课时分层作业(十) 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
?基础强化练?
1.[2023·广东省深圳市宝安第一外国语学校高三试题]如图所示，一小球被竖直放置的光滑挡板挡在光滑半球面上，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的支持力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况是( )
A．F1增大，F2减小B．F1增大，F2增大
C．F1减小，F2减小D．F1减小，F2增大
2.
[2023·汕头一模]如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，将小球O放在两板间．在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
A．当BP沿水平方向时，BP板受到的压力最大
B．当BP沿竖直方向时，AP板受到的压力最大
C．当BP沿竖直方向时，BP板受到的压力最小
D．当BP板与AP板垂直时，AP板受到的压力最小
3．[2023·辽宁锦州联考]如图所示，天花板下细线OC悬挂着一个光滑轻质定滑轮，小物块A置于斜面上，通过细线跨过滑轮与沙漏B连接，滑轮右侧细线与斜面平行．开始时A、B都处于静止状态，OC与竖直方向的夹角为θ，在B中沙子缓慢流出的过程中( )
A．A受到的摩擦力一定缓慢增大
B．A受到的细线拉力可能缓慢增加
C．细线OC与竖直方向的夹角θ可能增加
D．细线OC的张力一定缓慢减小
4.
如图所示，物块A静止在粗糙水平面上，其上表面为四分之一光滑圆弧．一小滑块B在水平外力F的作用下从圆弧底端缓慢向上移动一小段距离，在此过程中，A始终静止．设A对B的支持力为FN，地面对A的摩擦力为Ff，则两力的变化情况是( )
A．FN减小，Ff增大
B．FN增大，Ff增大
C．FN减小，Ff不变
D．FN增大，Ff不变
5.
轻质细线上端固定，下端悬挂一小球，对小球施加一个大小恒定且小于小球重力的拉力F，开始时拉力方向竖直向上，如图所示，现将拉力F在同一竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过90°.设细线中拉力的大小为FT，细线与竖直方向的夹角为θ，则在拉力F方向变化的过程中( )
A．FT一直增大，θ一直增大
B．FT一直增大，θ先增大后减小
C．FT先增大后减小，θ一直增大
D．FT先增大后减小，θ先增大后减小
6.
[2023·河北唐山市上学期模拟](多选)如图所示，长木板A与物体B叠放在水平地面上，物体与木板左端立柱间放置水平轻质弹簧，在水平外力F作用下，木板和物体都静止不动，弹簧处于压缩状态．将外力F缓慢减小到零，物体始终不动，在此过程中( )
A．弹簧弹力不变
B．物体B所受摩擦力逐渐减小
C．物体B所受摩擦力始终向左
D．木板A所受地面的摩擦力逐渐减小
7.
如图所示为一简易起重装置，(不计一切阻力)AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°.在此过程中，杆BC所产生的弹力( )
A．大小不变B．逐渐增大
C．先增大后减小D．先减小后增大
?能力提升练?
8．[2023·云南昆明模拟]
(多选)如图所示，两块光滑挡板OP、OQ相互垂直，OP竖直放置，小球a、b固定在轻弹簧的两端，并斜靠在OP、OQ上．现有一个水平向左的推力F作用于b上，使a、b紧靠挡板处于静止状态．现保证b不动，使OP向左缓慢平移一小段距离，则( )
A.推力F变小B．弹簧长度变短
C．弹簧长度变长D．b对OQ的压力不变
9．[2023·山东师范大学附属中学开学考试](多选)如图甲所示，用两根细绳连接一小球，小球始终处于静止状态，细绳OA与竖直方向的夹角为θ1，θ1保持不变，细绳OA的拉力用F1表示，细绳OB从竖直位置缓慢顺时针旋转，细绳OB的拉力F2和细绳OB与竖直方向的夹角θ2的关系如图乙，g取10m/s2，下列说法正确的是( )
A．当θ1＝θ2时，细绳OB的拉力F2＝N
B．当θ1＝θ2时，细绳OB的拉力F2＝10N
C．缓慢顺时针旋转过程中，细绳OB的拉力F2的最小值为5N
D．缓慢顺时针旋转过程中，细绳OB的拉力F2的最小值为5N
10.
