（考试帮）浙教版九年级上册数学
第一章《二次函数》专题复习一（函数的应用）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本题有8个小题，每题3分，共24 分）
1．现有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为，一边长为，则y与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
（第3 题） （第4 题）
4．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离与水流喷出的高度之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
5．某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，
拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则
支柱的高度为（ ）米．
A．米 B．3米 C．米 D．4米
7．如图，一个滑道由滑坡（段）和缓冲带（段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离（单位：m）和滑行的时间（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离（单位：m），和在缓冲带上滑行时间（单位：s）满足：，滑雪者从A出发在缓冲带上停止，一共用了24s，则滑坡的长度为（ ）
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 4.5 14 28.5 48
A．275米 B．384米 C．375米 D．270米
8．如图，在中，，，，于点．点从点A出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有8个小题，每题4分，共32分）
9．标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
10．生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的开高逐渐减弱，甚至会失去活性现已知某种酶的活性值（单位：）与温度（单位：）的关系可以近似用二次函数来表示，则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 ．
11．对于竖直向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中h是物体上升的高度，v是抛出时的速度，g是重力加速度（），t是抛出后的时间．如果一物体以的初速度从地面竖直向上抛出，经过 秒钟后它在离地面高的地方．
12．某服装店销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果一件衣服每降价1元，商店平均每天可多售出2件，则每件衣服降价 元时，服装店每天盈利最多．
13．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为，那么两排灯的水平距离是 米．
14．太原地铁2号线开通两年多以来，极大地便利了人们的生活．小明早晨从小店区西桥站出发，乘坐一段地铁后，换骑共享单车去学校，经过多次乘坐发现，骑共享单车的时间与乘坐地铁路程之间满足二次函数，几个地铁站点与出发站之间的距离如下表：
地铁站点 … …
… 8 9 10 13 …
若小明骑共享单车所需的时间最少，则他乘坐地铁应到达的站点为 站点．
15．如图①是一种常见的道路路灯，为立柱，其中灯杆可以近似看作某抛物线的一部分，且抛物线对称轴到立柱的距离为米，是灯杆的固定支架，现测得支架与立柱的夹角满足，且米，某时刻路灯发光时，所能照到的地面最远点恰好和路灯以及立柱顶点在同一直线上，相关数据如图②所示，则立柱 米．
16．年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．
三、解答题（44分）
17．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这次助力疫情防控中，该药店仅获利1760，这种消毒液每桶实际售价多少元？
(3)这种消毒液每桶售价多少元时，获利最大，最大利润是多少元？
18．如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料）．设，矩形的面积为．
(1)请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围：
(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？
(3)能否使所围矩形场地的面积为，若能，请算出此时矩形的长与宽，若不能，请说明理由．
19．已知：如图，二次函数与x轴交于点和点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值．
(3)点P是抛物线上一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的纵坐标为，已知点P与点Q不重合，且线段的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围．
②当时，在线段的右边作正方形，直接写出正方形与二次函数的图象交点的个数及对应的m的取值范围．
20．从地面以初速度竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：）和小球的运动时间t（单位：）之间的关系式为，已知当时，．
(1)求小球的初速度v；
(2)①求小球运动的最大高度h1；
②当时，求小球运动的路径长；
(3)假设小球为弹性小球，经过时间达到最大高度：小球落地后立刻以速度竖直向上弹起，经过时间达到最大高度，若，直接写出的值．
21．在一次体育训练中，某女同学投掷实心球时，实心球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是
(1)当水平距离为时，实心球行进至最高点 m处；
(2)2022年初中毕业生升学体育考试女生评分标准（部分）如下表，请根据此表判断该女生在此次训练中得多少分，并说明理由．
得分 8.0 7.7 7.4 7.0 6.7 6.4 6.2 6.1 5.9 …
掷远（米） 7.7 7.5 7.3 7.1 6.9 6.7 6.5 6.3 6.1 …
22．明明同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次训练时，“智能小球”回传的水平距离与竖直高度的几组对应数据如下：
水平距离
竖直高度
