2022-2023广东省潮州市重点学校九年级(下)期中数学试卷(含解析)

2022-2023学年潮州市重点学校九年级(下)期中
数学试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各数最大的是(  )
A.π B.﹣3 C. D.﹣(﹣3)
2.下列运算正确的是(  )
A. B.(﹣2)3=﹣6 C. D.
3.下列轴对称图形中,对称轴最多的是(  )
A.等边三角形 B.菱形 C.正方形 D.圆形
4.如图,AB∥CD,∠BAD=40°,则∠CAD=(  )
A.90° B.80° C.70° D.60°
5.如图,在△ABC中,点D,E,BC,AC的中点,在图中能画出多少个平行四边形(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.在平面直角坐标系中,线段AB平移得到线段CD,点A(﹣1,4)(1,2),则点B(2,1)的对应点D的坐标为(  )
A.(4,﹣1) B.(0,3) C.(4,1) D.(﹣4,1)
7.袋中有除颜色外完全相同的a个白球,b个红球,c个黄球(  )
A. B. C. D.
8.如图,四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点O,连接OH,下列结论错误的是(  )
A.AC OH=AB DH B.△AEH≌△DEC
C.OB2+OC2=AD2 D.∠DAO=∠ODE
9.设α,β是关于x的方程x2+x﹣2023=0的两个实数根,则α2+2α+β=(  )
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
10.如图,在等边△ABC中,点D是BC边的三等分点,连接PC,PD设BP=x,PC其中一条线段的长为y.运动过程中y与x函数关系的图象如图②所示,则AD长为(  )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.一个计算机程序对输入的数x,先平方,然后开方,最后输出y.若输入的x的值为,则输出y的值为    .
12.关于x,y的方程组的解为    .
13.如图,△ABC内接于半径为4的圆O,点C是弧AB的中点,则点C到弦AB的距离为    .
14.如图,一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的长度hcm   .
15.如图,正方形的边长为2,分别以A,以正方形的边长为半径的圆相交于点P,那么图中阴影部分的面积为    .
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题8分,共24分.
16.(8分)4月23日是世界读书日,习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,鼓励师生利用课余时间广泛阅读,该校文学社为了解全校400名学生课外阅读情况,过程如下:
①数据收集(单位:min)
30 60 81 50 44 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
②整理数据
课外阅读时间x(min) 0≤x<40 40≤x<80 80≤x<120 120≤x<160
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
③分析数据
平均数 中位数 众数
80 c 81
④得出结论
(1)表格中的数据:a=   ,b=   ,c=   ;
(2)该校学生课外阅读时间等级为“B”的学生有    人;
(3)假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟,估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书.
17.(8分)如图,△BED是等腰直角三角形,AC经过点E,过点D作DC∥BA,若CD=8,求△BDE的面积.
18.(8分)先化简:÷() ,然后从的解集中选择一个合适的整数a代入求值.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分
19.(9分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象相交于点A(﹣1,m)(n,﹣1)两点.
(1)求一次函数表达式;
(2)求△AOB的面积.
20.(9分)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.
(1)求现在平均每天生产多少台机器?
(2)现在每台机器的成本为600元,售价为900元,每天生产的机器全部售完.工厂决定调整价格,每台机器涨价50元,每天少卖出20台
21.(9分)如图,正方形ABCD的边长为6,根据图中的作图痕迹,请连接CG并求CG的长.
五、解答题(三):本大题共2小题,每小题12分,共24分
22.(12分)如图,BD是等边三角形ABD与三角形DBC的公共边,且BD=4
(1)连接AC,请探究AC,BC;
(2)点E是等边三角形ABD内部一点,且满足∠DEB=150°,求线段AE的最小值.
23.(12分)在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣1,m),B(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,设抛物线的对称轴为x=t.
(1)若m=n,求t;
(2)若t=2,写出m,n,c的大小关系;
(3)设点E(x0,m),(x0≠﹣1)在抛物线上,若c<m<n,求t的取值范围及x0的取值范围.
答案解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列各数最大的是(  )
A.π B.﹣3 C. D.﹣(﹣3)
【分析】首先求出﹣(﹣3)的值,然后比较出π与的大小关系,根据实数大小比较的方法,判断出所给的各数中最大的是哪个即可.
【解答】解:﹣(﹣3)=3,
∵π>3,<=2,
∴π>,
∴π>3>>﹣3,
∴所给的各数最大的是π.
故选:A.
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
2.下列运算正确的是(  )
A. B.(﹣2)3=﹣6 C. D.
【分析】分别根据实数运算的法则对各选项进行计算即可.
