【A级——夯实基础】
1．牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远。如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星。如图所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动。下列说法正确的是( )
A．地球的球心与椭圆的中心重合
B．卫星在近地点的速率小于在远地点的速率
C．卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度
D．卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积
解析：地球的球心与椭圆的焦点重合，选项A错误；根据卫星运动过程中机械能守恒(动能和引力势能之和保持不变)可知，卫星在近地点的动能大于在远地点的动能，根据动能公式可知，卫星在近地点的速率大于在远地点的速率，选项B错误；根据万有引力定律和牛顿运动定律可知，卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度，选项C正确；根据开普勒定律可知，卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，选项D错误。
答案：C
2．2020年6月15日，中国科学院宣布，中国首颗量子科学实验卫星“墨子号”在国际上首次实现千公里级基于纠缠的量子密钥分发。“墨子号”运行轨道为如图所示的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上，轨道上标记了“墨子号”卫星经过相等时间间隔(Δt＝，T为轨道周期)的位置。如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是( )
A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
解析：根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道A点的速度大于在B点的速度，选项B错误；根据开普勒第三定律可知＝k，C＝其中C为常数，a为椭圆半长轴，选项C正确，D错误。
答案：C
3．深空是在地球大气极限以外很远的空间。若深空中有一行星X，其自转周期为3 h，同步卫星的轨道半径是其半径的3.5倍。已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，则行星X与地球的平均密度之比约为(行星X与地球均视为球体)( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：设中心天体的平均密度为ρ，半径为R，则中心天体的质量M＝πρR3，设同步卫星的轨道半径为r、周期为T，由万有引力提供向心力有G＝m()2r，解得ρ＝，可得行星X与地球的平均密度之比＝×＝8，故C符合题意。
答案：C
4．(2022·江苏扬州模拟)2021年2月24日6时29分，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在成功实施第三次近火制动后，进入火星停泊轨道，在这条轨道稳定运行3个月左右，“天问一号”的停泊轨道是典型的椭圆极地轨道，可以利用火星的自转完成沿经度方向对火星进行全面扫描。已知火星停泊轨道的近火点a＝280 km，远火点b＝5.9×104 km，周期T为2个火星日，万有引力常量G。则( )
A．可以求出火星的质量
B．可以求出探测器的质量
C．探测器在近火点时的加速度为a
D．火星的第一宇宙速度为
解析：由万有引力提供向心力，则有G＝m·得 M＝，A正确；由以上计算和题给信息不能测出探测器质量，B错误；由探测器受力情况来确定在近火点时的加速度，因火星的半径和探测器的质量题中没有给出，求不出探测器受火星的引力，求不出探测器在近火点时的加速度，C错误；火星半径未知，不能确定第一宇宙速度，D错误。
答案：A
5．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为r处的重力加速度大小可能为如下图像中的( )
解析：设地球的密度为ρ。当物体处于地心时，所受万有引力为零，重力加速度为零；当距地心距离为r＜R时，只有半径为r的球体对其产生万有引力，根据G＝mg得G＝mg，解得g＝，即重力加速度g与r成正比，由此可判断B、D错误；当r＞R时，由G＝mg得g＝，重力加速度g与r的平方成反比，故A正确，C错误。
答案：A
6．(2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
解析：地球绕太阳做匀速圆周运动，太阳对地球的万有引力提供地球做圆周运动所需的向心力，有＝mr()2，化简得＝M，由此推断S2绕黑洞做椭圆运动时，半长轴的三次方与周期二次方的比值与黑洞质量成正比，有＝，由观测推算S2的周期约为16年，代入数据解得M黑≈4×106M，故选B。
答案：B
7．(2022·江苏海安模拟)我国预计2022年发射首颗北极航道监测SAR卫星，该卫星将运行在经过地球两极的圆轨道上，已知卫星的环绕速度为v，绕行周期是T，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．该卫星可能是地球同步静止卫星
B．该卫星绕行速度可以大于第一宇宙速度
C．由该卫星运行数据v、T可求出地球的质量
D．由于稀薄空气影响，运行一段时间后，卫星会远离地球
