广东省广州市南沙区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷
一、单选题
1．（2021八上·岳阳期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，故选项A错误；
是最简二次根式，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，从而根据最简二次根式的定义一一判定即可解答.
2．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．5，7，10 B．3，4，5 C．6，8，10 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，
，
以5，7，10为三边的三角形不是直角三角形，A符合题意；
B、，
以3，4，5为三边的三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、，
以6，8，10为三边的三角形是直角三角形，C不符合题意；
D、，
以1，2，为三边的三角形是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
3．在四边形中，，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形是平行四边形（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
，
，，故选项D不能得出四边形是平行四边形；
当时 ，
，，故选项A不能得出四边形是平行四边形；
当时，
，，故选项B不能得出四边形是平行四边形；
当时，
，故选项C可以得出四边形是平行四边形.
故答案为：C.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
4．已知函数是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下面判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：y随着x的增大而减小，
，
.
故答案为：D.
【分析】对于正比例函数y=kx，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.
5．若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，，，
，
丙同学的成绩最稳定.
故答案为：C.
【分析】方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
6．菱形的对角线，，则对角线的长是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
菱形的对角线，，
，，，，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用菱形的性质得到是角的直角三角形，再通过直角三角形的性质求得OD的长度，进而得到对角线的长.
7．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得米，米，米，，
米，
米，
，
米，
米，
梯子的底部向外滑0.8米.
故答案为：D.
【分析】先根据题意表示出已知线段的长度，再通过勾股定理计算得到CE的长，进而求得DA的长度.
8．如果，且a是非负数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
，
.
故答案为：C.
【分析】二次根式的性质：.
9．若正比例函数的图象经过第二、第四象限，常数k和b互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过第二、第四象限，
，
一次函数的图象经过第二、第四象限，
常数k和b互为相反数，
，
当时，，
一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，
一次函数的图象经过第二、第三、第四象限.
故答案为：D.
【分析】对于一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.
10．如图，点B，C，E在同一直线上，分别以为边作正方形和正方形，，H是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，
四边形和四边形是正方形，，
，，，
，，，
，
，
点H是的中点，
.
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质证得是直角三角形，再通过勾股定理求得AF的长度，然后由直角三角形的性质得到CH的长度.
二、填空题
11．（2017八下·海安期中）计算： = ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】根据二次根式的运算法则可知：原式=2 = ，
故答案为： 。
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可。
12．直线的图象一定不经过第 象限．
【答案】三
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：，
直线的图象经过第二、第四象限，
当时，，
直线的图象与y轴的交点在x轴上方，
直线的图象经过第一、第二、第四象限，
直线的图象不经过第三象限.
故答案为：三.
【分析】由k<0可得，y随x的增大而减少，故直线的图象经过第二、第四象限，再根据函数图象与y轴的交点在x轴上方，故直线的图象经过第一、第二、第四象限，进而可知函数图象不经过第三象限.
13．在直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作轴，
，轴，
，，，
.
故答案为：.
【分析】过点P作轴构造直角三角形，再通过勾股定理求得点P到原点的距离.
14．若一组数据：1，7，8，a，4的平均数是5，中位数是 ．
【答案】5
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：，
将数据从小到大排列得：1，4，5，7，8，
中位数为5.
故答案为：5.
【分析】先利用平均数的定义求得a的值，再将数据重新排列得到中间位置的数，即中位数.
15．如图，在矩形中，，的平分线与边交于点E，则的长是 ．
【答案】5
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
在矩形中， ，
，，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
.
故答案为：5.
【分析】设，作，利用角平分线的定义通过AAS判定得到DF的长，再通过勾股定理列出关于x的方程解得DE的长度.
16．直线与直线的交点在第四象限内，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：联立方程组得，
把代入，得，
，
把代入，得，
两函数的交点坐标为，
直线与直线的交点在第四象限内，
，解得，
.
故答案为：.
【分析】先利用两函数的解析式联立方程组求得两函数的交点坐标，再由第四象限的点坐标的特征列出关于m的不等式组，进而解得m的取值范围.