【解答】解:A、﹣3+(﹣,原计算错误;
B、(﹣2)6=﹣8,原计算错误;
C、2﹣=,原计算错误;
D、sin60°=×=,符合题意.
故选:D.
【点评】本题考查的是实数的运算及特殊角的三角函数值,熟知以上知识是解题的关键.
3.下列轴对称图形中,对称轴最多的是(  )
A.等边三角形 B.菱形 C.正方形 D.圆形
【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
【解答】解:选项A等边三角形有3条对称轴,选项B菱形有2条对称轴,选项D圆有无数条对称轴,
所以对称轴最多的是选项D.
故选:D.
【点评】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
4.如图,AB∥CD,∠BAD=40°,则∠CAD=(  )
A.90° B.80° C.70° D.60°
【分析】先根据平行线的性质得出∠ADC的度数,再由三角形内角和定理即可得出结论.
【解答】解:∵AB∥CD,∠BAD=40°,
∴∠ADC=∠BAD=40°,
∴∠CAD=180°﹣40°﹣60°=80°.
故选:B.
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理,熟知两直线平行,内错角相等是解题的关键.
5.如图,在△ABC中,点D,E,BC,AC的中点,在图中能画出多少个平行四边形(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】由于D、E、F分别是边AB,BC,CA的中点,易知DE、DF、EF都是△ABC的中位线,那么DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB,根据平行四边形的定义,两两结合易证四边形EDFC是平行四边形;四边形EBDF是平行四边形;四边形ADEF是平行四边形.
【解答】解:∵D、E、F分别是边AB,CA的中点,
∴DE、DF,
∴DE∥AC,DF∥BC,
∴四边形EDFC是平行四边形,四边形EBDF是平行四边形.
故选:C.
【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理,解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的内容.
6.在平面直角坐标系中,线段AB平移得到线段CD,点A(﹣1,4)(1,2),则点B(2,1)的对应点D的坐标为(  )
A.(4,﹣1) B.(0,3) C.(4,1) D.(﹣4,1)
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律,再根据平移规律解答即可.
【解答】解:∵点A(﹣1,4)的对应点C的坐标为(4,
∴平移规律为向右平移2个单位,向下平移2个单位,
∴B(2,1)的对应点D的坐标为(4.
故选:A.
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
7.袋中有除颜色外完全相同的a个白球,b个红球,c个黄球(  )
A. B. C. D.
【分析】由袋中装有除颜色外完全相同的a个白球,b个红球,c个黄球,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:根据题意,任意摸出一个球是白球的概率是.
故选:B.
【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
8.如图,四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点O,连接OH,下列结论错误的是(  )
A.AC OH=AB DH B.△AEH≌△DEC
C.OB2+OC2=AD2 D.∠DAO=∠ODE
【分析】根据菱形的性质和勾股定理逐一进行判断即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴菱形ABCD的面积=AC BD,
∵DH⊥AB,
∴菱形ABCD的面积=AB DH,
∴AC BD=AB DH,
∵∠DHB=90°,OB=OD,
∴OH=BD,
∴BD=2OH,
∴AC 2OH=AB DH,
∴AC OH=AB DH,故A正确;
根据题意不能得到△AEH≌△DEC,故B错误;
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=BC,AC⊥BD,
∴OB2+OC3=BC2=AD2,故C正确;
∵∠AOD=∠DHB=90°
∴∠DAO+∠ADO=∠ODE+∠OBA=90°,
∵AD=AB,
∴∠ADB=∠ABD,
∴∠DAO=∠ODE,故D正确;
综上所述:结论错误的是B,
故选:B.
【点评】本题考查了菱形的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理,全等三角形的判定,解决本题的关键是掌握菱形的性质.
9.设α,β是关于x的方程x2+x﹣2023=0的两个实数根,则α2+2α+β=(  )
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
【分析】把所求代数式化成α2+α+α+β,再利用方程根的定义及根与系数的关系可求得答案.
【解答】解:∵α,β是关于x的方程x2+x﹣2023=0的两个实数根,
∴α2+α﹣2023=0,α+β=﹣1,
∴α7+α=2023,
∴α2+2α+β=α6+α+α+β=2023﹣1=2022,
故选:B.
【点评】本题主要考查方程根的定义及根与系数的关系,把所求代数式化为α2+α+α+β是解题的关键.
