江苏省盐城景山中学2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷
一、选择题：（每题3分，共24分）
1．（2023八下·景山期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023八下·景山期末）下列调查中，最适合采用普查的是（ ）
A．对我市七年级学生身高的调查
B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C．疫情期间，了解全校师生入校时体温情况
D．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查
3．（2023八下·景山期末）下列各事件中，是必然事件的是（ ）
A．是实数，则<0
B．某运动员跳高的最好成绩是
C．从装着只有5个白球的箱子里取出2个白球
D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是正品
4．（2023八下·景山期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．或 B． C． D．
5．（2023八下·景山期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·景山期末）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2-2=0 B．x2-2x=0
C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0
7．（2023八下·景山期末）如图，四边形是圆内接四边形，是圆的直径，若，则等于（ ）
A．110° B．100° C．120° D．90°
8．（2023八下·景山期末）如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．（2017八下·罗山期中）使式子 有意义的x的取值范围是 ．
10．（2022八下·淮安期末）若反比例函数的图象在二、四象限，则m的取值范围为 .
11．（2021九上·南京月考）如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
12．（2022八下·淮安期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 个.
13．（2022·花都模拟）如图，圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 °．
14．（2023八下·景山期末）关于x的分式方程的解为正数，则m的范围为 ．
15．（2023八下·景山期末）如图，在 ABCD中，∠D＝80°，若△ABC是等腰三角形，则∠ACB的度数为 °．
16．（2023八下·景山期末）如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接，．则的最小值为 ．
三、解答题：（共72分）
17．（2023八下·景山期末）计算：
（1）．
（2）化简：；
18．（2023八下·景山期末）
（1）解方程：；
（2）解方程：．
19．（2023八下·景山期末）先化简，再求值：．其中x为的根．
20．（2023八下·景山期末）某区教育部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机调查了部分学生，并将他们某一学期参加综合实践活动的天数进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加调查的八年级学生总人数为 人；
（2）根据图中信息，补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数为 °；
（4）全区共有八年级学生12000人，请你估计“活动时间至少5天”的大约有多少人？
21．（2020九上·庐阳期末）已知关于x 的一元二次方程x2
-5x + m = 0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3 x1-2x2 =5，求实数m 的值．
22．（2023八下·景山期末）如图，□ABCD对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
（1）求证：□ABCD是菱形；
（2）若，，求的长．
23．（2020九上·江川期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=4，求阴影部分的面积．
24．（2023八下·景山期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，自变量x的取值范围．
（3）若P是y轴上一点，且满足的面积是10，请求出点P的坐标．
25．（2023八下·景山期末）阅读材料已知下面一列等式：；；；
（1）请用含的等式表示你发现的规律 ；
（2）利用等式计算：；
（3）计算：．
26．（2023八下·景山期末）【观察思考】
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图.其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动.在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得OH=8分米，PQ=6分米，OP=4分米.
【解决问题】
（1）点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米.
（2）如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小.”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是 分米；
②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值.
27．（2023八下·景山期末）我们定义：如果一个矩形周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体．
（1）若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全倍体？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）【深入探究】长为，宽为的矩形是否存在完全倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立得，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体．
那么长为4．宽为3的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
（3）如果长为4，宽为3的矩形存在完全倍体，请求出的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确.
故选：D.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
中心对称图形是把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形。
2．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、B、D的调查人数太多，不仅不方便意义也不大，所以采取抽样调查比较好，C项在疫情期间全校师生入校的体温意义重大，关乎全校师生安全，所以必须采取普查.
【分析】数量少，意义大的适合普查，数量大，意义小的适合抽查.
3．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A.根据实数绝对值的性质判断a<0是不可能事件，不符合题意；
B.根据跳高的世界纪录，判断“某运动员跳高的最好成绩是10.1m”是不可能事件，不符合题意；
C.根据常识判断“从装有5个白球的箱子里取出2个白球”是必然事件，符合题意；
D.从车间刚生产的产品中任意抽一个，是正品，这个事件是随机事件，不符合题意；
故选：C.
