4.2 比较线段的长短（分层练习）
一、单选题
（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）
1．已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距离为（ ）
A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm
（2022·山东省泰安南关中学期中）
2．2012年12月26日京广高铁全线通车，一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（ ）种车票．
A．15 B．30 C．10 D．6
（2021·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）
3．如图，O是AC的中点，B是线段AC上任意一点，M是AB的中点，N是BC的中点，那么下列四个等式中，不成立的是（ ）
A．MN＝OC B．MO（AC-AB）
C．ON（AC-CB） D．MN（AC-OB）
（2022·山东泰安·期末）
4．下列说法正确的是（ ）
A．若，则点C为线段AB的中点
B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”
C．已知A，B，C三点在一条直线上，若，，则
D．已知C，D为线段AB上两点，若 ，则
（2020·河南南阳·七年级阶段练习）
5．如图，数轴上有A、B、C、D四个整数点即各点均表示整数，且．若A、D两点所表示的数分别是和5，则线段AC的中点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
（2022·全国·七年级课时练习）
6．如图，直线是一条河流（不计河宽），小王家与小李家分别位于河流两岸的、两点处，现需要修一座桥，使两家离桥的距离和最小，与的交点就是桥的位置，下列的理由说法中，正确的是（ ）
A．过不同两点有且只有一条直线
B．连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离
C．两点之间的距离，线段的长最短
D．以上说法都不对
二、填空题
（2022·安徽·肥西县严店初级中学七年级阶段练习）
7．如图，AB=a，BC=b，CD=c，点M是AC的中点，点N是BD的中点．
（1）若a=4，b=8，c=6，则MN= ；
（2）若a+c=12，则MN= ．
（2022·黑龙江大庆·期末）
8．如果A、B、C三点共线，线段cm，cm，那么A、C两点间的距离是 ．
（2022·吉林·长春市实验中学七年级期末）
9．如图，AB=6cm，点C是线段AB的中点，点D在CB上且CD=DB，则AD= cm．
（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）
10．已知，，在同一条直线上，点是线段的中点，已知cm，则 cm．
三、解答题
（2021·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）
11．如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点．
(1)若AC＝4cm，求DE的长；
(2)若把“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，当AC＝4cm时，求DE的长．（请画出图形，说明理由）
（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）
12．（1）如图，已知平面内A、B两点用没有刻度的直尺和圆规按下列要求尺规作图，并保留作图痕迹①连接AB；②反向延长线段AB到C，使AC＝AB；③延长线段AB到D，使AD＝3AB．
（2）若点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，AB＝4cm，求线段EF、CD的长度，并说明线段EF、CD的数量关系．
一、填空题
（2022·广东·龙门县平陵中学七年级期中）
13．把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB＝1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为 ．
（2022·黑龙江·大庆市庆新中学期末）
14．数轴上A，B两点表示的数分别是-1和5，数轴上的点C是AB的中点，数轴上点D使，则线段BD的长是 ．
（2022·全国·七年级单元测试）
15．已知点、在直线上，且线段，，点、分别是、的中点，则的长为 ．
（2021·重庆巫山·七年级期末）
16．如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米．
（2022·全国·七年级课时练习）
17．如图，线段表示一条已经对折的绳子，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm．
（1）若点为的中点，则对折前的绳长为 cm；
（2）若，则对折前的绳长为 cm．
二、解答题
（2022·江苏扬州·七年级期末）
18．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：
(1)当AC＞BC时，点D在线段 上；当AC＝BC时，点D与 重合；当AC＜BC时，点D在线段 上；
(2)当AC＜BC时，若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．
（2022·黑龙江大庆·期末）
19．如图1，已知点C在线段AB上，且，．
(1)若，，求线段MN的长．
(2)若C为线段AB上任意一点，且满足，其他条件不变，求线段MN的长．
（2021·山西临汾·七年级阶段练习）
20．综合与探究
已知线段，P，Q是线段上的两点（点P在点Q的左边），且．
(1)如图1，若点C在线段上，且，当P为的中点时，求的长．
(2)若M为线段的中点，N为线段的中点．
①如图2，当线段在线段上时，求线段的长；
②当线段在线段的延长线上时（点P，Q都在的延长线上），猜想线段的长是否发生变化？请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出、的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵cm，
又∵的中点为，
∴，
∵cm，
∵的中点为，
∴，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题．
2．B
【分析】分别求出从北京出发的有5种车票，从石家庄出发的有4种车票，从郑州出发的有3种车票，从武汉出发的有2种车票，从长沙出发的有1种车票，即可得出答案．
【详解】解：∵从北京出发的有5种车票，
从石家庄出发的有4种车票，
从郑州出发的有3种车票，
从武汉出发的有2种车票，
从长沙出发的有1种车票，