如图所示，质量为m＝10kg的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦因数μ＝，受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F.为使木箱做匀速直线运动，拉力F的最小值以及此时θ分别是(g取10m/s2)( )
A．50N和30°B．50N和60°
C．N和30°D．N和60°
课时分层作业（十）
1．解析：对小球进行受力分析如图所示
由力的平衡条件可知F1＝mgtanθ，F2＝，小球运动的过程中，θ增大，所以F1和F2都增大，B正确，A、C、D错误．
答案：B
2．解析：小球受重力、平板AP弹力F1和平板BP弹力F2，将F1与F2合成为F＝mg，如图：
小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F1和F2的合力F一定与重力等值、反向、共线．从图中可以看出，当平板BP逆时针缓慢地转向竖直位置的过程中，F1越来越大，F2先变小，后变大；当BP沿水平方向时，BP板受到的压力不是最大，选项A错误；当BP沿竖直方向时，AP板受到的压力最大，选项B正确；当BP与AP垂直时，BP板受到的压力最小，选项C错误；当BP板水平时，AP板受到的压力为零，最小，选项D错误．
答案：B
3．解析：设斜面倾角为α，沙子漏出前，当A受到的摩擦力向上时，有GB＋Ff＝GAsinα，随着沙子的减少，A受到的摩擦力逐渐增大，细线的拉力逐渐减小，根据力的平行四边形定则可知，细线OC的张力逐渐减小；沙子漏出前，当A受到的摩擦力向下时，有GB＝GAsinα＋Ff，随着沙子的减少，A受到的摩擦力逐渐减小至零后反向增大，细线的拉力逐渐减小，根据力的平行四边形定则可知，细线OC的张力逐渐减小，因为细线OC与竖直方向的夹角始终是通过定滑轮的细线所成角度的一半，而通过定滑轮的细线所成角度是不变的，所以细线OC与竖直方向的夹角θ不变，故A、B、C错误，D正确．
答案：D
4.
解析：对滑块B受力分析，受到重力、支持力与水平推力，如图所示．设滑块所在处斜面倾角为θ，根据平衡条件有F＝mgtanθ，物块A对小滑块B的支持力为FN＝；缓慢沿曲面向上移动一小段距离的过程中，θ增大，则水平外力F增大，FN也增大，整体水平方向受力平衡，可得地面对物块A的摩擦力Ff＝F，所以地面对物块A的摩擦力逐渐增大，故B正确，A、C、D错误．
答案：B
5．解析：设当细线与竖直方向的夹角为θ时F与竖直方向的夹角为α，对小球受力分析，如图所示
由分析图可知，F与FT的合力F合＝mg，方向竖直向上，故F、FT和F合可以组成一个闭合的矢量三角形．因F的大小不变，所以当F在同一竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过90°的过程中，可以以F的大小为半径画出一个动态圆进行分析，同时保证合力的大小、方向都不变，如图所示
当F的方向由竖直向上变到水平向右，即α不断增大的过程中，由图可知，从位置1到位置2，再到位置3，FT的大小不断增大，而从位置1变到位置2，θ增大；当F与FT垂直，即在位置2时，θ最大；从位置2变到位置3，θ减小，故θ先增大后减小．
答案：B
6．解析：将外力F缓慢减小到零，物体始终不动，弹簧的长度不变，则弹力不变，选项A正确；对物体B，因开始时所受摩擦力的方向不确定，则有F弹＝F±Ff，则随F的减小，物体B所受摩擦力的大小和方向都不能确定，选项B、C错误；对A、B与弹簧组成的整体，在水平方向，力F与地面对A的摩擦力平衡，则随F的减小，木板A所受地面的摩擦力逐渐减小，选项D正确．
答案：AD
7．解析：以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反．
根据三角形相似得＝＝
又F合＝G得F＝G，FN＝G
∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A.
答案：A
8．解析：设弹簧与竖直方向的夹角为α，现保证b不动，使OP向左缓慢平移一小段距离，则α增大，以a为研究对象，受力分析如图，根据平衡条件得F弹＝，α增大，cosα减小，则F弹增大，压缩弹簧，长度变短．OP对a的弹力FN1＝mgtanα，α增大，FN1增大．对a、弹簧和b整体研究，水平方向F＝FN1，则推力F将增大，A、C错误，B正确．竖直方向OQ对b的支持力为FN2＝（ma＋mb）g不变，根据牛顿第三定律可知，b对OQ的压力不变，D正确．
答案：BD
9．解析：
对小球进行受力分析，小球始终处于平衡状态，构建力的矢量三角形，如图所示，当θ2＝时，F2取得最小值，此时θ1＋θ2＝，故θ1＝；当θ2＝0时，F2＝mg＝10N；当θ1＝θ2时，F1＝F2，此时有2F2cosθ1＝mg，解得F2＝N，选项A正确，B错误．缓慢顺时针旋转过程中，当θ1＋θ2＝时，细绳OB的拉力F2取最小值，F2＝mgsinθ1＝5N，选项C正确，D错误．
答案：AC
10．解析：木箱受到重力mg、拉力F、地面的支持力和滑动摩擦力作用，根据平衡条件得Fcosθ＝Ff，Fsinθ＋FN＝mg，又Ff＝μFN，联立解得F＝＝，其中tanα＝＝，α＝60°.由数学知识知，当θ＋α＝90°，即θ＝30°时，F有最小值，且最小值为Fmin＝＝N＝50N．选项A正确．
答案：A(共20张PPT)
专题强化三
动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
【素养目标】
1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.
