2022-2023学年潮州市重点学校九年级（下）期中
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各数最大的是（ ）
A．π B．﹣3 C． D．﹣（﹣3）
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．（﹣2）3＝﹣6 C． D．
3．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．正方形 D．圆形
4．如图，AB∥CD，∠BAD＝40°，则∠CAD＝（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
5．如图，在△ABC中，点D，E，BC，AC的中点，在图中能画出多少个平行四边形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A（﹣1，4）（1，2），则点B（2，1）的对应点D的坐标为（ ）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
7．袋中有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，连接OH，下列结论错误的是（ ）
A．AC OH＝AB DH B．△AEH≌△DEC
C．OB2+OC2＝AD2 D．∠DAO＝∠ODE
9．设α，β是关于x的方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2+2α+β＝（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
10．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的三等分点，连接PC，PD设BP＝x，PC其中一条线段的长为y．运动过程中y与x函数关系的图象如图②所示，则AD长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．一个计算机程序对输入的数x，先平方，然后开方，最后输出y．若输入的x的值为，则输出y的值为 ．
12．关于x，y的方程组的解为 ．
13．如图，△ABC内接于半径为4的圆O，点C是弧AB的中点，则点C到弦AB的距离为 ．
14．如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm ．
15．如图，正方形的边长为2，分别以A，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解全校400名学生课外阅读情况，过程如下：
①数据收集（单位：min）
30 60 81 50 44 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
②整理数据
课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
③分析数据
平均数 中位数 众数
80 c 81
④得出结论
（1）表格中的数据：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）该校学生课外阅读时间等级为“B”的学生有 人；
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书．
17．（8分）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点D作DC∥BA，若CD＝8，求△BDE的面积．
18．（8分）先化简：÷（） ，然后从的解集中选择一个合适的整数a代入求值．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．（9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m）（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求△AOB的面积．
20．（9分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．
（1）求现在平均每天生产多少台机器？
（2）现在每台机器的成本为600元，售价为900元，每天生产的机器全部售完．工厂决定调整价格，每台机器涨价50元，每天少卖出20台
21．（9分）如图，正方形ABCD的边长为6，根据图中的作图痕迹，请连接CG并求CG的长．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分
22．（12分）如图，BD是等边三角形ABD与三角形DBC的公共边，且BD＝4
（1）连接AC，请探究AC，BC；
（2）点E是等边三角形ABD内部一点，且满足∠DEB＝150°，求线段AE的最小值．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若m＝n，求t；
（2）若t＝2，写出m，n，c的大小关系；
（3）设点E（x0，m），（x0≠﹣1）在抛物线上，若c＜m＜n，求t的取值范围及x0的取值范围．
答案解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各数最大的是（ ）
A．π B．﹣3 C． D．﹣（﹣3）
【分析】首先求出﹣（﹣3）的值，然后比较出π与的大小关系，根据实数大小比较的方法，判断出所给的各数中最大的是哪个即可．
【解答】解：﹣（﹣3）＝3，
∵π＞3，＜＝2，
∴π＞，
∴π＞3＞＞﹣3，
∴所给的各数最大的是π．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．（﹣2）3＝﹣6 C． D．
【分析】分别根据实数运算的法则对各选项进行计算即可．
【解答】解：A、﹣3+（﹣，原计算错误；
B、（﹣2）6＝﹣8，原计算错误；
C、2﹣＝，原计算错误；
D、sin60°＝×＝，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是实数的运算及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键．
3．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．正方形 D．圆形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A等边三角形有3条对称轴，选项B菱形有2条对称轴，选项D圆有无数条对称轴，
所以对称轴最多的是选项D．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4．如图，AB∥CD，∠BAD＝40°，则∠CAD＝（ ）
A．90° B．80° C．70° D．60°