【分析】本题考查必然事件的概念，通过对事件可能性的大小进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】 解：∵分式的值为0，
可得，
解得x=2或-1，
∵x+1≠0，
即x≠-1，
∴x=2.
故选：C.
【分析】 分式的值为0的条件是：①分子=0；②分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可，据此可以解答本题.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B. ，故B正确；
C.，故C错误；
D.，故D错误；
故选：C.
【分析】根据合并同类二次根式，二次根式的乘法和除法可以判断.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解：A、△=02-4×1x(-2)=8>0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、△=(-2)2-4×1×0=4>0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
C、△=12-4×1×1=-3<0，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
D、解（x-1)(x-3)=0得x1=1，x2=3，所以该选项不符合题意.
故选：C.
【分析】分别利用根的判别式进行判断.
一般地，式子叫做一元二次方程a根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即.
当时，方程(a≠0)有两个不等的实数根；
当时，方程(a≠0)有两个相等的实数根；
当时，方程(a≠0)无实数根。
7．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】 解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC与∠B互补，
∴∠ADC=180°-∠B=110°.
故选：A.
【分析】 由AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角可求得∠ACB=90°，又由∠BAC=20°，即可求得∠B的度数，然后由圆的内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可求得∠ADC的度数.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质
【解析】【解答】 解：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，作DP⊥AB交AB的延长线于点P，
∵AD平分∠OAB，DM⊥OM，DP⊥AP，
∴DM=DP，
又∵BE平分∠ABC， DN⊥OC， DP⊥AP，
∴DN=DP，
∴四边形DMON是正方形，
在中，
由对称可得，AP=AM，BP=BN，
设ON=a，则OM=a，BN=4-a=BP
∵AP=AB+BP=5+(4-a)， AM=OA+OM=3+a，
∴5+4-a=3+a，
解得a=3，
即ON=DM=DN=3
∴点D(-3，3)，
∴k=-3×3=-9.
故选：B.
【分析】 根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得DM=DN=DP，再根据角的对称性得出BN=BP，由勾股定理求出AB，设ON=a，利用四边形DMON是正方形，列方程求出a的值，确定点D坐标，进而求出k的值。
9．【答案】x≥﹣1且x≠1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 有意义，
∴ ，
解得：x≥﹣1且x≠1．
故答案为：x≥﹣1且x≠1．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
10．【答案】m＜1
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限内，
∴m+1＜0，
解得m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限内，据此并结合题意列出不等式，求解即可.
11．【答案】m＜2且m≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ 且 .
故答案为：m＜2且m≠1.
【分析】由一元二次方程的定义知m-1≠0，已知方程有两个不相等的实数根，知b2-4ac＞0，据此可得到关于m的不等式，然后求出其解集即可.
12．【答案】5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意，得：
=0.75，
解得x=5.
所以袋中白球有5个.
故答案为：5.
【分析】设袋中白球有x个，用袋中黄色小球的个数除以袋中小球的总个数等于从袋中随机摸到黄球的频率，列出方程即可求出白色小球的数量.
13．【答案】120
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意知，圆锥底面周长为，
∴圆锥侧面展开图的扇形的弧长为
∵
解得
∴扇形的圆心角的度数为120°．
故答案为：120．
【分析】先求出圆锥侧面展开图的扇形的弧长，再根据弧长公式即可求出扇形的圆心角的度数。
14．【答案】m＞-6且m≠0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得m=3(x-2)，
m=3x-6，
解：，
∵的解为正数，
∴，
∴m>-6，
∵x≠2，
∴m≠0，
∴答案为：m＞-6且m≠0.
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，再根据解是正数建立不等式求m的取值范围.
15．【答案】50或80或20
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=80°
若△ABC是等腰三角形，分三种情况：
①若AB=BC.