(1)根据题意，填空：________，________；“智能小球”达到的最高点的坐标为________；
(2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标；
(3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为5，直接写出的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意求出矩形的另一边长，即可求解．
【详解】解：由题意得：矩形的另一边长，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意是关键．
2．B
【分析】设每月所获利润为元，按照利润销售量(售价一成本)列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：设每月所获利润为元，
∴，
整理得：，
当时，每月所获利润最大．
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
3．B
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
4．D
【分析】将配方成顶点式求解即可．
【详解】
∴当时，y取得最大值4，
∴水流喷出的最大高度是．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
5．A
【分析】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，利用每天售出服装的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出y关于x的函数关系式，再结合要确保盈利且日销售量为整数，即可得出x的取值范围．
【详解】设每件服装降价x元，每件的销售利润为元，每天可卖出件，每天售出服装的利润为y元，由题意得：
，
又∵要确保盈利，且日销售量为整数，
∴，且x为偶数，
∴y关于x的函数解析式为（，x为偶数）．
故选：A．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
6．C
【分析】设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，再求出抛物线的解析式，即可求解．
【详解】解：如图，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以所在的直线为x轴，以的中点O为坐标原点，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点M，N的横坐标为5，
设抛物线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴支柱的高度为米．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键．
7．D
【分析】由滑行时间为0时，滑行距离为0可得，故设，取两组数据代入，求出解析式，滑雪者在段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在段的滑行时间，即可得出在段的滑行时间，最后代入函数解析式求出段的长度即可．
【详解】解：由滑行时间为0时，滑行距离为0可得，
设，
取两组数据代入可得：，
解得：，
，
滑雪者在缓冲带上滑行时间为：s，
滑雪者在滑坡上滑行时间为：s，
令，，
滑坡的长度为270米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，滑雪者在段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时，由此求出滑雪者在段的滑行时间是解题关键．
8．B
【分析】先依次求出，，，，证明四边形是矩形，分点从点A出发，沿路径运动和点从点出发，沿路径运动两种情况，求出函数表达式，即可作出判断．
【详解】解：∵在中，，，，
∴．
∵于点，，
∴，
∴，．
∵，，
∴四边形是矩形．
①如图1，当点从点A出发，沿路径运动时，
即时，，则，．
∴四边形的面积，
∴当时，抛物线开口向下，顶点是．
②如图2，当点从点出发，沿路径运动时，
即时，，则，
，
∴四边形的面积，
∴当时，抛物线开口向上，顶点是．
综上所述，能反映与之间函数关系的图象是B，
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、二次函数的图象的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
9．120
【分析】把代入解析式求值即可．
【详解】解：，
当时，，
水的体积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，细心计算是解题的关键．
10．240
【分析】化为顶点式求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，的最大值为，
故当温度为时，该种酶的活性值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．
11．1或4
【分析】把代入所给关系式求t的值即可．
【详解】解：由题意得：．
整理得，
解得．
∴1秒或4秒后，物体处在离抛出点高的地方．
故答案为：1或4．
【点睛】本题考查二次函数的应用；只需把相关数值代入所给关系式即可．
12．15
【分析】根据总利润=单价利润×销售数量，列出二次函数，利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：设每件衣服降价元，获得的总利润为元，
由题意得：，
整理得：，
∴当时，取得最大值；
故答案为：15．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用：销售问题．根据总利润=单价利润×销售数量准确的列出函数解析式是解题的关键．
13．
【分析】把代入解析式，再解方程即可得结论．
【详解】解：根据题意，当时，则，
解得：，，
∴两排灯的水平距离是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
14．D
【分析】利用配方求得顶点坐标，求得当时，y取得最小值，找到接近的站点即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴当时，y取得最小值，
∵C站点，而D站点，
∴D站点更接近最小值点，
故他乘坐地铁应到达的站点为D站点．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到更接近的站点．
15．
【分析】根据题意可以求得二次函数的解析式，从而可以求得的坐标，然后利用三角形相似即可求得的长．
