第1章：有理数（选择题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、单选题
1．50年前，河南林州人民“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”，在蜿蜒陡峭的太行山上，修造了一条号称“世界第八大奇迹”的人间天河一一红旗渠．解决了亩耕地的灌溉问题．用科学记数法表示为（ ）
A．54× B．5.4× C．5.4× D．0.54×
【答案】C
【分析】将表示成 （1≤|a|＜10，n为整数）的形式即可．
【详解】解： ．
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数表示成 （1≤|a|＜10，n为整数）的形式，确定a和n的值成为解答本题的关键．
2．如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（ ）
A．或5 B．或2 C．1或 D．或
【答案】C
【分析】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数．
【详解】解：∵点表示的数分别是10，点落在射线上且到点的距离为6，
∴，
又∵点表示的数是，
当点落在16对应的点时，点表示的数是，
当点落在4对应的点时，点表示的数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．
3．食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是，据此计算即可．
【详解】解：根据题意可知，净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是，
故选：．
【点睛】此题考查了运用正负数概念解决问题的能力，能准确理解正数和负数是表示一对意义相反的量，明确表示的净含量范围是解答本题的关键．
4．在数轴上表示有理数，的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出、的正负，然后在比较出、的大小，最后结合选项进行判断即可．
【详解】解：由点在数轴上的位置可知：，，，
、由于，，，，故本选项错误，不符合题意；
、由于，，，，故本选项正确，符合题意；
、由于，，，，故本选项错误，不符合题意；
、由于，，，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
【点睛】本题重点考查了数轴上的点和有理数的关系，正数，负数大小的比较，绝对值等知识点，读懂数轴的信息是解答本题的关键．
5．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】把各选项的值代入运算程序计算即可得出答案．
【详解】解：A选项，当，时，输出为，故该选项不符合题意；
B选项，当，时，输出为，故该选项符合题意；
C选项，当，时，输出为，故该选项不符合题意；
D选项，当，时，输出为，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的思想，把各选项的值代入运算程序计算是解题的关键．
6．有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴上的位置确定a，b的正负和绝对值的大小，再根据有理数运算法则逐项判断即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
则，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴和有理数运算法则，解题关键是根据数轴确定a，b的正负和绝对值的大小，并熟练运用有理数运算法则进行判断．
7．一根1m长的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据乘方的意义和题意可知：第1次截去后剩下的木棒长，第2次截去后剩下的木棒长，第3次截去后剩下的木棒长，以此类推第次截去后剩下的木棒长 米，即可求解．
【详解】解：第1次截去后剩下的木棒长，
第2次截去后剩下的木棒长，
第3次截去后剩下的木棒长，
……
以此类推第次截去后剩下的木棒长 米，
∴第六次后剩余的小木棒的长度是，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，是基础题，熟记概念并求出截去后剩下部分的份数是解题的关键．
8．在，，，（是圆周率）．，，中，负有理数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，无理数就是无限不循环小数，判断出有理数后再进行正负的判断即可．
【详解】解：是正有理数，是负有理数，是负有理数，是无理数，是正有理数，是负有理数，是正有理数，综上所述负有理数有个，
故选：．
【点睛】本题主要考查有理数和正负数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，是解答本题的关键．
9．设，，，则下列不等关系式中正确的是（ ）
A． B． C．
【答案】A
【分析】根据分数大小比较的方法，分子相同的分数分母小的分数大．再根据减法的意义，用1分别减去a、b、c，求出它们的差，当被减数相同时，差小的减数就大，据此解答即可．
【详解】解：，
，
，
因为，
所以，
所以，
故选：A．
【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数大小比较的方法及应用，关键是明确：当被减数相同时，差小的减数就大．
10．已知，则a，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值法进行判断即可，进行判断即可．
【详解】解：令，
则：，
∵
∴；
故选D．
【点睛】本题考查比较有理数大小．熟练掌握特殊值法，是解题的关键．
11．有理数，在数轴上的位置如下图所示，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数轴得：，，，再根据：非零两数相乘，同号得正，异号得负；减去一个数等于加上这个数的相反数；异号两数相加，取绝对值较大的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；同号两数相加，取与加数相同的符号，再将绝对值相加；；进行逐一判断即可求解．
【详解】解：由数轴得：，，；
A.因为，，所以，故此项错误；
B.因为，，，所以，，故此项错误；
C.因为，，，所以，所以，故此项错误；
D.因为，，，所以，所以，故此项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则，加法法则，绝对值的性质，掌握法则及性质是解题的关键．
12．已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据数轴可得，，再依次分析各项即可判断．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，，，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子符号，正确得到，，是解题的关键．
13．小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80 B．90 C．100 D．120
【答案】B
【分析】分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．
【详解】解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；