【分析】先根据平行线的性质得出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BAD＝40°，
∴∠ADC＝∠BAD＝40°，
∴∠CAD＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，点D，E，BC，AC的中点，在图中能画出多少个平行四边形（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线，那么DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC是平行四边形；四边形EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．
【解答】解：∵D、E、F分别是边AB，CA的中点，
∴DE、DF，
∴DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容．
6．在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A（﹣1，4）（1，2），则点B（2，1）的对应点D的坐标为（ ）
A．（4，﹣1） B．（0，3） C．（4，1） D．（﹣4，1）
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，4）的对应点C的坐标为（4，
∴平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，
∴B（2，1）的对应点D的坐标为（4．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．袋中有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球（ ）
A． B． C． D．
【分析】由袋中装有除颜色外完全相同的a个白球，b个红球，c个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意，任意摸出一个球是白球的概率是．
故选：B．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，连接OH，下列结论错误的是（ ）
A．AC OH＝AB DH B．△AEH≌△DEC
C．OB2+OC2＝AD2 D．∠DAO＝∠ODE
【分析】根据菱形的性质和勾股定理逐一进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD，
∵DH⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB DH，
∴AC BD＝AB DH，
∵∠DHB＝90°，OB＝OD，
∴OH＝BD，
∴BD＝2OH，
∴AC 2OH＝AB DH，
∴AC OH＝AB DH，故A正确；
根据题意不能得到△AEH≌△DEC，故B错误；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，
∴OB2+OC3＝BC2＝AD2，故C正确；
∵∠AOD＝∠DHB＝90°
∴∠DAO+∠ADO＝∠ODE+∠OBA＝90°，
∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠DAO＝∠ODE，故D正确；
综上所述：结论错误的是B，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
9．设α，β是关于x的方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则α2+2α+β＝（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【分析】把所求代数式化成α2+α+α+β，再利用方程根的定义及根与系数的关系可求得答案．
【解答】解：∵α，β是关于x的方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴α2+α﹣2023＝0，α+β＝﹣1，
∴α7+α＝2023，
∴α2+2α+β＝α6+α+α+β＝2023﹣1＝2022，
故选：B．
【点评】本题主要考查方程根的定义及根与系数的关系，把所求代数式化为α2+α+α+β是解题的关键．
10．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的三等分点，连接PC，PD设BP＝x，PC其中一条线段的长为y．运动过程中y与x函数关系的图象如图②所示，则AD长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由图②图象变化情况判断PD为y，当PD⊥AB时，y最小，长为，如图①，连接AD，利用三角函数求出BP，再求出等边三角形边长，再根据勾股即可求出AD．
【解答】解：由图②图象变化情况判断PD为y，当PD⊥AB时，长为，
如图①，连接AD，
∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴BP＝＝1，
∴BD＝2，
∵点D是BC边的三等分点，
∴CD＝1，
∴BC＝AB＝3，
∴AP＝4，
∴AD＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，等边三角形的性质及三角函数的计算是解题关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．一个计算机程序对输入的数x，先平方，然后开方，最后输出y．若输入的x的值为，则输出y的值为 ．
【分析】根据计算机的输入程序，列出算式进行计算．
【解答】解：由题意得：
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了实数的有关计算，解题关键是根据已知条件，列出算式．
12．关于x，y的方程组的解为 ．
【分析】把①减②，消去y，求出x，再把x的值代入②得y值即可．
【解答】解：
①﹣②得：
，
，
x＝﹣1
把x＝﹣1代入②得：
，
∴方程组的解为：
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组和二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
13．如图，△ABC内接于半径为4的圆O，点C是弧AB的中点，则点C到弦AB的距离为 4﹣2 ．
【分析】连接OC，交AB于点D，连接OA，根据垂径定理可得OC⊥AB，＝，从而可得AC＝BC，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠CAB＝∠B＝22.5°，从而可得∠AOC＝45°，最后在Rt△AOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：连接OC，交AB于点D，
