第12章：全等三角形（简答题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、解答题
1．如图，在中，、的平分线交于点D，延长交于E，G、F分别在上，连接，其中，．
(1)当时，求的度数；
(2)求证：．
2．综合实践与探究
已知，如图．请按要求完成下列任务：
任务一：按要求画图：
（1）点、是射线上的任意两点（不重合），在射线上截取，；
（2）连结、，线段与交于点；
（3）作射线．
任务二：判断是否为的平分线 若是的平分线，请证明；若不是的平分线，请说明理由．
3．如图，A，D，E三点在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当满足什么条件时，？并说明理由．
4．（1）作图（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
已知：，．
求作：射线，使射线与交于点C，且．
（2）说明
请根据你的作图，说明的道理．
（3）应用
若在中，，，则的面积为________．
5．如图，在和中，，，点三点在同一直线上，连接交于点．
(1)求证：；
(2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由．
6．如图，和中，，，和交于点．
(1)与全等吗？为什么？
(2)过点作，过点作，试判断和的数量关系，并说明你判断的理由
7．如图，中，平分，过点作于点，点是的中点，连接，若，，求的长．
8．在中，，平分，于．
(1)求证：；
(2)求的长．
9．如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)求证：．
10．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
11．如图，是经过顶点B的一条直线，，E、D分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过的内部，且E、D在射线上．
【问题情景】如图1，若，，则之间的数量关系是______；
【问题解决】如图2，若，那么当______°时，【问题情景】中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)若直线经过的外部．
【拓展提升】如图3，，请写出关于三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
12．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：；
(2)连接，若，平分，平分，求的度数．
13．如图，在中，，，是的一条角平分线．若，求的面积．
14．如图（1），，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，他们的运动时间为．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由；
(2)判断此时线段和线段的关系，并说明理由．
(3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
15．如图，在中，D，E分别为，边上一点，连接，，，过点E向作垂线，交的延长线于点F．已知平分．平分，．
(1)求证：平分；
(2)若，，，求．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第12章：全等三角形（简答题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、解答题
1．如图，在中，、的平分线交于点D，延长交于E，G、F分别在上，连接，其中，．
(1)当时，求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得，再根据外角性质即可求出，据此求解即可；
（2）在线段上取一点，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论．
【详解】（1）解：在中，∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在线段上取一点，使，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
为的一个外角，
，
为的一个外角，
，
平分，
，
，
∵，
在和中，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的作辅助线是解决问题的关键．
2．综合实践与探究
已知，如图．请按要求完成下列任务：
任务一：按要求画图：
（1）点、是射线上的任意两点（不重合），在射线上截取，；
（2）连结、，线段与交于点；
（3）作射线．
任务二：判断是否为的平分线 若是的平分线，请证明；若不是的平分线，请说明理由．
【答案】任务一：见解析；任务二：是平分线，证明见解析
【分析】任务一：根据要求直接作图即可；
任务二：先证明，继而可得，，再证明，可得，最后证明是平分线，证明见解析
【详解】任务一：画图，
任务二：是否为平分线．
证明：在和中，
∵
∴
∴（全等三角形的对应角相等）
∵，，
∴（等量减等量差相等）
∴
在和中，
∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
在和中，
∵
∴
∴（全等三角形的对应角相等）
∴是的平分线．（角平分线定义）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
3．如图，A，D，E三点在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当满足什么条件时，？并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)当为直角三角形（或，或）时，，理由见解析
【分析】（1）根据证明即可；
（2）根据，得出，．即可证明；
（3）根据，得出，，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵，
∴．
（3）解：当为直角三角形（或，或）时，．理由如下：
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
4．（1）作图（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
已知：，．
求作：射线，使射线与交于点C，且．
（2）说明
请根据你的作图，说明的道理．
（3）应用
若在中，，，则的面积为________．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）24
【分析】（1）根据角平分线的基本作法作图；
（2）连接和，由作图得，，利用证明，进而可得结论；
（3）过作交于，根据角平分线的性质可得，再由三角形的面积公式求解．
【详解】解：（1）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，连接，交于，
即为所求；
（2）连接和，
由作图得：，，
∵
∴，
∴
即：；
（3）过作交于，
∵，，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．如图，在和中，，，点三点在同一直线上，连接交于点．
(1)求证：；
(2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
（2）猜想：，理由如下：
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
6．如图，和中，，，和交于点．
(1)与全等吗？为什么？
(2)过点作，过点作，试判断和的数量关系，并说明你判断的理由
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据，直接可得；
（2）根据，可得，根据平行线的性质可得，等量代换即可得出结论．
【详解】（1），理由如下，
在和中，
，
∴
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
7．如图，中，平分，过点作于点，点是的中点，连接，若，，求的长．
【答案】的长为．
【分析】先添加辅助线，构造全等三角形，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，延长，交于点，
∵平分，
∴ ，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点为中点，点为中点，
∴为的中位线，
∴，
答：的长为．
【点睛】此题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是延长交延长线于，证明是的中位线．
8．在中，，平分，于．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再由“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
，平分，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
答：的长是．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质，三角形全等的判定与性质是解题的关键．
9．如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．
(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；
（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵，平分，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴平分；
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
10．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得，从而利用判断出；
（2）根据全等三角形的对应边相等得，根据等式的性质可得，最后根据即可算出答案．
【详解】（1）证明：∵，
，
在与中
；
（2）解：，
，
，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
11．如图，是经过顶点B的一条直线，，E、D分别是直线上两点，且．
(1)若直线经过的内部，且E、D在射线上．
【问题情景】如图1，若，，则之间的数量关系是______；
【问题解决】如图2，若，那么当______°时，【问题情景】中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)若直线经过的外部．
【拓展提升】如图3，，请写出关于三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
【答案】(1)【问题情景】；【问题解决】60，理由见解析；
(2)【拓展提升】，理由见解析．
【分析】（1）首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可；
（2）首先证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∵
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴；
60，理由如下：
∵
∴．
又∵，
∴．
在和中，
∴．
∴，
∵
∴；
（2）．理由如下：
∵
∴．
又∵，
∴．
在和中，
∴
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定定理．
12．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：；
(2)连接，若，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用证明，得到，即可得证；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义，求出的度数，再根据，即可得解．
【详解】（1）证明：为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（2），平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线有关的计算．解题的关键是证明三角形全等．
13．如图，在中，，，是的一条角平分线．若，求的面积．
【答案】10
【分析】先根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于点E，
平分，，，，
，
，
的面积．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
14．如图（1），，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，他们的运动时间为．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由；
(2)判断此时线段和线段的关系，并说明理由．
(3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用定理证明；
（2）根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系；
（3）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
【详解】（1）解：，理由如下：
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）解：，理由如下：
证明：∵，
∴，
∴．
∴，
即线段与线段垂直；
（3）解：存在的值，使得与全等，
①若，
则，可得： ，
解得：；
②若
则，可得：，
解得：；
综上，存在当1或时，与全等．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．
15．如图，在中，D，E分别为，边上一点，连接，，，过点E向作垂线，交的延长线于点F．已知平分．平分，．
(1)求证：平分；
(2)若，，，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过E点分别作于M，于N，根据角平分线的性质得出，进而得出，根据角平分线的判定即可得出结论；
（2）先求出，进而得出，根据，，，，得出，求出，，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过E点分别作于M，于N，
∵平分，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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