高一下·忻州期中） 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高一下·内蒙古月考）向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则t的范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
8．（2019·九江模拟）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
9．（2019高一下·临沂月考）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
10．（2020高一下·内蒙古月考）若 均为锐角， ， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D．
11．（2020高一下·内蒙古月考）如图四边形ABCD为平行四边形， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
12．（2019高三上·汉中月考）已知函数 ，若方程 在区间 内的解为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020高一下·内蒙古月考）函数 的定义域是 ．
14．（2019高一上·汤原月考）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 ．
15．（2020高一下·内蒙古月考）设定义在区间 上的函数 的图象与 的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为 ，直线 与函数 的图象交于点 ，则线段 的长为 .
16．（2020高一下·内蒙古月考）关于下列命题：
①若 是第一象限角，且 ，则 ；
②函数 是偶函数；
③函数 的一个对称中心是 ；
④函数 在 上是增函数，
所有正确命题的序号是 ．
三、解答题
17．（2020高一下·内蒙古月考）已知
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值.
18．（2020高一下·内蒙古月考）已知平面直角坐标系 中有三点 、 、 ，其中O为坐标原点.
（1）求与 同向的单位向量 的坐标；
（2）若点P是线段 （包括端点）上的动点，求 的取值范围.
19．（2020高一下·内蒙古月考）已知 ， ，其中 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
20．（2020高一下·林州月考）已知定义在 上的函数 （其中 ， ， ）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且图象上一个最低点的坐标为 .
（1）求函数 的解析式，并求其单调递增区间；
（2）若 时， 的最大值为4，求实数 的值.
21．（2020高一下·内蒙古月考）已知两个不共线的向量 满足 ， ， .
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）当 时，若存在两个不同的 使得 成立，求正数m的取值范围.
22．（2020高一下·内蒙古月考）如图是函数 的部分图象.
（1）求函数 的表达式；
（2）把函数 的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移 个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数 的图象.若对任意的 ，方程 在区间 上至多有一个解，求正数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的半径为R，则 R2θ=2，∴R2=1 R=1，∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm)，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式求出圆的半径，再利用扇形的周长公式求出扇形的周长。
2．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角 的终边过点 ，所以 ， ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合勾股定理求出r的值，再利用三角函数的定义求出角的余弦值，再利用已知的 ，从而求出m的值。
3．【答案】A
【知识点】向量加减法的应用
【解析】【解答】∵，
∴ =3( )，
∴ = 。
故答案为：A.
【分析】利用共线定理结合平面向量基本定理，再利用已知条件找出关系正确的选项。
4．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为tan（ ）＝
所以 ，
即 ，
又因为 且 ，
所以sinα＝ .
故选：B
【分析】先利用两角和的正切转化tan（ ）＝ 求得 ，再结合平方关系 求解.
5．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
故答案为：B.
【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的运算律结合数量积公式，由向量的投影求解方法结合已知条件求出向量 在向量 方向上的投影。
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由已知得
=
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解.
7．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线，
，得 .
向量 ， 共线时， ，得 .此时 .
所以 且 .
故答案为：C.
【分析】若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.
8．【答案】D
【知识点】正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：∵y＝sinx的值域为[ ，1]，
∴ 2kπ≤x 2kπ（k∈Z），
∴（b﹣a）max＝（ 2kπ）﹣（ 2kπ） ．
故答案为：D．
【分析】由已知y＝sinx的值域，得到x的范围，即可求出 的最大值 .
9．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，
故答案为：D．
【分析】由已知利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，分别判断各选项即可得结果.
10．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】∵α为锐角， s，∴α＞45°且 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
故答案为：B.
【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．
11．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】选取 为基底，
则 ，
又 ，
将以上两式比较系数可得 ．
故答案为：D．
【分析】选取 为基底将向量 进行分解，然后与条件对照后得到 的值．
12．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】 即函数 的对称轴为
在区间 内的解为
.
又因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：D
【分析】由题意可得 ，得 ，通过计算 的范围，利用三角恒等变化可求 的值，即可得出 。
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 由题意可得，函数 满足 ，即 ，
解得 ，
即函数 的定义域为 。
【分析】利用对数函数的定义域和正弦函数的图象，从而求出函数 的定义域。
14．【答案】
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】解：由题意可得 ，所以 ，因为 ，所以
【分析】由对称轴得 ，再根据限制范围求结果.