∴一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印刷种车票，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的应用，解题的关键是理解题意，运用类比方法建立知识点之间的联系准确计算．
3．D
【分析】由中点的定义结合图形逐一判断每个选项；
【详解】解：∵O是AC的中点，M是AB的中点，N是BC的中点，
∴AO=CO=AC，AM=BM=AB，BN=CN=BC，
A、MN=MB+BN=（AB+BC）=OC，故本选项不符合题意，
B、MO=AO-AM=AC-AB=（AC-AB），故本选项不符合题意，
C、ON=OC-NC=AC-BC=（AC-CB），故本选项不符合题意，
D、MN=MB+BN=AB+BC=AC≠（AC+OB）=AC+OB，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，结合图形列出等式适当变形即可．
4．D
【分析】分别根据线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差进行分析解答．
【详解】解：A.点C不一定在线段AB上，故A不符合题意；
B. 用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，故B不符合题意；
C.当C在线段AB上时，AC=2，当C在AB延长线上时，，故C不符合题意；
D. 已知C，D为线段AB上两点，若 ，则，故D符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差等概念，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【分析】首先设出BC，根据3AB=BC=2CD表示出AB、CD，求出线段AD的长度，即可求．
【详解】解：设BC=6x，
∵3AB=BC=2CD，
∴AB=2x，CD=3x，
∴AD=AB+BC+CD=11x，
∵A，D两点所表示的数分别是-5和6，
∴11x=11，
解得：x=1，
∴AB=2，BC=6，
AC=AB+BC=2+6=8，
∵A点是-6，
∴C点所表示的数是2．
∴线段AC的中点表示的数是=-2．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的有关概念，利用数轴上的点、线段相关性质，掌握相关的概念是解题的关键．
6．C
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短即可求解．
【详解】解：根据两点之间的距离，线段的长最短要使两家离桥的距离和最小，
PQ与AB的交点O就是桥的位置．
故选：C．
【点睛】本题主要考查直线的性质，线段的性质，掌握相关性质是解题的关键．
7． 5 6
【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论；
（2）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点M是AC的中点，点N是BD的中点，
∴AM=AC=(a+b)=(4+8)=6，DN=BD=(b+c)=(8+6)=7，
∴MN=AD-AM-DN= a+b+c-6-7=4+8+6-13=5；
故答案为：5．
（2）∵点M是AC的中点，点N是BD的中点，
∴AM=AC=(a+b)，DN=BD=(b+c)，
∴MN=AD-AM-DN= a+b+c-(a+b)-(b+c)
=(2a+2b+2c-a-b-b-c)
=(a+c)
=×12
=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．正确理解线段的中点的性质是解题的关键．
8．12cm或2cm
【分析】分两种情况：点C在点B的右边时，点C在点B的左边时，根据直线上两点间的距离来解决问题即可．
【详解】解：如图所示，点C、点C'的位置就是点C位置的两种情况．
点C的位置有两种情况，
点C在点B的右边时，AC=7+5-12cm；
点C在点B的左边时，AC=7-5=2cm．
故答案为：12cm或2cm．
【点睛】本题考查了直线上两点间的距离，关键是掌握点与点的位置．
9．4
【分析】根据中点的性质求得，根据CD=DB，求得，进而即可求解．
【详解】解：∵点C是线段AB的中点，
∴cm，
CD=DB，，
cm，
cm，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
10．3或12##12或3
【分析】根据题意作出图形，分两种情况讨论，当在的延长线上时，当在的延长线上时，根据线段中点的的性质以及线段和差的计算即可求解．
【详解】当在的延长线上时，如图，
，cm，
，
cm，
点是线段的中点，
cm，
(cm)；
当在的延长线上时，如图，
，cm，
，
cm，
点是线段的中点，
cm，
(cm)，
故答案为：3或12．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．
11．(1)6cm
(2)DE的长是6cm，图形、理由见解析
【分析】（1）由AB＝12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，即可推出DE＝DC+CE＝6cm；
（2）分两种情况：①当点C在线段AB上；②当点C在直线AB上；根据线段的中点与和差关系可得DE的长．
【详解】（1）解：∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴BC＝AB﹣AC＝8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝AC＝2cm，CE＝BC＝4cm，
∴DE＝DC+CE＝6cm；
（2）解：分两种情况：
①当点C在线段AB上，由（1）得DE＝6cm；
②当点C在直线AB上，如下图所示，
BC＝AC+AB＝4+12＝16cm，
∵AC＝4cm，且D是AC的中点，
∴CD＝AC＝2cm，
又∵E分别是BC的中点，
∴CE＝BC＝8cm，
∴DE＝CE﹣CD＝8﹣2＝6cm，
∴当C在直线AB上时，线段DE的长度是6cm．
综上所述，DE的长是6cm．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
12．（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）EF＝8cm，CD＝16cm，CD＝2EF
【分析】（1）根据要求作图即可．
（2）根据线段中点的定义可得出答案．
【详解】解：（1）①如图，线段AB即为所求．
②如图，线段AC即为所求．
③如图，线段AD即为所求．
（2）∵AB=AC=4cm，AD=3AB=12cm，点E是线段AC的中点，点F是线段AD中点，
∴AE=2cm，AF=6cm，
∴EF=AE+AF=8cm，CD=AC+AD=16cm，
∴CD=2EF．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段等知识，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义．
13．12cm或3cm##3cm或12cm