10.如图,在等边△ABC中,点D是BC边的三等分点,连接PC,PD设BP=x,PC其中一条线段的长为y.运动过程中y与x函数关系的图象如图②所示,则AD长为(  )
A. B. C. D.
【分析】由图②图象变化情况判断PD为y,当PD⊥AB时,y最小,长为,如图①,连接AD,利用三角函数求出BP,再求出等边三角形边长,再根据勾股即可求出AD.
【解答】解:由图②图象变化情况判断PD为y,当PD⊥AB时,长为,
如图①,连接AD,
∵三角形ABC为等边三角形,
∴∠B=60°,
∴BP==1,
∴BD=2,
∵点D是BC边的三等分点,
∴CD=1,
∴BC=AB=3,
∴AP=4,
∴AD==.
故选:C.
【点评】本题考查了动点问题的函数图象,等边三角形的性质及三角函数的计算是解题关键.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11.一个计算机程序对输入的数x,先平方,然后开方,最后输出y.若输入的x的值为,则输出y的值为   .
【分析】根据计算机的输入程序,列出算式进行计算.
【解答】解:由题意得:

故答案为:.
【点评】本题主要考查了实数的有关计算,解题关键是根据已知条件,列出算式.
12.关于x,y的方程组的解为   .
【分析】把①减②,消去y,求出x,再把x的值代入②得y值即可.
【解答】解:
①﹣②得:


x=﹣1
把x=﹣1代入②得:

∴方程组的解为:
故答案为:

【点评】本题主要考查了二元一次方程组和二次根式的混合运算,解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法.
13.如图,△ABC内接于半径为4的圆O,点C是弧AB的中点,则点C到弦AB的距离为  4﹣2 .
【分析】连接OC,交AB于点D,连接OA,根据垂径定理可得OC⊥AB,=,从而可得AC=BC,然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠CAB=∠B=22.5°,从而可得∠AOC=45°,最后在Rt△AOD中,利用锐角三角函数的定义求出OD的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.
【解答】解:连接OC,交AB于点D,
∵点C是弧AB的中点,
∴OC⊥AB,=,
∴AC=BC,
∵∠ACB=135°,
∴∠CAB=∠B==22.5°,
∴∠AOC=8∠ABC=45°,
在Rt△AOD中,OA=4,
∴OD=OA cos45°=4×=2,
∵OC=4,
∴CD=OC﹣OD=4﹣3,
∴点C到弦AB的距离为4﹣7,
故答案为:4﹣5.
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
14.如图,一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中,牙刷露在杯子外面的长度hcm 5≤h≤6 .
【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围,即可得出答案.
【解答】解:当牙刷与杯底垂直时h最大,h最大=18﹣12=6(cm).
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小,
如图,此时==13(cm),
则h=18﹣13=5(cm).
∴h的取值范围是5≤h≤6.
故答案为:4≤h≤6.
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键.
15.如图,正方形的边长为2,分别以A,以正方形的边长为半径的圆相交于点P,那么图中阴影部分的面积为   .
【分析】连接AP,DP,过点A作AE⊥PD,通过证明△APD为等边三角形,从而利用割补法求得空白部分的面积,再用正方形的面积减去空白部分的面积即可.
【解答】解:连接AP,DP,
由题意可得AP=AD=PD=2,
∴△APD为等边三角形,
∴∠PAD=∠ADP=60°,
∵BE⊥PD,
∴DE=PC=1,
∴AE=CE=,
∴弓形PD的面积为﹣×2×=,
∴空白部分的面积为2[﹣2()﹣]=2(π﹣﹣)=2(﹣+﹣,
∴阴影部分的面积为4﹣(2﹣)=.
故答案为:.
【点评】本题考查了等边三角形的性质的性质和判定,扇形的面积计算,解直角三角形等知识点,能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键.
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题8分,共24分.
16.(8分)4月23日是世界读书日,习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,鼓励师生利用课余时间广泛阅读,该校文学社为了解全校400名学生课外阅读情况,过程如下:
①数据收集(单位:min)
30 60 81 50 44 110 130 146 80 100
60 80 120 140 75 81 10 30 81 92
②整理数据
课外阅读时间x(min) 0≤x<40 40≤x<80 80≤x<120 120≤x<160
等级 D C B A
人数 3 a 8 b
③分析数据
平均数 中位数 众数
80 c 81
④得出结论
(1)表格中的数据:a= 5 ,b= 4 ,c= 80.5 ;
(2)该校学生课外阅读时间等级为“B”的学生有  160 人;
(3)假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟,估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书.
【分析】(1)根据给出的数据可得出a,b的值,再根据中位数的定义即可得出c的值;
(2)利用样本估计总体思想求解可得估计等级为“B”的学生人数;
(3)用阅读书籍的平均时间乘以一年的周数,再除以阅读每本书所需时间即可得.
