广东省广州市天河区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．已知随机变量，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例，其中.如下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形、、、、、均为黄金矩形，若与之间的距离超过，与之间的距离小于，则该古建筑中与之间的距离可能是（ ）
（参考数据：，，，，，）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（ ）
参考公式及数据：.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．35人 B．32人 C．31人 D．30人
8．已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中所有项的二项式系数的和为
10．设离散型随机变量的概率分布列如表，若，，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，，则下列结论中正确的有（ ）
A．必有唯一极值点
B．若，则在上有极小值
C．若，对有恒成立，则
D．若存在，使得成立，则
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若，且，则
C．分别以线段、为直径的两个圆内切
D．
三、填空题
13．椭圆的离心率为 .
14．有4名同学和2位老师排成一排合影，其中2位老师必须相邻，则不同的排法有 种.（用数字作答）
四、双空题
15．要做一个无盖的长方体箱子，其体积为，底面长方形长与宽的比为，则当它的宽为 时，可使其表面积最小，最小表面积为 .
五、填空题
16．已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
六、解答题
17．已知函数，其图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值.
18．已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
19．月日是全国大、中学生心理健康日，“”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛，第一轮选拔共设有、、三个问题，每位参加者按问题、、顺序作答，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题、、分别加分、分、分，答错任一题减分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；
③当答完三题，若累计分数大于或等于分，则答题结束，进入下一轮；否则，答题结束，淘汰出局.
假设甲同学对问题、、回答正确的概率依次为、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
（1）求甲同学进入下一轮的概率；
（2）用表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求的分布列和数学期望.
20．已知正项数列的前项和为，，数列是公比为2的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）数列，的所有项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，，…，求数列的前项的和.
21．某医疗团队为研究市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系，从该市疾控中心得到以下数据：
年龄段（岁）
发病率（） 0.09 0.18 0.30 0.40 0.53
参考公式及数据：， ， .
（1）若将每个区间的中点数据记为，对应的发病率记为（，2，3，4，5），根据这些数据可以建立发病率关于年龄（岁）的经验回归方程，求；
（2）医学研究表明，化验结果有可能出现误差.现有市某一居民年龄在，表示事件“该居民化验结果呈阳性”，表示事件“该居民患有这种疾病”.用频率估计概率，已知，求.
22．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）证明：对任意的且，都有：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为，
所以，
因为
所以
所以
故选：C.
【分析】利用正态曲线的性质求解。
2．【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】因为
所以，
所以，
故选：A.
【分析】运用二项分布的概率计算公式求解。
3．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】因为
所以，
所以，
故选：A.
【分析】运用递推公式求解数列的项。
4．【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为抛物线方程为：，即，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
又因为抛物线上的点M到其焦点的距离为2，即，
所以，即点M的横坐标为，
故选：C.
【分析】利用抛物线的几何性质求解。
5．【答案】B
【知识点】不等式的实际应用
【解析】【解答】设，a=0.618，
因为矩形ABCD，BCFE，CFGH，FGJI，GJKL，JKMN，均为黄金矩形，
所以，
由题意可得：，解得：22.22
【分析】利用已知条件，设出BC的长度，根据矩形ABCD，BCFE，CFGH，FGJI，GJKL，JKMN，均为黄金矩形，分别表示出CF，FG，GJ，JK，MJ，得到不等式组，求解即可。
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意画出树状图：
所以四次传球后球在乙手中的概率为，
故选：D.
【分析】根据题意画出树状图，利用古典概型的概率公式即可求解。
7．【答案】B
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】设男生人数为x，根据已知条件制作列联表：
喜欢羽毛球运动 不喜欢羽毛球运动 合计
男 x
女 3x
合计 4x
∴，解得：x>31.68，
所以x的最小值为32，即被调查的男生至少有32人，
故选：B.