三、解答题
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用分配律展开乘积项，再运用二次根式的性质进行二次根式的混合运算.
18．如图，在中，，，，，求的长．
【答案】解：∵，，
∴．
故为直角三角形，
∴，
故的长为．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】先由三角形的内角和定理证得为直角三角形，再利用勾股定理求得AB的长度.
19．周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2
（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
（2）当时，求S的值．
【答案】（1）解：，
周长20cm是常量；一边xcm，面积S是变量．
（2）解：当时，
．
【知识点】常量、变量；函数值；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】(1)根据矩形的周长可表示出矩形的另一边长为(10-x)，再求得矩形面积的表达式.
(2)将x的值代入(1)中得到的表达式，进而求得S的值.
20．如图，，的平分线交于点，点在上，，连接．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
又
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义证得，进而得到，再通过一组对边平行且相等证得四边形是平行四边形，然后通过邻边相等判定四边形是菱形．
21．请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题．
【材料1】两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是．
【材料2】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
问题探究：
（1）写出的一个有理化因式：_ ；
（2）计算：；
（3）将式子分母有理化．
【答案】（1）
（2）解：，
，
，
．
（3）解：
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)，
的一个有理化因式是.
故答案为：.
【分析】(1)利用平方差公式可得与的乘积是有理数，故的一个有理化因式是.
(2)先利用平方差公式和完全平方公式对乘积项进行展开，再进行实数的运算.
(3)由平方差公式可知的一个有理化因式是，利用分式的基本性质将分母化为有理数，再化简分式.
22．某渔业养殖户在自家鱼塘中放养了某种鱼2000条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：
鱼的条数（条） 平均每条鱼的质量（千克）
第一次 30 2.8
第二次 40 3
第三次 30 3.2
（1）求鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
（2）若这种鱼放养的成活率是，请估计鱼塘中这种鱼的总重量．（新生鱼和死鱼不计算入内．）
（3）如果把鱼塘中放养的2000条中存活的这种鱼全部卖掉，价格为每千克20元，若投资成本为45000元，求卖出后获得的纯利润．
【答案】（1）解：平均重量为：（千克），
答：鱼塘中这种鱼平均每条的重量为3千克；
（2）解：∵鱼放养的成活率是，
∴该鱼塘中共有鱼条，
总重量为：（千克），
答：估计鱼塘中这种鱼的总重量为5100千克；
（3）解：总收入为：（元），
∴（元），
答：卖出后获得的纯利润为57000元．
【知识点】用样本估计总体；加权平均数及其计算
【解析】【分析】(1)根据表格中所给的数据利用加权平均数计算出鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
(2)先求出存活下来的鱼的数量，再通过鱼的平均重量求得鱼塘中这种鱼的总重量．
(3)先通过鱼塘中这种鱼的总重量求得卖鱼的总收入，再减去成本得到卖出后获得的纯利润.
23．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．两函数图象交于点．
（1）求和的值；
（2）求线段的长；
（3）若直线上有一动点，过作直线，平行于轴，直线于点．当时，求的坐标．
【答案】（1）解：把代入一次函数中得，
，
，
把代入一次函数中得，
；
（2）解：由（1）知，
当时，，
，，
；
（3）解：由（1）得，令，得，
，
，
设，，则，
，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
的坐标为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】(1)先利用一次函数求得m值得到点P坐标，再将点P坐标代入解得k的值.
(2)先利用x轴上点坐标的特征通过求得点A坐标，再利用两点之间的距离公式求得AP的长度.
(3)设，，根据 平行于轴可得点Q、H的横坐标相等，通过一次函数可得，故，再点B坐标得到QH的长，列出关于t的方程求解，进而得到点Q坐标.