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，＝，
∴AC＝BC，
∵∠ACB＝135°，
∴∠CAB＝∠B＝＝22.5°，
∴∠AOC＝8∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，OA＝4，
∴OD＝OA cos45°＝4×＝2，
∵OC＝4，
∴CD＝OC﹣OD＝4﹣3，
∴点C到弦AB的距离为4﹣7，
故答案为：4﹣5．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm 5≤h≤6 ．
【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝18﹣12＝6（cm）．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图，此时＝＝13（cm），
则h＝18﹣13＝5（cm）．
∴h的取值范围是5≤h≤6．
故答案为：4≤h≤6．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
15．如图，正方形的边长为2，分别以A，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
【分析】连接AP，DP，过点A作AE⊥PD，通过证明△APD为等边三角形，从而利用割补法求得空白部分的面积，再用正方形的面积减去空白部分的面积即可．
【解答】解：连接AP，DP，
由题意可得AP＝AD＝PD＝2，
∴△APD为等边三角形，
∴∠PAD＝∠ADP＝60°，
∵BE⊥PD，
∴DE＝PC＝1，
∴AE＝CE＝，
∴弓形PD的面积为﹣×2×＝，
∴空白部分的面积为2[﹣2（）﹣]＝2（π﹣﹣）＝2（﹣+﹣，
∴阴影部分的面积为4﹣（2﹣）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形的性质的性质和判定，扇形的面积计算，解直角三角形等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．（8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解全校400名学生课外阅读情况，过程如下：
①数据收集（单位：min）
30 60 81 50 44 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
②整理数据
课外阅读时间x（min） 0≤x＜40 40≤x＜80 80≤x＜120 120≤x＜160
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
③分析数据
平均数 中位数 众数
80 c 81
④得出结论
（1）表格中的数据：a＝ 5 ，b＝ 4 ，c＝ 80.5 ；
（2）该校学生课外阅读时间等级为“B”的学生有 160 人；
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书．
【分析】（1）根据给出的数据可得出a，b的值，再根据中位数的定义即可得出c的值；
（2）利用样本估计总体思想求解可得估计等级为“B”的学生人数；
（3）用阅读书籍的平均时间乘以一年的周数，再除以阅读每本书所需时间即可得．
【解答】解：（1）根据表中给出的数据可得：a＝5，b＝4，
把这些数从小到大排列，中位数是第10，
则c＝（80+81）÷4＝80.5．
故答案为：5，8，80.5；
（2）400×＝160（人）．
故该校学生课外阅读时间等级为“B”的学生有160人．
故答案为：160；
（3）根据题意得：80×52÷320＝13（本）．
答：估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读13本课外书．
【点评】本题考查平均数、众数、中位数的意义和计算方法，样本估计总体是统计中常用的方法．
17．（8分）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点D作DC∥BA，若CD＝8，求△BDE的面积．
【分析】由等腰直角三角形的性质得出BE＝DE，∠BED＝90°，证明△AEB≌△CDE（AAS），由全等三角形的性质得出CD＝AE，求出CE的长，由三角形面积公式可得出答案．
【解答】解：∵△BED是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，∠BED＝90°，
∴△AEB≌△CDE∴∠AEB+∠CED＝90°，
∵BA⊥AC，
∴∠A＝90°，
∴∠AEB+ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠CED，
∵DC∥BA，
∴∠C＝∠A，
∴△AEB≌△CDE（AAS），
∴CD＝AE，
∵AC＝10，CD＝8，
∴CE＝AC﹣AE＝2，
在Rt△DCE 中，由勾股定理得：DE3＝EC2+CD2＝68，
∴S△BDE＝＝×68＝34．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明△AEB≌△CDE是解题的关键．
18．（8分）先化简：÷（） ，然后从的解集中选择一个合适的整数a代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，确定出整数a的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝
＝﹣
＝﹣，
由不等式组，解得：1≤a＜5，2，3，2，
当a＝2或a＝4时，原式没有意义；
把a＝3代入得：原式＝﹣＝1；
把a＝3代入得：原式＝﹣＝﹣6．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分
19．（9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣的图象相交于点A（﹣1，m）（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数表达式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）先利用反比例函数解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求OD的长，根据面积和可得结论．
【解答】解：（1）把A（﹣1．m），﹣1）代入y＝﹣，n＝5，
∴A（﹣1，4），﹣1），
把A（﹣1，2），﹣1）代入y＝kx+b得
，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）x＝0时，y＝5，
∴OD＝4，
∴△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD＝×4×1+．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，也考查了待定系数法求函数解析式．