【解答】解:(1)根据表中给出的数据可得:a=5,b=4,
把这些数从小到大排列,中位数是第10,
则c=(80+81)÷4=80.5.
故答案为:5,8,80.5;
(2)400×=160(人).
故该校学生课外阅读时间等级为“B”的学生有160人.
故答案为:160;
(3)根据题意得:80×52÷320=13(本).
答:估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读13本课外书.
【点评】本题考查平均数、众数、中位数的意义和计算方法,样本估计总体是统计中常用的方法.
17.(8分)如图,△BED是等腰直角三角形,AC经过点E,过点D作DC∥BA,若CD=8,求△BDE的面积.
【分析】由等腰直角三角形的性质得出BE=DE,∠BED=90°,证明△AEB≌△CDE(AAS),由全等三角形的性质得出CD=AE,求出CE的长,由三角形面积公式可得出答案.
【解答】解:∵△BED是等腰直角三角形,
∴BE=DE,∠BED=90°,
∴△AEB≌△CDE∴∠AEB+∠CED=90°,
∵BA⊥AC,
∴∠A=90°,
∴∠AEB+ABE=90°,
∴∠ABE=∠CED,
∵DC∥BA,
∴∠C=∠A,
∴△AEB≌△CDE(AAS),
∴CD=AE,
∵AC=10,CD=8,
∴CE=AC﹣AE=2,
在Rt△DCE 中,由勾股定理得:DE3=EC2+CD2=68,
∴S△BDE==×68=34.
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,证明△AEB≌△CDE是解题的关键.
18.(8分)先化简:÷() ,然后从的解集中选择一个合适的整数a代入求值.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,求出不等式组的解集,确定出整数a的值,代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=÷

=﹣
=﹣,
由不等式组,解得:1≤a<5,2,3,2,
当a=2或a=4时,原式没有意义;
把a=3代入得:原式=﹣=1;
把a=3代入得:原式=﹣=﹣6.
【点评】此题考查了分式的化简求值,以及解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分
19.(9分)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣的图象相交于点A(﹣1,m)(n,﹣1)两点.
(1)求一次函数表达式;
(2)求△AOB的面积.
【分析】(1)先利用反比例函数解析式确定A点和B点坐标,然后利用待定系数法求一次函数解析式;
(2)先求OD的长,根据面积和可得结论.
【解答】解:(1)把A(﹣1.m),﹣1)代入y=﹣,n=5,
∴A(﹣1,4),﹣1),
把A(﹣1,2),﹣1)代入y=kx+b得
,解得,
∴一次函数解析式为y=﹣x+4;
(2)x=0时,y=5,
∴OD=4,
∴△AOB的面积=S△AOD+S△BOD=×4×1+.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,也考查了待定系数法求函数解析式.
20.(9分)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.
(1)求现在平均每天生产多少台机器?
(2)现在每台机器的成本为600元,售价为900元,每天生产的机器全部售完.工厂决定调整价格,每台机器涨价50元,每天少卖出20台
【分析】(1)设现在平均每天生产x台机器.,则原计划每天生产(x﹣50)台机器,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同,即可得出关于x的分式方程,经检验后即可得出结论;
(2)根据题意可得到函数关系式,并得到x的取值范围.再利用二次函数的最值求法,进而可得到定价以及最大利润.
【解答】解:(1)设现在平均每天生产x台机器.
根据题意得:=,
解得x=200.
经检验,x=200是分式方程的解且符合题意.
答:现在平均每天生产200台机器.
(2)设每台机器涨价a元,每日的利润为w元.
根据题意得w=(900+a﹣600)(200﹣),
整理得w=﹣(a﹣100)4+64000,
因此,当 a=100 时.
900+100=1000(元),
答:现在每台机器定价为1000元时,工厂每天获得的利润最大.
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法,根据已知每件商品的利润=售价﹣进价,得出总利润函数关系式是解题关键.
21.(9分)如图,正方形ABCD的边长为6,根据图中的作图痕迹,请连接CG并求CG的长.
【分析】如图,过G点作GM⊥AD于M点,GM交BC于N点,由作图痕迹得BE平分∠ABF,EG⊥BF,根据角平分线的性质得到EG=AE=2,再证明Rt△BAE≌Rt△BGE得到BG=BA=6,接着证明Rt△EGM∽Rt△GBN得到==,设EM=x,则BN=AM=2+x,则===,所以GN=3x,MG=(x+2),则利用MG+GN=MN得到(x+2)+3x=6,解方程可得到BN=,GN=,然后利用勾股定理计算CG的长.