和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；
和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；
和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；
∵每次所得的和最小是5，
∴最小的两个数字为2或3；
∵每次所得的和最大是8，
∴最大的两个数字为4或5；
当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；
当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的应用．解题的关键在于分类讨论进行求解．
14．绝对值等于的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据互为相反数的绝对值相等解答．
【详解】绝对值的规律：正数和的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，
∴绝对值等于的数是，
故选：．
【点睛】此题考查了绝对值的性质，熟记互为相反数的绝对值相等是解题的关键.
15．计算的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由，可得表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，即可求解．
【详解】解：
，
表示在数轴上点x与1和之间的距离的和，
当时，
有最小值3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，理解绝对值的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
16．a、b是有理数，且，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件可以判断出a到原点的距离大于b到原点的距离，据此判断即可.
【详解】解：∵a、b是有理数，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数轴上点的位置，属于基础题，要熟练掌握.
17．为了求的值，可令，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题目所给方法，令，则，相减得出的值，即可求解．
【详解】解：令，则，
∴，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，考验了学生的分析、总结、归纳能力，规律题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结一般性的规律．
18．如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴得出，，进而得出，即可进行解答．
【详解】解：从数轴可知：，，
∴，
∴，，，，
即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是掌握数轴上的点表示的数右边>左边．
19．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（ ）
A．4 B．或10 C．4或 D．
【答案】C
【分析】分两种情况，根据数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数即可．
【详解】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是：，
如果A向左平移得到，点B表示的数是：，
故点B表示的数是4或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴的特征和应用，掌握“数轴上的点右移加，左移减” 是解答本题的关键．
20．计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
【答案】B
【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得．
【详解】解：原式
．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键．
21．用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】C
【分析】按照新定义进行代值，可得，进行计算即可求解．
【详解】解：
；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了在新定义下含有乘方的有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键．
22．下列说法正确的是( )
A．整数分为正整数和负整数 B．有理数不包括分数
C．正分数和负分数统称为分数 D．不带“-”号的数就是正数
【答案】C
【分析】分别根据有理数的分类以及正数和负数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．整数分为正整数、零和负整数，原说法错误，故本选项不合题意；
B．有理数包括分数，原说法错误，故本选项不合题意；
C．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；
D．不带“－”号的数就是正数，说法错误，如0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数以及有理数，掌握相关定义是解答本题的关键．
23．如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若A、B两点间的距离为12，则点A表示的数为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】由可得，再根据A、B两点间的距离为12列式求得b，进而求得a即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵A、B两点间的距离为12，
∴，解得：，
∴，
∴点A表示的数为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求数轴上两点距离，掌握数形结合思想是解题的关键．
24．在四个数中最大的数是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】根据正数负数，两个负数比较大小、绝对值大的反而小，据此比较大小即可．
【详解】解：，
，
，则最大的数为：．
故选：D．
【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握“正数负数，两个负数比较大小、绝对值大的反而小”是解答本题的关键．
25．腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等级规则可得一个皇冠是级，由此即可得．
【详解】解：由题意得：两个皇冠的等级是，
即其等级为，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确列出运算式子是解题关键．
26．近似数 是精确到（ ）
A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位
【答案】C
【分析】先将换算为，再判断的0在百位上，即可得到答案．
【详解】解：