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACB=50°；
②若AB=AC
∴∠ABC= ∠ACB=80°，
③若AC=BC
∴∠B=∠BAC=80°，
∴∠ACB=20°，
故∠ACB的度数为50°或80°或20°.
故答案为：50或80或20.
【分析】因为题中未给出具体是哪两条边，所以要分三种情况①AB=BC；②AB=AC；③AC=BC。根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等及等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角度数相等即可得结果。
16．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】 如图，连接AE和EF，
∵△ACD是等边三角形，E是CD中点
∴AE⊥BD(三线合一)
又∵OF⊥AB
∴F是AB中点
即，EF是△ABE斜边中线
∴AF=EF=BF
即，E点在以AB为直径的圆上运动.
所以，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小
此时，AE=EF，AE⊥EF
∵圆O的半径是2，即OA=2，OF=1
∴AF=（勾股定理)
∴OE=EF-OF=AF-OF=.
【分析】先运用折叠还有过圆心可证△ACD是等边三角形，再证EF是△ABE斜边中线，E点在以AB为直径的圆上运动，所以EF是固定的，最小值则是当E、O、F在同一直线时，OE长度最小.
17．【答案】（1）解：原式=，
=；
（2）解：原式==
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先利用分配律将乘进括号，然后再去括号变号计算即可.
（2）先把分式的分母分解因式，然后通分计算.
18．【答案】（1）解：移项得，
两边同时加上一次项系数的一半的平分：，
，
开方解得：.
（2）解：去分母得：，
化简得：4x=-2，
解得：.
【知识点】配方法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）首先先移项，再同时加上一次项系数的一半开方即可得。
（2）去分母化简即可得到答案。
19．【答案】解：原式=
=
=
当时，
∴
∵分母x+1≠0
∴x≠-1
∴当x=4时，
原式=.
【知识点】分式的化简求值；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】 根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，先通分相减去括号，再化简运算；然后求出的解，将使得原分式有意义的值代入原式即可求出答案.
20．【答案】（1）200
（2）解：补全条形统计图如下，
（3）54
（4）解：“活动时间不少于5天”的大约有12000×（1-55%)=5400（人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】
【解答】解：（1）该校八年级学生总数为20÷10%=200人；
（2）活动7天的人数为200×5%=10，活动5天的人数为200-（20+30+60+30+10）=50；
（3）活动时间为6天”的扇形所对圆心角的度数为360°×15%=54°.
【分析】（ 1）根据活动时间为2天的人数及其百分比即可求出八年级学生总数；
（2）总人数乘以7天的百分比求得活动时间为7天的人数，再根据各项目人数之和等于总人数求得5天的人数，补全统计图即可；
（3）再用360°乘以活动时间为6天的人数所占的百分比即可求出活动时间为6天的扇形所对圆心角的度数；
（4）用总人数乘以活动时间不少于5天的人数所占的百分比即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵一元二次方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵方程两实数根为x1，x2，
∴ ，
∴ ，
∵3 x1-2x2 =5，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴m=6．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系代入计算即可。
22．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形
∵OE=CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD=90°
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，CD=AB=BC=4，AC⊥BD
∵∠ABC=60°.
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=4，
∴OA=OC=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
由（1）可知，四边形OCED是矩形.
∴CE=OD=， ∠OCE=90°
∴
即AE的长为.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再证平行四边形OCED是矩形，则COD=90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC=AB=4，再由勾股定理得OD=，然后由矩形的在得CE=OD=，∠OCE=90°，即可解决问题。
23．【答案】（1）证明：连接OD、CD，
∵OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC=ED，
∴ ∠ECD=∠EDC ，
又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解；由（1）得∠ODF=90°，
∵ ∠B=30°，
∴∠DOF=60°，
∴∠F=30°，
∵在Rt△ABC中，AC=4，
∴AB=8， ， ， ，
∴在Rt△ODF中， ，
阴影部分的面积 ．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC=ED，求得∠ECD=∠EDC于是得到结论；
（2）由（1）已知∠ODF=90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF=90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF=60°，求得∠F=30°，解直角三角形得到DF的长度，最后利用扇形面积公式计算即可。
24．【答案】（1）解：∵y=的图象过点A(2，3)，
∴m=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵的图象过点B（-3，n)，
∴，
∴B(-3，-2)，
∵y=kx+b的图象过A，B两点，
解得：k=1，b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1.