解析：同步卫星的轨道所在平面一定为赤道平面，所以不会经过地球两极，故A错误；第一宇宙速度为环绕地球做圆周运动的最大速度，所以卫星绕行速度不可能大于第一宇宙速度，故B错误；卫星的轨道半径r＝根据万有引力提供向心力G＝m联立可得地球的质量M＝，故C正确；由于稀薄空气影响，运行一段时间后，卫星速度减小，则万有引力大于所需向心力，卫星做近心运动，会靠近地球，故D错误。
答案：C
8．(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的天问一号探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则天问一号的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
解析：设火星的质量为M，半径为R，自由落体的加速度为g火，则有＝mg火，设其近地卫星做圆周运动的周期为T，则有＝mR，设探测器所在椭圆形停泊轨道的半长轴为a，根据开普勒第三定律得＝，联立上述方程并代入数据解得a≈×107 m，可得停泊轨道与火星表面的最远距离约为2a－2.8×105 m－2×3.4×106 m≈6×
107 m，故选项C正确，A、B、D错误。
答案：C
【B级——能力提升】
9．(2022·湖南怀化高三检测)卫星绕某行星做匀速圆周运动的速率的平方(v2)与卫星的轨道半径的倒数()的关系图像如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，引力常量为G，则下列说法错误的是( )
A．行星的半径为kb
B．行星的质量为
C．行星的密度为
D．行星的第一宇宙速度为
解析：卫星绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G＝m，得v2＝GM·，设行星的半径为R，由题图知，当r＝R时，v2＝b，GM＝k，解得R＝，故A错误；由上知，GM＝k，得行星的质量为M＝，故B正确；行星的体积V＝πR3，密度ρ＝＝，故C正确；卫星在行星表面做匀速圆周运动时，运行速度为第一宇宙速度，G＝m，解得第一宇宙速度v＝＝，故D正确。
答案：A
10．2020年11月24日，长征五号运载火箭搭载嫦娥五号探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，嫦娥五号进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤着陆地球。假设嫦娥五号环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处绕月球做匀速圆周运动(不计周围其他天体的影响)，测出飞行周期为T，已知引力常量G和月球半径R，则下列说法错误的是( )
A．嫦娥五号绕月球飞行的线速度为
B．月球的质量为
C．月球的第一宇宙速为
D．月球表面的重力加速度为
解析：嫦娥五号绕月球飞行的轨道半径为R＋h，所以飞行的线速度为v＝，故A正确；嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m()2(R＋h)，解得月球的质量为M＝，故B错误；月球第一宇宙速度为绕月球表面运行的卫星的速度，由牛顿第二定律得G＝m，解得月球的第一宇宙速度为v＝＝，故C正确；在月球表面，重力等于万有引力，mg月＝G，月球表面的重力加速度为g月＝，故D正确。
答案：B
11．(2022·湖南长沙十五校联考)2021年2月5日，我国首个火星探测器天问一号传回了火星的照片，如图所示。多年以后，小明作为一位火星移民，于太阳光直射火星赤道的某天晚上，在火星赤道上某处仰望天空。某时，他在西边的地平线附近恰能看到一颗人造火星卫星出现，之后极快地变暗而看不到了，他记下此时正是火星上日落后约4小时5分。后来小明得知这是我国火星基地发射的一颗绕火星自西向东运动的周期为T的探测卫星，查阅资料得知火星自西向东自转且周期约为24小时30分，已知引力常量为G。根据以上信息，分析可得火星密度的表达式为( )
A． B．
C． D．
解析：火星自转周期为24小时30分，日落后4小时5分小明恰好看到卫星的反射光，则此时火星相对日落时转过60°角，如图所示，由图知＝cos 30°，根据万有引力提供向心力G＝m()2r，火星的密度为ρ＝，解得ρ＝，故选C。
答案：C
12．北京时间2020年12月2日4时53分，探月工程嫦娥五号的着陆器和上升器组合体完成了月壤采样及封装。封装结束后上升器的总质量为m，它将从着陆器上发射，离开月面。已知月球质量为M，表面重力加速度为g，引力常量为G，忽略月球的自转。
(1)求月球的半径R；
(2)月球表面没有大气层，上升器从着陆器上发射时，通过推进剂燃烧产生高温高压气体，从尾部向下喷出而获得动力，如图所示，已知喷口横截面积为S，喷出气体的密度为ρ，若发射之初上升器加速度大小为a，方向竖直向上，不考虑上升器由于喷气带来的质量变化，求喷出气体的速度大小v；
(3)不计其他作用力时，上升器绕月飞行可认为是上升器与月球在彼此的万有引力作用下绕二者连线上的某一点O做匀速圆周运动，若认为在O点有一静止的“等效月球”替代月球对上升器的作用，上升器绕“等效月球”做匀速圆周运动，周期不变，求“等效月球”的质量M′。
解析：(1)质量为m′的物体放在月球表面，由牛顿第二定律得G＝m′g
得R＝。
(2)设喷出气体对上升器的力为F，上升器对喷出气体的力为F′，取向上为正，对上升器，有
F－mg＝ma
设在Δt时间内喷射出气体的质量为Δm，由动量定理得
－F′Δt＝－Δmv
Δm＝ρSvΔt
由牛顿第三定律有 F＝F′
综上得v＝。
(3)设上升器的角速度为ω，上升器与O点距离为r1，月球与O点距离为r2，上升器与月球间距离为r。
由牛顿第二定律得G＝mω2r1
G＝Mω2r2
又r1＋r2＝r，G＝mω2r1
解得M′＝。
答案：(1) (2) (3)