15．【答案】
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】画出函数 ， ， 在 上的图象，如图所示.
观察图象可知，线段 的长即为满足 时对应的 的值，
所以 ，所以
因为 ， ， ，
则 ，所以 ，故线段 的长为 .
故答案为： .
【分析】画出函数 ， ， 在 上的图象，如图所示.
观察图象可知，线段 的长即为满足 时对应的 的值，再求出 的值即得解.
16．【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；
对于②，函数y=sin =-cos πx，f( x)=-cos( πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；
对于③，令2x- =kπ，解得x= (k∈Z)，所以函数y=sin 的对称中心为 ，
当k=0时，可得对称中心为 ，所以③正确；
对于④，函数 ，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减，所以④不正确．
综上，命题②③正确．
【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．
17．【答案】（1）解：
（2）解：因为 ，所以 ，由于
将 代入，得
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可；（2）由（1）可求出 ，然后利用同角三角函数的基本关系式将 化成只含有 的表达式，代入即可求解．
18．【答案】（1）解：
（2）解： 平面直角坐标系 中点 、
线段 的方程为 ，即
设 ， . 则 ，
则上式为关于 的开口向上，对称轴为 的二次函数.
当 时 取得最小值
当 时 取得最小值
所以
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的模；单位向量；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由与 同向的单位向量为 ，直接求解，即可（2）由题意可知线段 的方程为 ，则设 ，从而 ，求解关于 的二次函数的值域即可.
19．【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据题意，由 ，求解 ，注意角的范围，可求得 值，再根据 运用两角和正切公式，即可求解；（2）由题意，配凑组合角 ，运用两角差余弦公式，即可求解.
20．【答案】（1）解：由题意，相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 ， ，
又一个最低点的坐标为 ， ，
，则 ，又 ，
故函数解析式为 .
由 ， ，得， ， ，
∴函数 的单调递增区间是 .
（2）解： ，
由已知 ； .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）根据题意，相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，确定参数 ，再根据最低点坐标可确定 和 ，即可求解函数解析式，（2）根据题意写出 解析式，由 确定 ，再讨论 的正负情况，列出最大值，求解参数.
21．【答案】（1）解：由条件知 ， ，又 与 垂直，
所以 ，所以 .
所以 ，故 .
（2）解：由 ，得 ，
即 ，
即 ， ，
所以 .
由 得 ，又 要有两解，结合三角函数图象可得，
，即 ，又因为 ，所以 .
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）已知 与 垂直，所以以 ，变形得 ，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为 ， ，代入上式可得 ，求得 .求向量的模，应先求向量的平方．所以 ，故 . （2）由条件 ，得 ，整理得 ，即 ，用向量坐标表示数量积得 ，用辅助角公式得 . 由 得 ，又 要有两解，结合正弦函数图象可得， ，所以 ，即 ，解一元二次不等式，又因为 ，所以 .
22．【答案】（1）解：由图可知： ， ，即 ；
∴ ，∴ ；
又由图可知： 是五点作图法中的第三个点.
∴ ，即 ，∴ .
（2）解：先把函数 的图象的周期扩大为原来的两倍，得到函数解析式为 ；
向右平移 个单位后得到的函数解析式为 ；
纵坐标伸长为原来的两倍后得到的函数解析式为 ；
最后向上平移一个单位得到函数解析式为 ，
函数 的图象如图所示：
则当 图象伸长为原来的5倍以上时符合题意.
所以 .
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）根据图象的最高点的纵坐标可求A，结合周期可求 ，利用过点的坐标可求 ；（2）先根据图象变换求出 的解析式，结合 的图象及解的情况可得正数k的取值范围.