24．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．
（1）当时，求的面积；
（2）若平分，求t的值；
（3）深入探索：若点P运动到边，且是等腰三角形，求t的值．
【答案】（1）解：如图1，在中，，，，
．
由题意得，当时，，
则，
；
（2）解：当线段恰好平分时，作于D，如图2，
∵线段平分，，，
，，
．
在中，，即，
解得，，
，
∴当时，线段恰好平分；
（3）解：如图3，当时，，
，，
，
，
；
如图4，当时，作于点D，
，
，
解得，．
在中，，
，
，
；
如图5，当时，，，
，
．
综上所述，当t为或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)当t=2时，可得AP=4，CP=2，再通过勾股定理求得BC的长，然后计算出的面积.
(2)利用角平分线的性质可得CP=DP，AC=AD=6，再通过勾股定理求得PC的长，进而得到t的值.
(3)先对等腰的腰进行分类讨论，当时，，利用直角三角形的性质证得，进而求得t的值；当时，作，通过等面积法求得CD的长，然后由勾股定理计算出AD，进而求出BP的长得到t的值；当时，可得BP=4，进而得到t的值.
25．已知，如图①，在中，，，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）如图②，当D，H，G三点共线时，求的值；
（3）求的最小值．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
（2）解：连接
在中，
（3）解：∵，
∴点H在以的中点O为圆心，以为半径的圆上运动．
∴
∴的最小值
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)先通过证得四边形是矩形，再利用邻边相等判定四边形是正方形．
(2)先利用余角的性质得到，再利用正方形的性质通过SAS判定，得到BG=DH，然后由勾股定理求得的值.
(3)由可得，点H在以的中点O为圆心，以为半径的圆上运动，故当点O、H、D在同一直线时，DH有最小值.利用勾股定理求得OD的长度，然后得到的最小值．
广东省广州市南沙区2022-2023学年八年级下册数学期末试卷
一、单选题
1．（2021八上·岳阳期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．5，7，10 B．3，4，5 C．6，8，10 D．
3．在四边形中，，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形是平行四边形（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是正比例函数，且y随着x的增大而减小，则下面判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．菱形的对角线，，则对角线的长是（ ）
A． B． C．4 D．2
7．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
8．如果，且a是非负数，则（ ）
A． B． C． D．
9．若正比例函数的图象经过第二、第四象限，常数k和b互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，点B，C，E在同一直线上，分别以为边作正方形和正方形，，H是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2017八下·海安期中）计算： = ．
12．直线的图象一定不经过第 象限．
13．在直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
14．若一组数据：1，7，8，a，4的平均数是5，中位数是 ．
15．如图，在矩形中，，的平分线与边交于点E，则的长是 ．
16．直线与直线的交点在第四象限内，则m的取值范围是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在中，，，，，求的长．
19．周长为20cm的矩形，若它的一边长是xcm，面积是Scm2
（1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
（2）当时，求S的值．
20．如图，，的平分线交于点，点在上，，连接．求证：四边形是菱形．
21．请阅读下面的材料，并探索用材料中的方法解决问题．
【材料1】两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是．
【材料2】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
问题探究：
（1）写出的一个有理化因式：_ ；
（2）计算：；
（3）将式子分母有理化．
22．某渔业养殖户在自家鱼塘中放养了某种鱼2000条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：
鱼的条数（条） 平均每条鱼的质量（千克）
第一次 30 2.8
第二次 40 3
第三次 30 3.2
（1）求鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
（2）若这种鱼放养的成活率是，请估计鱼塘中这种鱼的总重量．（新生鱼和死鱼不计算入内．）
（3）如果把鱼塘中放养的2000条中存活的这种鱼全部卖掉，价格为每千克20元，若投资成本为45000元，求卖出后获得的纯利润．
23．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．两函数图象交于点．
（1）求和的值；
（2）求线段的长；
（3）若直线上有一动点，过作直线，平行于轴，直线于点．当时，求的坐标．
24．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿着A→C→B→A的路径，以每秒的速度运动，当P回到A点时运动结束，设点P运动的时间为t秒．
（1）当时，求的面积；
（2）若平分，求t的值；
（3）深入探索：若点P运动到边，且是等腰三角形，求t的值．
25．已知，如图①，在中，，，点E为上的一动点，连接，过点C作于点H，以为腰作等腰直角连接．
（1）求证：四边形为正方形；
（2）如图②，当D，H，G三点共线时，求的值；
（3）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： ，故选项A错误；
是最简二次根式，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，从而根据最简二次根式的定义一一判定即可解答.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，
，
以5，7，10为三边的三角形不是直角三角形，A符合题意；
B、，
以3，4，5为三边的三角形是直角三角形，B不符合题意；
C、，
以6，8，10为三边的三角形是直角三角形，C不符合题意；
D、，
以1，2，为三边的三角形是直角三角形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，
，
，，故选项D不能得出四边形是平行四边形；
当时 ，
，，故选项A不能得出四边形是平行四边形；
当时，
，，故选项B不能得出四边形是平行四边形；
当时，
，故选项C可以得出四边形是平行四边形.