【分析】根据已知条件，设出男生人数，制作列联表，计算，由，求出男生人数的最小值。
8．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，
根据已知可得：恒成立，即恒成立，
令，则在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
∴，即实数a的取值范围是：[1，+∞），
故选：C.
【分析】把问题等价转化为在上单调递增，转化为在上恒成立，分离参数得到在上恒成立，即可求出a的取值范围。
9．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】A、令x=0，得，故A正确.
B、的展开式的通项公式为：，
令r=1，则，故B错误.
C、令x=1，则，
∴，故C错误.
D、∵n=8，∴展开式中所有项的二项式系数和为，故D正确.
故选：AD.
【分析】利用赋值法可判断AC选项，利用通项公式可判断B选项，利用二项式系数的和的公式可判断D选项。
10．【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】A、由已知得：x的可能取值有-1、0、6，所以A错误.
B、因为，即，
又因为，解得：，故B正确.
C、因为Y=2X+1，所以，故C正确.
D、因为，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【分析】利用X的可能取值可判断A选项，利用数学期望的公式和分布列的性质可求得a，b的值，进而判断B选项，利用数学期望和方差的公式可判断CD选项。
11．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】A、由已知得：函数f(x)的定义域为R，，
所以当a≤0时，恒成立，f(x)单调递增，无极值点，故A错误.
B、当a=1时，，
当x<0时，，f(x)单调递减，
当x>0时，，f(x)单调递增，
∴当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=1，
即f(x)在（-1，1）上有极小值1，故B正确.
C、若对有f(x)≥kx恒成立，即恒成立，
设，可得：，
当0≤x< 时，，g(x)单调递减，
当x> 时，，g(x)单调递增，
所以当x= 时，g(x)取得极小值也是最小值，最小值，
所以k≤2e-2，故C正确.
D、若存在时，使得成立，
即当时，，
设，可得：定义域为R，，
当2≤x≤3时，，h(x)单调递增，
所以，所以，解得：，故D错误.
故选：BC.
【分析】由题意，先对函数f(x)求导，根据a的取值范围可判断A选项；将a=1代入函数f(x)的解析式，得到函数f(x)的导数，利用导数得到函数f(x)的单调性，进而判断B选项；将有f(x)≥kx恒成立，转化为使得恒成立，构造函数，对g(x)求导，利用导数得到函数g(x)的单调性，进而判断C选项；将存在时，使得成立，转化为当时，，构造函数，对h(x)求导，利用导数得到函数h(x)的单调性和最值，进而判断D选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A、设P（x，y），则，
因为，直线的斜率之积等于3，
所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为：，A正确.
B、由A已得：，所以，所以c=2a，
因为P为双曲线右支上的一点，所以，
又因为且，则，
又因为，
所以
即，得，所以，所以，B错误.
C、设的中点为，为坐标原点，则为的中位线，
所以，
以线段为直径的圆，圆心为，半径，
以线段为直径的圆，圆心为，半径
所以，故两圆内切，C正确.
D、设，则，假设，
已得：，渐近线方程为，
所以，
又因为，
所以
，
又因为，所以，D 正确.
故选：ACD
【分析】设出P的坐标，利用直线与的斜率之积等于3，可求得的值，进而得到渐近线方程，判断A选项；由A的结论可得离心率e，根据双曲线的定义可得，结合面积公式可求得a的值，进而判断B选项；设出的中点为，为坐标原点，则为的中位线，根据两个圆的位置关系可判断C选项；利用二倍角的正切公式可判断D选项。
13．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆的方程为，
所以a=3，c=，所以，
故答案是：
【分析】根据椭圆的方程分别求出参数a，c，进而求得离心率e。
14．【答案】240
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】两位老师必须相邻，用捆绑法，
第一步，两位老师排序，有种，
第二步，两位老师当成一个元素，和四名同学排列，有种，
用分步乘法公式得：共有种，
故答案是：240.