内蒙古集宁一中2019-2020学年高一下学期数学第二次月考试卷
一、单选题
1．（2020高一下·内蒙古月考）已知扇形的面积为2cm2，扇形圆心角θ的弧度数是4，则扇形的周长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的半径为R，则 R2θ=2，∴R2=1 R=1，∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm)，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合扇形的面积公式求出圆的半径，再利用扇形的周长公式求出扇形的周长。
2．（2020高一下·内蒙古月考）已知角 的终边过点 ，且 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为角 的终边过点 ，所以 ， ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合勾股定理求出r的值，再利用三角函数的定义求出角的余弦值，再利用已知的 ，从而求出m的值。
3．（2019高一下·潮州期末）设D为 所在平面内一点，若 ，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】向量加减法的应用
【解析】【解答】∵，
∴ =3( )，
∴ = 。
故答案为：A.
【分析】利用共线定理结合平面向量基本定理，再利用已知条件找出关系正确的选项。
4．（2020·武汉模拟）已知tan（ ）＝7，且 ，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为tan（ ）＝
所以 ，
即 ，
又因为 且 ，
所以sinα＝ .
故选：B
【分析】先利用两角和的正切转化tan（ ）＝ 求得 ，再结合平方关系 求解.
5．（2019高一下·深圳期中）已知向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
故答案为：B.
【分析】利用两向量垂直数量积为0，再利用数量积的运算律结合数量积公式，由向量的投影求解方法结合已知条件求出向量 在向量 方向上的投影。
6．（2020高一下·忻州期中） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】由已知得
=
故答案为：B.
【分析】根据诱导公式化简到角是锐角，再用正弦和差角公式求解.
7．（2020高一下·内蒙古月考）向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则t的范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线，
，得 .
向量 ， 共线时， ，得 .此时 .
所以 且 .
故答案为：C.
【分析】若 ， 的夹角为钝角，则 且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.
8．（2019·九江模拟）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：∵y＝sinx的值域为[ ，1]，
∴ 2kπ≤x 2kπ（k∈Z），
∴（b﹣a）max＝（ 2kπ）﹣（ 2kπ） ．
故答案为：D．
【分析】由已知y＝sinx的值域，得到x的范围，即可求出 的最大值 .
9．（2019高一下·临沂月考）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，
故答案为：D．
【分析】由已知利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，分别判断各选项即可得结果.
10．（2020高一下·内蒙古月考）若 均为锐角， ， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】∵α为锐角， s，∴α＞45°且 ，
∵ ，且 ，
∴ ，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
故答案为：B.
【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．
11．（2020高一下·内蒙古月考）如图四边形ABCD为平行四边形， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】选取 为基底，
则 ，
又 ，
将以上两式比较系数可得 ．
故答案为：D．
【分析】选取 为基底将向量 进行分解，然后与条件对照后得到 的值．
12．（2019高三上·汉中月考）已知函数 ，若方程 在区间 内的解为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】 即函数 的对称轴为
在区间 内的解为
.
又因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故答案为：D
【分析】由题意可得 ，得 ，通过计算 的范围，利用三角恒等变化可求 的值，即可得出 。
二、填空题
13．（2020高一下·内蒙古月考）函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】 由题意可得，函数 满足 ，即 ，
解得 ，
即函数 的定义域为 。
【分析】利用对数函数的定义域和正弦函数的图象，从而求出函数 的定义域。
14．（2019高一上·汤原月考）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】解：由题意可得 ，所以 ，因为 ，所以
【分析】由对称轴得 ，再根据限制范围求结果.
15．（2020高一下·内蒙古月考）设定义在区间 上的函数 的图象与 的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为 ，直线 与函数 的图象交于点 ，则线段 的长为 .
【答案】
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】画出函数 ， ， 在 上的图象，如图所示.
观察图象可知，线段 的长即为满足 时对应的 的值，
所以 ，所以
因为 ， ， ，
则 ，所以 ，故线段 的长为 .
故答案为： .
【分析】画出函数 ， ， 在 上的图象，如图所示.
观察图象可知，线段 的长即为满足 时对应的 的值，再求出 的值即得解.