【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到绳子对折成线段AB时，哪一点是绳子的端点或者哪一点是绳子的对折点的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题．
【详解】解：如图，
∵AP：PB＝1：3，
∴2AP＝PB＜PB，
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB＝18cm，
∴三段绳子中最短的一段的长为：2AP＝＝12（cm）；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB＝18cm，
∴PB＝9cm，
∴AP＝＝3（cm），
故答案为：12cm或3cm
【点睛】本题考查了线段的和差倍份，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，学会分类讨论是解题的关键．
14．##
【分析】依次求出AB，AC，AD，再分点D在A点右侧和左侧讨论即可．
【详解】解：如下图所示：
∵数轴上A，B两点表示的数分别是-1和5，
∴AB=6．
又∵数轴上的点C是AB的中点，
∴．
又∵，
∴．
当点D在点A右侧时，如图中D所示，
则有；
当点D在点A左侧时，如图中所示，
则有．
综上所述：线段BD的长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的和差计算,线段的中点，会根据题意分类讨论是解题的关键．
15．6或12##12或6
【分析】由线段的中点，线段的和差倍分求出线段PQ的长为6或12．
【详解】解：①点M在线段AB上时，如图所示：
∵AB＝AM＋MB，AM＝BM，AB＝16，
∴AM＝4，BM＝12，
又∵Q是AB的中点，
∴AQ＝BQ＝AB＝×16＝8，
又∵MQ＝BM BQ，
∴MQ＝12 8＝4，
又∵点P是AM的中点，
∴AP＝PM＝AM＝×4＝2，
又∵PQ＝PM＋MQ，
∴PQ＝2＋4＝6；
②点M在线段AB的反向延长线上时，如图所示：
同理可得：AQ＝AB＝×16＝8，
又∵AM＝BM，
∴AM＝AB＝×16＝8，
又∵点P是AM的中点，
∴AP＝AM＝8＝4，
又∵PQ＝PA＋AQ，
∴PQ＝4＋8＝12，
综合所述PQ的长为6或12．
故答案为：6或12．
【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识，解题的关键是掌握两点之间的距离，注意进行分类讨论．
16．12.5##
【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可．
【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长；
当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米；
当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米；
当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米．
综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米．
故答案为：12.5．
【点睛】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键．
17． 60 50或75
【分析】（1）根据为中点，可知，根据线段和即可得到答案；
（2）分类讨论：①是最长的一段，根据，可得的长，再根据线段的和差，可得答案；②是最长的一段，根据，可得的长再根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：（1）为中点，
，
,
故答案为：；
（2）①是最长的一段，，得
，
由线段的和差，得
，
原来绳长为，
②是最长的一段，由题意，
，
由线段的和差，得，
原来绳长为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了线段的和与差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
18．(1)AC，点C，BC
(2)28cm
【分析】（1）由“折中点”的定义判断
（2）由“折中点”的定义判断D在BC上，列式计算即可
【详解】（1）解：当AC＞BC时，由“折中点”的定义可知点D在线段AC上；
当AC＝BC时，点D与点C重合
当AC＜BC时，点D在线段BC上
（2）如下图，∵ E为线段AC中点
∴ AE=EC=8cm
∴ BD=AE+EC+CD=8+8+6=22(cm)
∴ CB=BD+DC=22+6=28(cm)
【点睛】本题考查了线段的加减，理解新定义“折中点”并画出图形是解题关键．
19．(1)12
(2)
【分析】（1）若AC=12，CB=6，求线段MN的长；
（2）若点C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC=a，请直接写出线段MN的长；
【详解】（1）解：因为，，，，
所以，．
．
所以．
（2）解：因为，，，
所以：，
所以．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用AM=AC．BN=BC，得出AM的长，BN的长是解题关键．
20．(1)
(2)①10；②线段MN的长不发生变化为定值10，理由见解析
【分析】（1）先根据求出，BC=10，再根据线段中点的定义求出CP的长，进而求出CQ的长即可得到答案；
（2）①先根据线段中点的定义得到AP=2PM，BQ=2QN，再推出AP+BQ=10得到，PM+QN=5，则MN=PM+PQ+QN=10；②分图2-1和图2-2两种情形先求解，同理可证其他情形下MN也为定值10．
【详解】（1）解：∵，即，
∴，
∴，
∴BC=10，
∵P是线段AC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵M是线段AP的中点，N是线段BQ的中点，
∴AP=2PM，BQ=2QN，
∵AB=AP+PQ+BQ=15，PQ=5，
∴AP+BQ=10，
∴2PM+2QN=10，
∴PM+QN=5，
∴MN=PM+PQ+QN=10；
②线段MN的长不发生变化为定值10，理由如下：
如图2-1所示，当点M在AB之间，点N在PQ之间，设，
∴，
∵M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，
∴，
∴，
∴；
如图2-2所示，当点M在AB之间，点N在BP之间时，设，
∴，
∵M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，
∴，
∴，
∴，
同理可证线段PQ在AB延长线上的其他所有情形下，MN=10，
综上所述，线段MN的长不发生变化为定值10．
【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键．