【解答】解:如图,过G点作GM⊥AD于M点,
由作图痕迹得BE平分∠ABF,EG⊥BF,
∴EG=AE=2,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=6,∠A=∠ABC=90°,
在Rt△BAE和Rt△BGE中,

∴Rt△BAE≌Rt△BGE(HL),
∴BG=BA=3,
∵∠A=∠ABN=∠AMN=90°,
∴四边形ABNM为矩形,
∴MN=AB=6,BN=AM,
∵∠EGM+∠BGN=90°,∠BGN+∠GBN=90°,
∴∠EGM=∠GBN,
∴Rt△EGM∽Rt△GBN,
∴==,
设EM=x,则BN=AM=2+x,
∴===,
∴GN=3x,MG=,
∵MG+GN=MN,
∴(x+2)+3x=8,
解得x=,
∴BN=5+x=,GN=,
∴CN=4﹣=
在Rt△GNC中,CG===,
即CG的长为.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了角平分线的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质.
五、解答题(三):本大题共2小题,每小题12分,共24分
22.(12分)如图,BD是等边三角形ABD与三角形DBC的公共边,且BD=4
(1)连接AC,请探究AC,BC;
(2)点E是等边三角形ABD内部一点,且满足∠DEB=150°,求线段AE的最小值.
【分析】(1)通过构造三角形全等,将要解决的问题转化到特殊的三角形中取分析即可得解.
(2)依据题意可得,点D,E,B,C四点共圆,分析出A、E、O在一直线上时可得AE的最小值.
【解答】解:(1)数量关系为:AC2=BC2+DC3.
理由:以BC为边作等边△BCE,连接AC,如图所示,
∵△ABD与△BEC 是等边三角形,
∴AB=BD,BC=BE.
∴∠ABC=∠DBE.
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴AC=DE.
∵∠BCE=60°,∠BCD=30°,
∴∠DCE=90°.
在直角三角形BCE中,由勾股定理得 DE2=DC2+CE4.
∵AC=DE,BC=CE,
∴AC2=BC2+DC6.
(2)∵∠DEB=150°,∠C=30°,
∴∠DEB+∠C=180°.
∴点D,E,B,C四点共圆.
以点O为圆心作△BCD的外接圆,连接DO、AO,交BD于点F如图所示,
∵∠C=30°,
∴∠DOB=60°.
∵DO=BO,
∴△DOB是等边三角形.
∵△ABD是等边三角形,
∴AD=DO=OB=BA.
∴四边形ABOD是菱形.
∴AO与BD互相直分,AO平分∠DAB.
在直角三角形ADF中,∠DAF=30°,
∴DF=2,.
∴.
∴OE=4.
∴AE=AO﹣OE=.
∴线段AE的最小值为.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、点与圆的位置关系等知识点,解题时需要熟练掌握并灵活运用.
23.(12分)在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣1,m),B(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,设抛物线的对称轴为x=t.
(1)若m=n,求t;
(2)若t=2,写出m,n,c的大小关系;
(3)设点E(x0,m),(x0≠﹣1)在抛物线上,若c<m<n,求t的取值范围及x0的取值范围.
【分析】(1)由题意,根据m=n得出A、B两点关于对称轴对称,再由中点坐标公式可得解.
(2)依据抛物线的对称性,把三点A、C、B的对称点放在对称轴的同侧,再利用函数的增减性即可得解.
(3)由题意得,将A、B两点代入解析式,进而结合c<m<n,即可求出t的取值范围,又根据A、E关于对称轴对称,借助t的范围即可求出x0的范围.
【解答】解:(1)∵m=n,
∴点A(﹣1,m)与点B(3.
∴t==3.
即t=1.
(2)由题意,作图,
∴n<c<m.
(3)由题意,由抛物线y=ax2+bx+c(a>5)的对称轴为x=t,得x=﹣,
∴b=﹣2at.
∴y=ax7﹣2atx+c.
∵A(﹣1,m),n),
∴.
∵m<n,
∴m﹣n<7.
∴﹣8a+8at<3.
∴8at<8a.
∵a>6,
∴t<1.
∵c<m,
∴m﹣c>0.
∴a+6at>0.
∵a>0,
∴t>﹣.
∴﹣<t<1.
∵点E(x0,m)与A(﹣5,m)是对称点,
∴=t.
∴.
∴0<x0<6.
综上可得,﹣<t<70<3.
【点评】本题主要考查二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,解题关键是根据数形结合求解.

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