【分析】相邻问题用捆绑法即可。
15．【答案】3；54
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设长方体底面长方形的宽为x，则长为2x，
因为长方体的体积为36m ，所以长方体的高为：，
所以长方体的表面积，
则，令，得x=3，
当0
所以当x=3时，取得极小值也是最小值，，
故答案是：3 54
【分析】根据已知条件设出宽为x，利用体积为36m ，用x表示立方体的高，进而把表面积表示成关于x的函数，利用导函数求表面积的最值。
16．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】设等比数列的公比为q，
由已知可得：，解得，
所以，
所以，
所以，
所以，
由对勾函数的性质可得：
当n=3时，取得最小值，
此时取得最大值，
所以，
故答案为：
【分析】根据已知先求得的首项和公比，进而求得通项公式，然后求得，最后利用对勾函数的性质求得的最小值。
17．【答案】（1）解：因为，则，
因为函数的图象在点处的切线方程为，
则，解得，故.
（2）解：因为，则，列表如下：
增 极大值4 减 极小值0 增
又因为，，
所以，函数在上的最大值为4，最小值为0.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由函数f(x)的图像在点（1，4）处的切线方程为y=4，得到关于参数a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，进而得到函数f(x)的解析式。
（2）利用导函数求得函数f(x)的单调区间、单调性、极值，再求区间端点的函数值，进而得到在区间上的最值。
18．【答案】（1）解：由椭圆的定义可得，
所以，，又因为，则，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，即.
联立可得，解得，，
所以，.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件，椭圆的定义，分别求出参数a、b、c，进而得到椭圆的标准方程。
（2）设出交点M、N的坐标，直线的方程和椭圆的方程联立，求得交点M、N的纵坐标，利用三角形的面积公式求解即可。
19．【答案】（1）解：记答对、、分别为事件、、，
甲同学进入下一轮为事件，则，
则.
因此，甲同学进入下一轮的概率为.
（2）解：由题意知的可能取值为、、，
，
，
，
所以的分布列为
P
数学期望.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用和事件、积事件的概率公式求解。
（2）先求的可能取值，分别求出每一个值对应的概率，列出分布列，利用数学期望的计算公式求解。
20．【答案】（1）解：因为，
所以令，得，即，
所以或，因为数列是正数数列，所以；
当时，由，
则，
两式相减，
即，
整理得，
因为，
所以，
所以，即
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以；
所以，
因为数列是公比为2的等比数列，
所以.
所以数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）解：由题意知，数列的前项由数列的前项，的前项组成，
数列的前项的和为，
数列的前项的和为，
所以数列的前项的和.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用公式，得到数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而求得数列的通项公式，再由等比数列的性质求得数列的通项公式。
（2）利用分组求和的方法求解即可。
21．【答案】（1）解：由题意得，
，
故，，
则，
则；
（2）解：用频率估计概率，可得，
故，，
故，
故.
【知识点】回归分析；回归分析的初步应用；概率的应用
【解析】【分析】（1）根据已知先求出，再利用公式求出即可.
（2）利用贝叶斯公式求解.
22．【答案】（1）解：函数定义域，
，
当时，恒成立，所以在单调递增；
当时，令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，当时， 在单调递增；
当时， 在单调递增，在单调递减.
（2）证明：当时，，
要证明，
即证，即证，
设，则，
令得，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即，
故得证.
（3）证明：由（2）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，
则，
所以
，
即，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）先确定定义域，再求导函数，对参数a分成a≥0和a＜0两种情况，分别讨论的正负以及对应的的单调性。
（2）将问题等价转化为求函数的最大值。
（3）利用（2）的结论，将问题转化为证明，运用放缩法、裂项求和法求证。
广东省广州市天河区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为，
所以，
因为
所以
所以
故选：C.
【分析】利用正态曲线的性质求解。
2．已知随机变量，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】因为
所以，
所以，
故选：A.
【分析】运用二项分布的概率计算公式求解。
3．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示
【解析】【解答】因为
所以，
所以，
故选：A.