故答案为：C.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
4．【答案】D
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：y随着x的增大而减小，
，
.
故答案为：D.
【分析】对于正比例函数y=kx，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.
5．【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，，，
，
丙同学的成绩最稳定.
故答案为：C.
【分析】方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
6．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
菱形的对角线，，
，，，，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用菱形的性质得到是角的直角三角形，再通过直角三角形的性质求得OD的长度，进而得到对角线的长.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得米，米，米，，
米，
米，
，
米，
米，
梯子的底部向外滑0.8米.
故答案为：D.
【分析】先根据题意表示出已知线段的长度，再通过勾股定理计算得到CE的长，进而求得DA的长度.
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
，
.
故答案为：C.
【分析】二次根式的性质：.
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：正比例函数的图象经过第二、第四象限，
，
一次函数的图象经过第二、第四象限，
常数k和b互为相反数，
，
当时，，
一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，
一次函数的图象经过第二、第三、第四象限.
故答案为：D.
【分析】对于一次函数y=kx+b，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，
四边形和四边形是正方形，，
，，，
，，，
，
，
点H是的中点，
.
故答案为：B.
【分析】先利用正方形的性质证得是直角三角形，再通过勾股定理求得AF的长度，然后由直角三角形的性质得到CH的长度.
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】根据二次根式的运算法则可知：原式=2 = ，
故答案为： 。
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可。
12．【答案】三
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：，
直线的图象经过第二、第四象限，
当时，，
直线的图象与y轴的交点在x轴上方，
直线的图象经过第一、第二、第四象限，
直线的图象不经过第三象限.
故答案为：三.
【分析】由k<0可得，y随x的增大而减少，故直线的图象经过第二、第四象限，再根据函数图象与y轴的交点在x轴上方，故直线的图象经过第一、第二、第四象限，进而可知函数图象不经过第三象限.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作轴，
，轴，
，，，
.
故答案为：.
【分析】过点P作轴构造直角三角形，再通过勾股定理求得点P到原点的距离.
14．【答案】5
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：，
将数据从小到大排列得：1，4，5，7，8，
中位数为5.
故答案为：5.
【分析】先利用平均数的定义求得a的值，再将数据重新排列得到中间位置的数，即中位数.
15．【答案】5
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
在矩形中， ，
，，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
.
故答案为：5.
【分析】设，作，利用角平分线的定义通过AAS判定得到DF的长，再通过勾股定理列出关于x的方程解得DE的长度.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；两一次函数图象相交或平行问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：联立方程组得，
把代入，得，
，
把代入，得，
两函数的交点坐标为，
直线与直线的交点在第四象限内，
，解得，
.
故答案为：.
【分析】先利用两函数的解析式联立方程组求得两函数的交点坐标，再由第四象限的点坐标的特征列出关于m的不等式组，进而解得m的取值范围.
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用分配律展开乘积项，再运用二次根式的性质进行二次根式的混合运算.
18．【答案】解：∵，，
∴．
故为直角三角形，
∴，
故的长为．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】先由三角形的内角和定理证得为直角三角形，再利用勾股定理求得AB的长度.