（2）或
（3）将x=0代入一次函数，
得一次函数在y轴上的交点C：（0，1），
∵A与B横坐标差为5，
又 满足的面积是10，
，
PC=2，
则点P的坐标为或，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】 解：(2)观察图象得：当-3
∴不等式k+b>的解集是-3
【分析】（1）先解出反比例函数的解析式，再解出点B的坐标，将点A，B的坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）根据图象即可得出范围；
（3）先解出一次函数在Y轴的交点C，又满足，即可解出点C坐标.
25．【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
（3）解：根据题二得： =
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1） ∵；；；
可以得到第n个等式为：，
故答案为：。
【分析】通过观察即可得到等式的规律为；将题一总结出来的概率运用到题二中即可解出答案；将题二的第三步运用到第三题即可解出答案。
26．【答案】（1）12
（2）解：不对，理由如下，
∵OP=4， PQ=6，OQ=8，且
∴OP与PQ不垂直.
∴PQ与OQ不相切.
（3）①6；
②由①知，在OQ上存在点P，P到l的距离为6，此时，OP将不能再向下转动，如答图，OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP.连接P'P，交OH于点D，
∵PQ，P'Q'均与l垂直，且PQ=P'Q'=6，
∴四边形POQ'P'是矩形.
∴OH⊥PP'，PD=P'D.
由OP=4，OD=OH-HD=2，得∠DOP=60°
∴∠POP'=120°
∴所求最大圆心角的度数为120°
【知识点】勾股定理的应用；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）当OP为直线时最远，
此时QH=3，则最远为6.
(3)①∵PQ=6，当OP⊥ 时距离最远，则最大距离为6.
【分析】（1）当OP为直线时最远，根据勾股定理解出答案即可；
（2）因为OP，PO，QO不满足勾股定理，则OP与PQ不垂直，所以PQ与OQ不相切.
（3）①因为PQ=6，则当OP⊥ 时距离最远，最大距离为6.②当P 距离最大时，距离为6，P不能在向下转动，此时扇形面积最大，得出OP与OD的长后可以根据直角三角形的三角函数得到∠DOP，再运用扇形面积公式即可得到答案.
27．【答案】（1）不存在
（2）解：【深入探究】
长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形，
∵ABCD长为3，宽为2，
∴矩形ABCD的周长为10，面积为6，
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y
，则依题意x+y=10. xy=12，
联立整理得：
解得：
∴新矩形的长为，宽为时，
周长为20，面积为12，
∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形.
【小棋函数流】设新矩形长和宽为x、y，
则依题意x+y=10.xy=12，
即y=-x+10，y=用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体．
（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k(4+3)-x，即7k-x，
由题意得：x·（7k-x)=12k，
整理得：，
，
.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；定义新运算
【解析】【解答】 解：（1）不存在
∵两个正方形是相似图形，
当它们的周长比为2时，
则面积比必定是4，
∴不存在 【分析】 （1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；
（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；
(3)设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k(4+3)-x，即5k-x，根据新定义“完全N倍体”可得：，再运用根的判别式即可求得答案
江苏省盐城景山中学2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷
一、选择题：（每题3分，共24分）
1．（2023八下·景山期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确.
故选：D.
【分析】 轴对称图形为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
中心对称图形是把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形。
2．（2023八下·景山期末）下列调查中，最适合采用普查的是（ ）
A．对我市七年级学生身高的调查
B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C．疫情期间，了解全校师生入校时体温情况
D．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、B、D的调查人数太多，不仅不方便意义也不大，所以采取抽样调查比较好，C项在疫情期间全校师生入校的体温意义重大，关乎全校师生安全，所以必须采取普查.