20．（9分）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．
（1）求现在平均每天生产多少台机器？
（2）现在每台机器的成本为600元，售价为900元，每天生产的机器全部售完．工厂决定调整价格，每台机器涨价50元，每天少卖出20台
【分析】（1）设现在平均每天生产x台机器．，则原计划每天生产（x﹣50）台机器，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出结论；
（2）根据题意可得到函数关系式，并得到x的取值范围．再利用二次函数的最值求法，进而可得到定价以及最大利润．
【解答】解：（1）设现在平均每天生产x台机器．
根据题意得：＝，
解得x＝200．
经检验，x＝200是分式方程的解且符合题意．
答：现在平均每天生产200台机器．
（2）设每台机器涨价a元，每日的利润为w元．
根据题意得w＝（900+a﹣600）（200﹣），
整理得w＝﹣（a﹣100）4+64000，
因此，当 a＝100 时．
900+100＝1000（元），
答：现在每台机器定价为1000元时，工厂每天获得的利润最大．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，根据已知每件商品的利润＝售价﹣进价，得出总利润函数关系式是解题关键．
21．（9分）如图，正方形ABCD的边长为6，根据图中的作图痕迹，请连接CG并求CG的长．
【分析】如图，过G点作GM⊥AD于M点，GM交BC于N点，由作图痕迹得BE平分∠ABF，EG⊥BF，根据角平分线的性质得到EG＝AE＝2，再证明Rt△BAE≌Rt△BGE得到BG＝BA＝6，接着证明Rt△EGM∽Rt△GBN得到＝＝，设EM＝x，则BN＝AM＝2+x，则＝＝＝，所以GN＝3x，MG＝（x+2），则利用MG+GN＝MN得到（x+2）+3x＝6，解方程可得到BN＝，GN＝，然后利用勾股定理计算CG的长．
【解答】解：如图，过G点作GM⊥AD于M点，
由作图痕迹得BE平分∠ABF，EG⊥BF，
∴EG＝AE＝2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝6，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△BAE和Rt△BGE中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△BGE（HL），
∴BG＝BA＝3，
∵∠A＝∠ABN＝∠AMN＝90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴MN＝AB＝6，BN＝AM，
∵∠EGM+∠BGN＝90°，∠BGN+∠GBN＝90°，
∴∠EGM＝∠GBN，
∴Rt△EGM∽Rt△GBN，
∴＝＝，
设EM＝x，则BN＝AM＝2+x，
∴＝＝＝，
∴GN＝3x，MG＝，
∵MG+GN＝MN，
∴（x+2）+3x＝8，
解得x＝，
∴BN＝5+x＝，GN＝，
∴CN＝4﹣＝
在Rt△GNC中，CG＝＝＝，
即CG的长为．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分
22．（12分）如图，BD是等边三角形ABD与三角形DBC的公共边，且BD＝4
（1）连接AC，请探究AC，BC；
（2）点E是等边三角形ABD内部一点，且满足∠DEB＝150°，求线段AE的最小值．
【分析】（1）通过构造三角形全等，将要解决的问题转化到特殊的三角形中取分析即可得解．
（2）依据题意可得，点D，E，B，C四点共圆，分析出A、E、O在一直线上时可得AE的最小值．
【解答】解：（1）数量关系为：AC2＝BC2+DC3．
理由：以BC为边作等边△BCE，连接AC，如图所示，
∵△ABD与△BEC 是等边三角形，
∴AB＝BD，BC＝BE．
∴∠ABC＝∠DBE．
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴AC＝DE．
∵∠BCE＝60°，∠BCD＝30°，
∴∠DCE＝90°．
在直角三角形BCE中，由勾股定理得 DE2＝DC2+CE4．
∵AC＝DE，BC＝CE，
∴AC2＝BC2+DC6．
（2）∵∠DEB＝150°，∠C＝30°，
∴∠DEB+∠C＝180°．
∴点D，E，B，C四点共圆．
以点O为圆心作△BCD的外接圆，连接DO、AO，交BD于点F如图所示，
∵∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°．
∵DO＝BO，
∴△DOB是等边三角形．
∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝DO＝OB＝BA．
∴四边形ABOD是菱形．
∴AO与BD互相直分，AO平分∠DAB．
在直角三角形ADF中，∠DAF＝30°，
∴DF＝2，．
∴．
∴OE＝4．
∴AE＝AO﹣OE＝．
∴线段AE的最小值为．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点与圆的位置关系等知识点，解题时需要熟练掌握并灵活运用．
23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，m），B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若m＝n，求t；
（2）若t＝2，写出m，n，c的大小关系；
（3）设点E（x0，m），（x0≠﹣1）在抛物线上，若c＜m＜n，求t的取值范围及x0的取值范围．
【分析】（1）由题意，根据m＝n得出A、B两点关于对称轴对称，再由中点坐标公式可得解．
（2）依据抛物线的对称性，把三点A、C、B的对称点放在对称轴的同侧，再利用函数的增减性即可得解．
（3）由题意得，将A、B两点代入解析式，进而结合c＜m＜n，即可求出t的取值范围，又根据A、E关于对称轴对称，借助t的范围即可求出x0的范围．
【解答】解：（1）∵m＝n，
∴点A（﹣1，m）与点B（3．
∴t＝＝3．
即t＝1．
（2）由题意，作图，
∴n＜c＜m．
（3）由题意，由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞5）的对称轴为x＝t，得x＝﹣，
∴b＝﹣2at．
∴y＝ax7﹣2atx+c．
∵A（﹣1，m），n），
∴．
∵m＜n，
∴m﹣n＜7．
∴﹣8a+8at＜3．
∴8at＜8a．
∵a＞6，
∴t＜1．
∵c＜m，
∴m﹣c＞0．
∴a+6at＞0．
∵a＞0，
∴t＞﹣．
∴﹣＜t＜1．
∵点E（x0，m）与A（﹣5，m）是对称点，
∴＝t．
∴．
∴0＜x0＜6．
综上可得，﹣＜t＜70＜3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解．