19．【答案】（1）解：，
周长20cm是常量；一边xcm，面积S是变量．
（2）解：当时，
．
【知识点】常量、变量；函数值；用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】(1)根据矩形的周长可表示出矩形的另一边长为(10-x)，再求得矩形面积的表达式.
(2)将x的值代入(1)中得到的表达式，进而求得S的值.
20．【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
又
四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】先利用平行线的性质和角平分线的定义证得，进而得到，再通过一组对边平行且相等证得四边形是平行四边形，然后通过邻边相等判定四边形是菱形．
21．【答案】（1）
（2）解：，
，
，
．
（3）解：
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)，
的一个有理化因式是.
故答案为：.
【分析】(1)利用平方差公式可得与的乘积是有理数，故的一个有理化因式是.
(2)先利用平方差公式和完全平方公式对乘积项进行展开，再进行实数的运算.
(3)由平方差公式可知的一个有理化因式是，利用分式的基本性质将分母化为有理数，再化简分式.
22．【答案】（1）解：平均重量为：（千克），
答：鱼塘中这种鱼平均每条的重量为3千克；
（2）解：∵鱼放养的成活率是，
∴该鱼塘中共有鱼条，
总重量为：（千克），
答：估计鱼塘中这种鱼的总重量为5100千克；
（3）解：总收入为：（元），
∴（元），
答：卖出后获得的纯利润为57000元．
【知识点】用样本估计总体；加权平均数及其计算
【解析】【分析】(1)根据表格中所给的数据利用加权平均数计算出鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
(2)先求出存活下来的鱼的数量，再通过鱼的平均重量求得鱼塘中这种鱼的总重量．
(3)先通过鱼塘中这种鱼的总重量求得卖鱼的总收入，再减去成本得到卖出后获得的纯利润.
23．【答案】（1）解：把代入一次函数中得，
，
，
把代入一次函数中得，
；
（2）解：由（1）知，
当时，，
，，
；
（3）解：由（1）得，令，得，
，
，
设，，则，
，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
的坐标为或．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】(1)先利用一次函数求得m值得到点P坐标，再将点P坐标代入解得k的值.
(2)先利用x轴上点坐标的特征通过求得点A坐标，再利用两点之间的距离公式求得AP的长度.
(3)设，，根据 平行于轴可得点Q、H的横坐标相等，通过一次函数可得，故，再点B坐标得到QH的长，列出关于t的方程求解，进而得到点Q坐标.
24．【答案】（1）解：如图1，在中，，，，
．
由题意得，当时，，
则，
；
（2）解：当线段恰好平分时，作于D，如图2，
∵线段平分，，，
，，
．
在中，，即，
解得，，
，
∴当时，线段恰好平分；
（3）解：如图3，当时，，
，，
，
，
；
如图4，当时，作于点D，
，
，
解得，．
在中，，
，
，
；
如图5，当时，，，
，
．
综上所述，当t为或或时，是等腰三角形．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)当t=2时，可得AP=4，CP=2，再通过勾股定理求得BC的长，然后计算出的面积.
(2)利用角平分线的性质可得CP=DP，AC=AD=6，再通过勾股定理求得PC的长，进而得到t的值.
(3)先对等腰的腰进行分类讨论，当时，，利用直角三角形的性质证得，进而求得t的值；当时，作，通过等面积法求得CD的长，然后由勾股定理计算出AD，进而求出BP的长得到t的值；当时，可得BP=4，进而得到t的值.
25．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
（2）解：连接
在中，
（3）解：∵，
∴点H在以的中点O为圆心，以为半径的圆上运动．
∴
∴的最小值
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】(1)先通过证得四边形是矩形，再利用邻边相等判定四边形是正方形．
(2)先利用余角的性质得到，再利用正方形的性质通过SAS判定，得到BG=DH，然后由勾股定理求得的值.
(3)由可得，点H在以的中点O为圆心，以为半径的圆上运动，故当点O、H、D在同一直线时，DH有最小值.利用勾股定理求得OD的长度，然后得到的最小值．