【分析】数量少，意义大的适合普查，数量大，意义小的适合抽查.
3．（2023八下·景山期末）下列各事件中，是必然事件的是（ ）
A．是实数，则<0
B．某运动员跳高的最好成绩是
C．从装着只有5个白球的箱子里取出2个白球
D．从车间刚生产的产品中任意抽一个，是正品
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解： A.根据实数绝对值的性质判断a<0是不可能事件，不符合题意；
B.根据跳高的世界纪录，判断“某运动员跳高的最好成绩是10.1m”是不可能事件，不符合题意；
C.根据常识判断“从装有5个白球的箱子里取出2个白球”是必然事件，符合题意；
D.从车间刚生产的产品中任意抽一个，是正品，这个事件是随机事件，不符合题意；
故选：C.
【分析】本题考查必然事件的概念，通过对事件可能性的大小进行判断即可.
4．（2023八下·景山期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】 解：∵分式的值为0，
可得，
解得x=2或-1，
∵x+1≠0，
即x≠-1，
∴x=2.
故选：C.
【分析】 分式的值为0的条件是：①分子=0；②分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可，据此可以解答本题.
5．（2023八下·景山期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B. ，故B正确；
C.，故C错误；
D.，故D错误；
故选：C.
【分析】根据合并同类二次根式，二次根式的乘法和除法可以判断.
6．（2023八下·景山期末）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2-2=0 B．x2-2x=0
C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 解：A、△=02-4×1x(-2)=8>0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、△=(-2)2-4×1×0=4>0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
C、△=12-4×1×1=-3<0，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
D、解（x-1)(x-3)=0得x1=1，x2=3，所以该选项不符合题意.
故选：C.
【分析】分别利用根的判别式进行判断.
一般地，式子叫做一元二次方程a根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即.
当时，方程(a≠0)有两个不等的实数根；
当时，方程(a≠0)有两个相等的实数根；
当时，方程(a≠0)无实数根。
7．（2023八下·景山期末）如图，四边形是圆内接四边形，是圆的直径，若，则等于（ ）
A．110° B．100° C．120° D．90°
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】 解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC与∠B互补，
∴∠ADC=180°-∠B=110°.
故选：A.
【分析】 由AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角可求得∠ACB=90°，又由∠BAC=20°，即可求得∠B的度数，然后由圆的内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可求得∠ADC的度数.
8．（2023八下·景山期末）如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；正方形的性质
【解析】【解答】 解：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，作DP⊥AB交AB的延长线于点P，
∵AD平分∠OAB，DM⊥OM，DP⊥AP，
∴DM=DP，
又∵BE平分∠ABC， DN⊥OC， DP⊥AP，
∴DN=DP，
∴四边形DMON是正方形，
在中，
由对称可得，AP=AM，BP=BN，
设ON=a，则OM=a，BN=4-a=BP
∵AP=AB+BP=5+(4-a)， AM=OA+OM=3+a，
∴5+4-a=3+a，
解得a=3，
即ON=DM=DN=3
∴点D(-3，3)，
∴k=-3×3=-9.
故选：B.
【分析】 根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得DM=DN=DP，再根据角的对称性得出BN=BP，由勾股定理求出AB，设ON=a，利用四边形DMON是正方形，列方程求出a的值，确定点D坐标，进而求出k的值。
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．（2017八下·罗山期中）使式子 有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣1且x≠1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子 有意义，
∴ ，
解得：x≥﹣1且x≠1．
故答案为：x≥﹣1且x≠1．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件，即可得出x的取值范围．
10．（2022八下·淮安期末）若反比例函数的图象在二、四象限，则m的取值范围为 .
【答案】m＜1
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限内，
∴m+1＜0，
解得m＜1.