∵的0在百位上，
∴近似数是精确到百位，
故选C．
【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的概念：经过四舍五入得到的数叫近似数．
27．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（ ）
A．40 B．53 C．60 D．70
【答案】B
【分析】由题意确定出的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】∵四个互不相同的正整数，满足，
∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，则有：，，，，
解得：，
则．
故选：B．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．如果，，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键．
29．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且，数对应的点到点，的距离相等，数对应的点到点，的距离相等，若，则原点是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用数轴特点确定a、b的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．
【详解】因为，
所以，
所以
当原点在或点时，，又因为，所以原点可能在或点
当原点在或点时，，所以原点不可能在或点
综上所述，原点应是在或点．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义和绝对值的意义，解题的关键是先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解．
30．下列说法中：①1.804(精确到0.01)取近似数是1.80；②若a+b+c=0则可能的值为0或1或2；③两个三次多项式的和一定是三次多项式；④若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a+b=-13；正确的个数有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】将说法① ② ③ ④逐一分析，然后找到对的个数，即可求解．
【详解】说法①，正确；
说法②，若a+b+c=0，则a、b、c三个数一定是两正一负或者两负一正，若是两正一负，则，，若是两负一正，则，，故若a+b+c=0则始终只能为0，所以该说法错误；
说法③，错误；两个三次多项式的和有可能为0；
说法④，错误；．
【点睛】本题属于拔高题，综合性题目．
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第1章：有理数（选择题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、单选题
1．50年前，河南林州人民“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”，在蜿蜒陡峭的太行山上，修造了一条号称“世界第八大奇迹”的人间天河一一红旗渠．解决了亩耕地的灌溉问题．用科学记数法表示为（ ）
A．54× B．5.4× C．5.4× D．0.54×
2．如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是（ ）
A．或5 B．或2 C．1或 D．或
3．食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（ ）
A． B． C． D．
4．在数轴上表示有理数，的点如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．一根1m长的小木棒，第一次截去它的，第二次截去剩余部分的，第三次再截去剩余部分的，如此截下去，第六次后剩余的小木棒的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．在，，，（是圆周率）．，，中，负有理数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．设，，，则下列不等关系式中正确的是（ ）
A． B． C．
10．已知，则a，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．有理数，在数轴上的位置如下图所示，则下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）
A．80 B．90 C．100 D．120
14．绝对值等于的数是（ ）
A． B． C． D．
15．计算的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．a、b是有理数，且，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．为了求的值，可令，则，因此，所以．请仿照以上推理计算出的值是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列比较大小正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（ ）
A．4 B．或10 C．4或 D．
20．计算：（ ）
A． B．1 C．0 D．2023
21．用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（ ）
A． B．8 C． D．4
22．下列说法正确的是( )
A．整数分为正整数和负整数 B．有理数不包括分数
C．正分数和负分数统称为分数 D．不带“-”号的数就是正数
23．如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若A、B两点间的距离为12，则点A表示的数为（ ）
A．4 B． C．8 D．
24．在四个数中最大的数是（ ）
A． B． C． D．5
25．腾讯公司将等级用四个标识图展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级标识图为两个皇冠，则其等级为（ ）
A． B． C． D．
26．近似数 是精确到（ ）
A．千分位 B．千位 C．百位 D．十位
27．如果四个互不相同的正整数满足，则的最大值为（ ）
A．40 B．53 C．60 D．70
28．如果，，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
29．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且，数对应的点到点，的距离相等，数对应的点到点，的距离相等，若，则原点是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
30．下列说法中：①1.804(精确到0.01)取近似数是1.80；②若a+b+c=0则可能的值为0或1或2；③两个三次多项式的和一定是三次多项式；④若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a+b=-13；正确的个数有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
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