【分析】运用递推公式求解数列的项。
4．已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】因为抛物线方程为：，即，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
又因为抛物线上的点M到其焦点的距离为2，即，
所以，即点M的横坐标为，
故选：C.
【分析】利用抛物线的几何性质求解。
5．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例，其中.如下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形、、、、、均为黄金矩形，若与之间的距离超过，与之间的距离小于，则该古建筑中与之间的距离可能是（ ）
（参考数据：，，，，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的实际应用
【解析】【解答】设，a=0.618，
因为矩形ABCD，BCFE，CFGH，FGJI，GJKL，JKMN，均为黄金矩形，
所以，
由题意可得：，解得：22.22
【分析】利用已知条件，设出BC的长度，根据矩形ABCD，BCFE，CFGH，FGJI，GJKL，JKMN，均为黄金矩形，分别表示出CF，FG，GJ，JK，MJ，得到不等式组，求解即可。
6．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】由题意画出树状图：
所以四次传球后球在乙手中的概率为，
故选：D.
【分析】根据题意画出树状图，利用古典概型的概率公式即可求解。
7．某校高二年级羽毛球社团为了解喜欢羽毛球运动是否与性别有关，随机在高二年级抽取了若干人进行调查.已知抽取的女生人数是男生人数的3倍，其中女生喜爱羽毛球运动的人数占女生人数的，男生喜爱羽毛球运动的人数占男生人数的.若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为喜爱羽毛球运动与性别有关”的结论，则被调查的男生至少有（ ）
参考公式及数据：.
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．35人 B．32人 C．31人 D．30人
【答案】B
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】设男生人数为x，根据已知条件制作列联表：
喜欢羽毛球运动 不喜欢羽毛球运动 合计
男 x
女 3x
合计 4x
∴，解得：x>31.68，
所以x的最小值为32，即被调查的男生至少有32人，
故选：B.
【分析】根据已知条件，设出男生人数，制作列联表，计算，由，求出男生人数的最小值。
8．已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，
根据已知可得：恒成立，即恒成立，
令，则在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
∴，即实数a的取值范围是：[1，+∞），
故选：C.
【分析】把问题等价转化为在上单调递增，转化为在上恒成立，分离参数得到在上恒成立，即可求出a的取值范围。
二、多选题
9．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．展开式中所有项的二项式系数的和为
【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】A、令x=0，得，故A正确.
B、的展开式的通项公式为：，
令r=1，则，故B错误.
C、令x=1，则，
∴，故C错误.
D、∵n=8，∴展开式中所有项的二项式系数和为，故D正确.
故选：AD.
【分析】利用赋值法可判断AC选项，利用通项公式可判断B选项，利用二项式系数的和的公式可判断D选项。
10．设离散型随机变量的概率分布列如表，若，，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】A、由已知得：x的可能取值有-1、0、6，所以A错误.
B、因为，即，
又因为，解得：，故B正确.
C、因为Y=2X+1，所以，故C正确.
D、因为，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【分析】利用X的可能取值可判断A选项，利用数学期望的公式和分布列的性质可求得a，b的值，进而判断B选项，利用数学期望和方差的公式可判断CD选项。
11．已知函数，，则下列结论中正确的有（ ）
A．必有唯一极值点
B．若，则在上有极小值
C．若，对有恒成立，则
D．若存在，使得成立，则
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】A、由已知得：函数f(x)的定义域为R，，
所以当a≤0时，恒成立，f(x)单调递增，无极值点，故A错误.
B、当a=1时，，
当x<0时，，f(x)单调递减，
当x>0时，，f(x)单调递增，
∴当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=1，
即f(x)在（-1，1）上有极小值1，故B正确.
C、若对有f(x)≥kx恒成立，即恒成立，
设，可得：，
当0≤x< 时，，g(x)单调递减，
当x> 时，，g(x)单调递增，
所以当x= 时，g(x)取得极小值也是最小值，最小值，
所以k≤2e-2，故C正确.