故答案为：m＜1.
【分析】反比例函数中，当k＞0时，图象的两支分布在一、三象限，当k＜0时，图象的两支分布在二、四象限内，据此并结合题意列出不等式，求解即可.
11．（2021九上·南京月考）如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
【答案】m＜2且m≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ 且 .
故答案为：m＜2且m≠1.
【分析】由一元二次方程的定义知m-1≠0，已知方程有两个不相等的实数根，知b2-4ac＞0，据此可得到关于m的不等式，然后求出其解集即可.
12．（2022八下·淮安期末）在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 个.
【答案】5
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意，得：
=0.75，
解得x=5.
所以袋中白球有5个.
故答案为：5.
【分析】设袋中白球有x个，用袋中黄色小球的个数除以袋中小球的总个数等于从袋中随机摸到黄球的频率，列出方程即可求出白色小球的数量.
13．（2022·花都模拟）如图，圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 °．
【答案】120
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意知，圆锥底面周长为，
∴圆锥侧面展开图的扇形的弧长为
∵
解得
∴扇形的圆心角的度数为120°．
故答案为：120．
【分析】先求出圆锥侧面展开图的扇形的弧长，再根据弧长公式即可求出扇形的圆心角的度数。
14．（2023八下·景山期末）关于x的分式方程的解为正数，则m的范围为 ．
【答案】m＞-6且m≠0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得m=3(x-2)，
m=3x-6，
解：，
∵的解为正数，
∴，
∴m>-6，
∵x≠2，
∴m≠0，
∴答案为：m＞-6且m≠0.
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，再根据解是正数建立不等式求m的取值范围.
15．（2023八下·景山期末）如图，在 ABCD中，∠D＝80°，若△ABC是等腰三角形，则∠ACB的度数为 °．
【答案】50或80或20
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】 解：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=80°
若△ABC是等腰三角形，分三种情况：
①若AB=BC.
∴∠ACB=∠BAC，
∴∠ACB=50°；
②若AB=AC
∴∠ABC= ∠ACB=80°，
③若AC=BC
∴∠B=∠BAC=80°，
∴∠ACB=20°，
故∠ACB的度数为50°或80°或20°.
故答案为：50或80或20.
【分析】因为题中未给出具体是哪两条边，所以要分三种情况①AB=BC；②AB=AC；③AC=BC。根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等及等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角度数相等即可得结果。
16．（2023八下·景山期末）如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接，．则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】 如图，连接AE和EF，
∵△ACD是等边三角形，E是CD中点
∴AE⊥BD(三线合一)
又∵OF⊥AB
∴F是AB中点
即，EF是△ABE斜边中线
∴AF=EF=BF
即，E点在以AB为直径的圆上运动.
所以，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小
此时，AE=EF，AE⊥EF
∵圆O的半径是2，即OA=2，OF=1
∴AF=（勾股定理)
∴OE=EF-OF=AF-OF=.
【分析】先运用折叠还有过圆心可证△ACD是等边三角形，再证EF是△ABE斜边中线，E点在以AB为直径的圆上运动，所以EF是固定的，最小值则是当E、O、F在同一直线时，OE长度最小.
三、解答题：（共72分）
17．（2023八下·景山期末）计算：
（1）．
（2）化简：；
【答案】（1）解：原式=，
=；
（2）解：原式==
【知识点】分式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先利用分配律将乘进括号，然后再去括号变号计算即可.
（2）先把分式的分母分解因式，然后通分计算.
18．（2023八下·景山期末）
（1）解方程：；
（2）解方程：．
【答案】（1）解：移项得，
两边同时加上一次项系数的一半的平分：，
，
开方解得：.
（2）解：去分母得：，
化简得：4x=-2，
解得：.
【知识点】配方法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）首先先移项，再同时加上一次项系数的一半开方即可得。
（2）去分母化简即可得到答案。
19．（2023八下·景山期末）先化简，再求值：．其中x为的根．
【答案】解：原式=
=
=
当时，
∴
∵分母x+1≠0
∴x≠-1
∴当x=4时，
原式=.