16．（2020高一下·内蒙古月考）关于下列命题：
①若 是第一象限角，且 ，则 ；
②函数 是偶函数；
③函数 的一个对称中心是 ；
④函数 在 上是增函数，
所有正确命题的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；
对于②，函数y=sin =-cos πx，f( x)=-cos( πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；
对于③，令2x- =kπ，解得x= (k∈Z)，所以函数y=sin 的对称中心为 ，
当k=0时，可得对称中心为 ，所以③正确；
对于④，函数 ，当 时， ，所以函数 在区间 上单调递减，所以④不正确．
综上，命题②③正确．
【分析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．
三、解答题
17．（2020高一下·内蒙古月考）已知
（1）化简 ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：
（2）解：因为 ，所以 ，由于
将 代入，得
【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）直接利用诱导公式化简求解即可；（2）由（1）可求出 ，然后利用同角三角函数的基本关系式将 化成只含有 的表达式，代入即可求解．
18．（2020高一下·内蒙古月考）已知平面直角坐标系 中有三点 、 、 ，其中O为坐标原点.
（1）求与 同向的单位向量 的坐标；
（2）若点P是线段 （包括端点）上的动点，求 的取值范围.
【答案】（1）解：
（2）解： 平面直角坐标系 中点 、
线段 的方程为 ，即
设 ， . 则 ，
则上式为关于 的开口向上，对称轴为 的二次函数.
当 时 取得最小值
当 时 取得最小值
所以
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的模；单位向量；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由与 同向的单位向量为 ，直接求解，即可（2）由题意可知线段 的方程为 ，则设 ，从而 ，求解关于 的二次函数的值域即可.
19．（2020高一下·内蒙古月考）已知 ， ，其中 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）根据题意，由 ，求解 ，注意角的范围，可求得 值，再根据 运用两角和正切公式，即可求解；（2）由题意，配凑组合角 ，运用两角差余弦公式，即可求解.
20．（2020高一下·林州月考）已知定义在 上的函数 （其中 ， ， ）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且图象上一个最低点的坐标为 .
（1）求函数 的解析式，并求其单调递增区间；
（2）若 时， 的最大值为4，求实数 的值.
【答案】（1）解：由题意，相邻两条对称轴之间的距离为 ，则 ， ，
又一个最低点的坐标为 ， ，
，则 ，又 ，
故函数解析式为 .
由 ， ，得， ， ，
∴函数 的单调递增区间是 .
（2）解： ，
由已知 ； .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）根据题意，相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，确定参数 ，再根据最低点坐标可确定 和 ，即可求解函数解析式，（2）根据题意写出 解析式，由 确定 ，再讨论 的正负情况，列出最大值，求解参数.
21．（2020高一下·内蒙古月考）已知两个不共线的向量 满足 ， ， .
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）当 时，若存在两个不同的 使得 成立，求正数m的取值范围.
【答案】（1）解：由条件知 ， ，又 与 垂直，
所以 ，所以 .
所以 ，故 .
（2）解：由 ，得 ，
即 ，
即 ， ，
所以 .
由 得 ，又 要有两解，结合三角函数图象可得，
，即 ，又因为 ，所以 .
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】（1）已知 与 垂直，所以以 ，变形得 ，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为 ， ，代入上式可得 ，求得 .求向量的模，应先求向量的平方．所以 ，故 . （2）由条件 ，得 ，整理得 ，即 ，用向量坐标表示数量积得 ，用辅助角公式得 . 由 得 ，又 要有两解，结合正弦函数图象可得， ，所以 ，即 ，解一元二次不等式，又因为 ，所以 .
22．（2020高一下·内蒙古月考）如图是函数 的部分图象.
（1）求函数 的表达式；
（2）把函数 的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移 个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数 的图象.若对任意的 ，方程 在区间 上至多有一个解，求正数k的取值范围.
【答案】（1）解：由图可知： ， ，即 ；
∴ ，∴ ；
又由图可知： 是五点作图法中的第三个点.
∴ ，即 ，∴ .
（2）解：先把函数 的图象的周期扩大为原来的两倍，得到函数解析式为 ；
向右平移 个单位后得到的函数解析式为 ；
纵坐标伸长为原来的两倍后得到的函数解析式为 ；
最后向上平移一个单位得到函数解析式为 ，
函数 的图象如图所示：
则当 图象伸长为原来的5倍以上时符合题意.
所以 .
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）根据图象的最高点的纵坐标可求A，结合周期可求 ，利用过点的坐标可求 ；（2）先根据图象变换求出 的解析式，结合 的图象及解的情况可得正数k的取值范围.