【详解】解：由题意和图形可得，
点的坐标为，
∵支架与立柱的夹角满足，且米，
过点作轴，则，则，
又∵，可得米，米，
∴米，
点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
，得，
∴，
当时，，
解得，，，
∴点的坐标为，
作轴，，，则为矩形，
则，米，，
∴，
∴，米，
设的长度为米，
则，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用、解直角三角形的应用，相似三角形的判定及性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
、、，
设抛物线解析式为：，
将代入解析式，
解得：，
，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为：，
令，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
17．(1)
(2)43元
(3)售价为50元时，最大利润为2250元
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入建立方程组求解即可；
（2）由每桶利润乘以销售量等于1760元，再建立方程求解即可；
（3）设利润为元，则，由，利润有最大值，从而可得答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴．
答：这种消毒液每桶实际售价为43元．
（3）设利润为元，则
，
由，利润有最大值，
当时，利润最大值为（元）
∴售价为元时，最大利润为2250元．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，一元二次方程的解法，二次函数的实际应用，理解题意，建立函数关系式与方程是解本题的关键．
18．(1)
(2)长为，宽为
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）利用矩形的面积等于长乘宽，列出解析式即可；
（2）令，解一元二次方程求解即可；
（3）令，计算一元二次方程的判别式判断求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，
；
（2）∵
令，即，
解得：，．
墙的长度不超过，
不合题意，应舍去．
当时，．
所以，当所围矩形的长为宽为时，能使矩形的面积为．
（3）不能．理由如下：
∵
令，即．
，
．
上述方程没有实数根．
因此，不能使所围矩形场地的面积为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解一元二次方程以及判别式的应用，根据题意，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键．
19．(1)
(2)有最大值5，最小值
(3)①或；②当时，正方形与抛物线有一个交点；当，时，正方形与抛物线有两个交点；当时，正方形与抛物线有三个交点
【分析】（1）将，代入，，即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数的图象及性质即可求解；
（3）进行分类讨论：①当点P与点Q重合时，点P的纵坐标与点Q的纵坐标相等；②当时，正方形与抛物线有一个交点．
【详解】（1）解：把，代入，
得
解得：，
所以二次函数的解析式为：．
（2）解：当时，，函数有最大值5，
时，函数有最小值；
（3）解：①当点P与点Q重合时，点P的纵坐标与点Q的纵坐标相等，
即：，
解得：，．
当时，点P在点Q的上方，
，
所以，当时，随m的增大而减小，又因为，所以，
当时，随m的增大而减小．
当时，点Q在点P的上方，，
所以，当时，随m的增大而减小，又因为，所以，
当时，随m的增大而减小．
当时，点P在点Q的上方，随m的增大而增大．
综上所述，当或时，的长度随m的增大而减小．
②当时，正方形与抛物线有一个交点；
若点T落在抛物线上，则，
又因为，所以，，
解得，，（舍去），
所以当，正方形与抛物线有两个交点；
当时，正方形与抛物线有三个交点；
当时，正方形与抛物线有两个交点．
综上所述：当时，正方形与抛物线有一个交点；当，时，正方形与抛物线有两个交点；当时，正方形与抛物线有三个交点．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质等，解题的关键是灵活运用二次函数的图象及性质并注意分类讨论思想的运用．
20．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）将代入，即可解得小球的初速度；
（2）①根据，可得小球运动的最大高度；②由当时，；即当时，小球在下降过程中距地面的高度为，即可求出小球运动的路径长；
（3）根据，可得，即可求得的值．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴小球的初速度v为；
（2）解：①∵，
∴小球运动的最大高度为；
②由①知，当时，小球向上运动到最高点，距地面；
当时，；
∴当时，小球在下降过程中距地面的高度为，
∴当时，小球运动的路径长为；
（3）解：由（1）（2）知，
当时，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解h，v，t之间的关系．
21．(1)3
(2)得分为7.7分，理由见解析
【分析】（1）代入自变量求出函数值即可；
（2）令，求得x值，再根据表格得出成绩．
【详解】（1）当时，，
故答案为：3；
（2）解：得分为7.7分，理由如下：
令，则，
解得：（舍去），
∴该女生在此次训练中投了7.5米，得分为7.7分．
【点睛】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题即可．
22．(1)，，
(2)
(3)或
【分析】（1）将代入求出b，再求出顶点坐标即可；
(2) 解直线与抛物线解析式组成的方程组即可；
(3)根据函数的顶点以及函数性质分类讨论即可．
【详解】（1）方法一：将代入中，得：，
所以．
即二次函数关系式为．
将代入中，得：；
方法二：因为二次函数最高点的坐标为，
所以，．
所以，．
即二次函数关系式为．
当时，，
所以，，；“智能小球”达到的最高点的坐标为，
故答案为，，；
（2）由题意得：，
解得：或（舍去），
即点的坐标为；
（3）或．
由得，二次函数的对称轴为直线，
①当时，即时，随的增大而减小，
当时，函数值的最大值为5．
．
解得或（不合题意，舍去），
②当时，随的增大而增大，
当时，函数值的最大值为5．
．
解得：或（不合题意，舍去）；
所以，或．
【点睛】本题考查二次函数的实际问题，关键是求出函数的解析式．
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