D、若存在时，使得成立，
即当时，，
设，可得：定义域为R，，
当2≤x≤3时，，h(x)单调递增，
所以，所以，解得：，故D错误.
故选：BC.
【分析】由题意，先对函数f(x)求导，根据a的取值范围可判断A选项；将a=1代入函数f(x)的解析式，得到函数f(x)的导数，利用导数得到函数f(x)的单调性，进而判断B选项；将有f(x)≥kx恒成立，转化为使得恒成立，构造函数，对g(x)求导，利用导数得到函数g(x)的单调性，进而判断C选项；将存在时，使得成立，转化为当时，，构造函数，对h(x)求导，利用导数得到函数h(x)的单调性和最值，进而判断D选项。
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．若，且，则
C．分别以线段、为直径的两个圆内切
D．
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A、设P（x，y），则，
因为，直线的斜率之积等于3，
所以，得，
所以双曲线的渐近线方程为：，A正确.
B、由A已得：，所以，所以c=2a，
因为P为双曲线右支上的一点，所以，
又因为且，则，
又因为，
所以
即，得，所以，所以，B错误.
C、设的中点为，为坐标原点，则为的中位线，
所以，
以线段为直径的圆，圆心为，半径，
以线段为直径的圆，圆心为，半径
所以，故两圆内切，C正确.
D、设，则，假设，
已得：，渐近线方程为，
所以，
又因为，
所以
，
又因为，所以，D 正确.
故选：ACD
【分析】设出P的坐标，利用直线与的斜率之积等于3，可求得的值，进而得到渐近线方程，判断A选项；由A的结论可得离心率e，根据双曲线的定义可得，结合面积公式可求得a的值，进而判断B选项；设出的中点为，为坐标原点，则为的中位线，根据两个圆的位置关系可判断C选项；利用二倍角的正切公式可判断D选项。
三、填空题
13．椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆的方程为，
所以a=3，c=，所以，
故答案是：
【分析】根据椭圆的方程分别求出参数a，c，进而求得离心率e。
14．有4名同学和2位老师排成一排合影，其中2位老师必须相邻，则不同的排法有 种.（用数字作答）
【答案】240
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】两位老师必须相邻，用捆绑法，
第一步，两位老师排序，有种，
第二步，两位老师当成一个元素，和四名同学排列，有种，
用分步乘法公式得：共有种，
故答案是：240.
【分析】相邻问题用捆绑法即可。
四、双空题
15．要做一个无盖的长方体箱子，其体积为，底面长方形长与宽的比为，则当它的宽为 时，可使其表面积最小，最小表面积为 .
【答案】3；54
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设长方体底面长方形的宽为x，则长为2x，
因为长方体的体积为36m ，所以长方体的高为：，
所以长方体的表面积，
则，令，得x=3，
当0
所以当x=3时，取得极小值也是最小值，，
故答案是：3 54
【分析】根据已知条件设出宽为x，利用体积为36m ，用x表示立方体的高，进而把表面积表示成关于x的函数，利用导函数求表面积的最值。
五、填空题
16．已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】设等比数列的公比为q，
由已知可得：，解得，
所以，
所以，
所以，
所以，
由对勾函数的性质可得：
当n=3时，取得最小值，
此时取得最大值，
所以，
故答案为：
【分析】根据已知先求得的首项和公比，进而求得通项公式，然后求得，最后利用对勾函数的性质求得的最小值。
六、解答题
17．已知函数，其图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）解：因为，则，
因为函数的图象在点处的切线方程为，
则，解得，故.
（2）解：因为，则，列表如下：
增 极大值4 减 极小值0 增
又因为，，
所以，函数在上的最大值为4，最小值为0.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由函数f(x)的图像在点（1，4）处的切线方程为y=4，得到关于参数a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，进而得到函数f(x)的解析式。
（2）利用导函数求得函数f(x)的单调区间、单调性、极值，再求区间端点的函数值，进而得到在区间上的最值。
18．已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】（1）解：由椭圆的定义可得，
所以，，又因为，则，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）解：设点、，由题意可知，直线的方程为，即.