【知识点】分式的化简求值；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】 根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，先通分相减去括号，再化简运算；然后求出的解，将使得原分式有意义的值代入原式即可求出答案.
20．（2023八下·景山期末）某区教育部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机调查了部分学生，并将他们某一学期参加综合实践活动的天数进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加调查的八年级学生总人数为 人；
（2）根据图中信息，补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“活动时间为6天”的扇形所对应的圆心角的度数为 °；
（4）全区共有八年级学生12000人，请你估计“活动时间至少5天”的大约有多少人？
【答案】（1）200
（2）解：补全条形统计图如下，
（3）54
（4）解：“活动时间不少于5天”的大约有12000×（1-55%)=5400（人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】
【解答】解：（1）该校八年级学生总数为20÷10%=200人；
（2）活动7天的人数为200×5%=10，活动5天的人数为200-（20+30+60+30+10）=50；
（3）活动时间为6天”的扇形所对圆心角的度数为360°×15%=54°.
【分析】（ 1）根据活动时间为2天的人数及其百分比即可求出八年级学生总数；
（2）总人数乘以7天的百分比求得活动时间为7天的人数，再根据各项目人数之和等于总人数求得5天的人数，补全统计图即可；
（3）再用360°乘以活动时间为6天的人数所占的百分比即可求出活动时间为6天的扇形所对圆心角的度数；
（4）用总人数乘以活动时间不少于5天的人数所占的百分比即可求出答案.
21．（2020九上·庐阳期末）已知关于x 的一元二次方程x2
-5x + m = 0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3 x1-2x2 =5，求实数m 的值．
【答案】（1）解：∵一元二次方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵方程两实数根为x1，x2，
∴ ，
∴ ，
∵3 x1-2x2 =5，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴m=6．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系代入计算即可。
22．（2023八下·景山期末）如图，□ABCD对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
（1）求证：□ABCD是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形
∵OE=CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD=90°
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，CD=AB=BC=4，AC⊥BD
∵∠ABC=60°.
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=4，
∴OA=OC=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
由（1）可知，四边形OCED是矩形.
∴CE=OD=， ∠OCE=90°
∴
即AE的长为.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再证平行四边形OCED是矩形，则COD=90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证△ABC是等边三角形，得AC=AB=4，再由勾股定理得OD=，然后由矩形的在得CE=OD=，∠OCE=90°，即可解决问题。
23．（2020九上·江川期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD、CD，
∵OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC=ED，
∴ ∠ECD=∠EDC ，
又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解；由（1）得∠ODF=90°，
∵ ∠B=30°，
∴∠DOF=60°，
∴∠F=30°，
∵在Rt△ABC中，AC=4，
∴AB=8， ， ， ，
∴在Rt△ODF中， ，
阴影部分的面积 ．
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC=ED，求得∠ECD=∠EDC于是得到结论；
（2）由（1）已知∠ODF=90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF=90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF=60°，求得∠F=30°，解直角三角形得到DF的长度，最后利用扇形面积公式计算即可。
24．（2023八下·景山期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出当时，自变量x的取值范围．
（3）若P是y轴上一点，且满足的面积是10，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵y=的图象过点A(2，3)，
∴m=2×3=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵的图象过点B（-3，n)，
∴，
∴B(-3，-2)，
∵y=kx+b的图象过A，B两点，
解得：k=1，b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1.
（2）或
（3）将x=0代入一次函数，
得一次函数在y轴上的交点C：（0，1），
∵A与B横坐标差为5，
又 满足的面积是10，
，
PC=2，
则点P的坐标为或，
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】 解：(2)观察图象得：当-3
∴不等式k+b>的解集是-3
【分析】（1）先解出反比例函数的解析式，再解出点B的坐标，将点A，B的坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）根据图象即可得出范围；
（3）先解出一次函数在Y轴的交点C，又满足，即可解出点C坐标.