联立可得，解得，，
所以，.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件，椭圆的定义，分别求出参数a、b、c，进而得到椭圆的标准方程。
（2）设出交点M、N的坐标，直线的方程和椭圆的方程联立，求得交点M、N的纵坐标，利用三角形的面积公式求解即可。
19．月日是全国大、中学生心理健康日，“”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”.学校将举行心理健康知识竞赛，第一轮选拔共设有、、三个问题，每位参加者按问题、、顺序作答，规则如下：
①每位参加者计分器的初始分均为分，答对问题、、分别加分、分、分，答错任一题减分；
②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于分时，答题结束，进入下一轮；
③当答完三题，若累计分数大于或等于分，则答题结束，进入下一轮；否则，答题结束，淘汰出局.
假设甲同学对问题、、回答正确的概率依次为、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
（1）求甲同学进入下一轮的概率；
（2）用表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）解：记答对、、分别为事件、、，
甲同学进入下一轮为事件，则，
则.
因此，甲同学进入下一轮的概率为.
（2）解：由题意知的可能取值为、、，
，
，
，
所以的分布列为
P
数学期望.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用和事件、积事件的概率公式求解。
（2）先求的可能取值，分别求出每一个值对应的概率，列出分布列，利用数学期望的计算公式求解。
20．已知正项数列的前项和为，，数列是公比为2的等比数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）数列，的所有项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，，…，求数列的前项的和.
【答案】（1）解：因为，
所以令，得，即，
所以或，因为数列是正数数列，所以；
当时，由，
则，
两式相减，
即，
整理得，
因为，
所以，
所以，即
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以；
所以，
因为数列是公比为2的等比数列，
所以.
所以数列的通项公式为，的通项公式为.
（2）解：由题意知，数列的前项由数列的前项，的前项组成，
数列的前项的和为，
数列的前项的和为，
所以数列的前项的和.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用公式，得到数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而求得数列的通项公式，再由等比数列的性质求得数列的通项公式。
（2）利用分组求和的方法求解即可。
21．某医疗团队为研究市的一种疾病发病情况与该市居民的年龄关系，从该市疾控中心得到以下数据：
年龄段（岁）
发病率（） 0.09 0.18 0.30 0.40 0.53
参考公式及数据：， ， .
（1）若将每个区间的中点数据记为，对应的发病率记为（，2，3，4，5），根据这些数据可以建立发病率关于年龄（岁）的经验回归方程，求；
（2）医学研究表明，化验结果有可能出现误差.现有市某一居民年龄在，表示事件“该居民化验结果呈阳性”，表示事件“该居民患有这种疾病”.用频率估计概率，已知，求.
【答案】（1）解：由题意得，
，
故，，
则，
则；
（2）解：用频率估计概率，可得，
故，，
故，
故.
【知识点】回归分析；回归分析的初步应用；概率的应用
【解析】【分析】（1）根据已知先求出，再利用公式求出即可.
（2）利用贝叶斯公式求解.
22．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）证明：对任意的且，都有：.
【答案】（1）解：函数定义域，
，
当时，恒成立，所以在单调递增；
当时，令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，当时， 在单调递增；
当时， 在单调递增，在单调递减.
（2）证明：当时，，
要证明，
即证，即证，
设，则，
令得，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即，
故得证.
（3）证明：由（2）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，
则，
所以
，
即，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）先确定定义域，再求导函数，对参数a分成a≥0和a＜0两种情况，分别讨论的正负以及对应的的单调性。
（2）将问题等价转化为求函数的最大值。
（3）利用（2）的结论，将问题转化为证明，运用放缩法、裂项求和法求证。