25．（2023八下·景山期末）阅读材料已知下面一列等式：；；；
（1）请用含的等式表示你发现的规律 ；
（2）利用等式计算：；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：
=
=
=
（3）解：根据题二得： =
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1） ∵；；；
可以得到第n个等式为：，
故答案为：。
【分析】通过观察即可得到等式的规律为；将题一总结出来的概率运用到题二中即可解出答案；将题二的第三步运用到第三题即可解出答案。
26．（2023八下·景山期末）【观察思考】
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图.其工作原理是：滑块在平直滑道上可以左右滑动，在滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点摆动.在摆动过程中，两连杆的接点在以为半径的上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点作于点，并测得OH=8分米，PQ=6分米，OP=4分米.
【解决问题】
（1）点在上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米.
（2）如图3，小明同学说：“当点滑动到点的位置时，与是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点运动到上时，点到的距离最小.”事实上，还存在着点到距离最大的位置，此时，点到的距离是 分米；
②当绕点左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积的最大值.
【答案】（1）12
（2）解：不对，理由如下，
∵OP=4， PQ=6，OQ=8，且
∴OP与PQ不垂直.
∴PQ与OQ不相切.
（3）①6；
②由①知，在OQ上存在点P，P到l的距离为6，此时，OP将不能再向下转动，如答图，OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP.连接P'P，交OH于点D，
∵PQ，P'Q'均与l垂直，且PQ=P'Q'=6，
∴四边形POQ'P'是矩形.
∴OH⊥PP'，PD=P'D.
由OP=4，OD=OH-HD=2，得∠DOP=60°
∴∠POP'=120°
∴所求最大圆心角的度数为120°
【知识点】勾股定理的应用；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）当OP为直线时最远，
此时QH=3，则最远为6.
(3)①∵PQ=6，当OP⊥ 时距离最远，则最大距离为6.
【分析】（1）当OP为直线时最远，根据勾股定理解出答案即可；
（2）因为OP，PO，QO不满足勾股定理，则OP与PQ不垂直，所以PQ与OQ不相切.
（3）①因为PQ=6，则当OP⊥ 时距离最远，最大距离为6.②当P 距离最大时，距离为6，P不能在向下转动，此时扇形面积最大，得出OP与OD的长后可以根据直角三角形的三角函数得到∠DOP，再运用扇形面积公式即可得到答案.
27．（2023八下·景山期末）我们定义：如果一个矩形周长和面积都是矩形的倍，那么我们就称矩形是矩形的完全倍体．
（1）若矩形为正方形，是否存在一个正方形是正方形的完全倍体？ （填“存在”或“不存在”）．
（2）【深入探究】长为，宽为的矩形是否存在完全倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立得，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体．
那么长为4．宽为3的矩形是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
（3）如果长为4，宽为3的矩形存在完全倍体，请求出的取值范围。
【答案】（1）不存在
（2）解：【深入探究】
长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形，
∵ABCD长为3，宽为2，
∴矩形ABCD的周长为10，面积为6，
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y
，则依题意x+y=10. xy=12，
联立整理得：
解得：
∴新矩形的长为，宽为时，
周长为20，面积为12，
∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形.
【小棋函数流】设新矩形长和宽为x、y，
则依题意x+y=10.xy=12，
即y=-x+10，y=用反比例函数：与一次函数：来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全倍体．
（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k(4+3)-x，即7k-x，
由题意得：x·（7k-x)=12k，
整理得：，
，
.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；定义新运算
【解析】【解答】 解：（1）不存在
∵两个正方形是相似图形，
当它们的周长比为2时，
则面积比必定是4，
∴不存在 【分析】 （1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；
（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；
(3)设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k(4+3)-x，即5k-x，根据新定义“完全N倍体”可得：，再运用根的判别式即可求得答案