2.会分析平衡中的临界与极值问题．
题型一 动态平衡问题
1．动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向要发生变化，所以叫动态平衡．
2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”．
3．分析动态平衡问题方法的选取技巧
(1)解析法
①列平衡方程，列出未知量与已知量的关系表达式．
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况．
(2)图解法
(3)相似三角形法
①根据已知条件画出对应的力的三角形和空间几何相似三角形，确定对应边，利用三角形相似法列出比例式；
②确定未知量的变化情况．
例1 [2022·河北卷]如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中( )
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
答案：B
解析：
设两绳子对圆柱体合力为FT，木板对圆柱体支持力为FN，绳子所在平面与木板夹角为α，受力分析如图：
在矢量三角形中，由正弦定理＝＝
木板以MN为轴向后方转动至水平过程中α不变，θ由90°减少至0，
由数学知识可知，FN先增大后减小，FT减小，
又两根绳子间夹角不变，所以每根绳子的拉力都随转动而不断减少．
针 对 训 练
1.湖北某小区晾晒区的并排等高门形晾衣架A′ABB′ C′CDD′如图所示，AB、CD杆均水平，不可伸长的轻绳的一端M固定在AB中点上，另一端N系在C点，一衣架(含所挂衣物)的挂钩可在轻绳上无摩擦滑动．将轻绳N端从C点沿CD方向缓慢移动至D点，整个过程中衣物始终没有着地．则此过程中轻绳上张力大小的变化情况是( )
A．一直减小
B．先减小后增大
C．一直增大
D．先增大后减小
答案：B
解析：轻绳N端由C点沿CD方向缓慢移动至D点的过程中，衣架两侧轻绳与水平方向的夹角先增大后减小，设该夹角为θ，轻绳上的张力为F，由平衡条件有2F sin θ＝mg，故F＝，可见张力大小先减小后增大，B项正确．
2．如图所示，一圆环套在固定的倾斜光滑杆上，轻绳绕过定滑轮与圆环相连，整个装置处于同一竖直平面内，现用力F缓慢拉动轻绳，圆环对杆的弹力大小为FN，在圆环从A沿杆向上运动到轻绳处于竖直状态的过程中，下列说法正确的是( )
A．F一直增大，FN先减小后增大
B．F一直增大，FN一直减小
C．F先减小后增大，FN一直增大
D．F先减小后增大，FN先减小后增大
答案：B
解析：对圆环受力分析如图所示，圆环受到三个力的作用，三个力平衡恰组成一个闭合的三角形，由于重力大小方向不变，支持力方向不变，随着拉力方向的改变，三个力的动态分析图如图所示，由图可知，拉力与竖直方向夹角越来越小，则F一直增大，F′N即FN一直减小，所以B正确；A、C、D错误．
题型二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等，临界问题常见的种类：
(1)由相对静止到相对运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
技法点拨
解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
(2)数学解法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
例2 [2023·云南昆明检测]如图所示，两质量均为m的小球a、b固定在轻杆两端，用两条与轻杆等长的细线悬挂在O点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形．用力F缓慢拉动小球b，保持两细线绷紧，最终使连接a球的细线竖直．重力加速度大小为g.则连接a球的细线竖直时，力F的最小值是( )
A．mg B．mg C．mg D．mg
答案：B
解析：末状态时，左边小球a在最低点，细线Oa处于竖直方向，小球a处于平衡状态，合外力沿水平方向的分量为零，则此时轻杆上的弹力为零，故右侧小球b受到重力、细线Ob的拉力和力F作用处于平衡状态，画出小球b受力示意图，由几何关系可知，当拉力F方向与Ob垂直时拉力F最小，可得最小拉力F＝mg sin 60°＝mg，选项B正确，A、C、D错误．
例3 [2022·浙江1月]如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石礅，石礅与水平地面间的动摩擦因数为μ.工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石礅时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是( )
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石礅的摩擦力也最小
答案：B
解析：方法一 对石礅受力分析如图1，设两根轻绳的合力为F，根据平衡条件有F cos θ＝f，F sin θ＋FN＝mg，且μFN＝f，联立可得F＝，选项A错误，B正确；上式变形得F＝，其中tan α＝，根据三角函数特点，由于θ的初始值不知道，因此减小θ，轻绳的合拉力F并不一定减小，选项C错误；
根据上述讨论，当θ＋α＝90°时，轻绳的合拉力F最小，而摩擦力f＝F cos θ＝＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力F最小时，地面对石礅的摩擦力不是最小的，选项D错误．
方法二 本题的C、D选项还可以这样判断：设F′为地面对石礅的支持力FN与摩擦力f的合力，β是摩擦力与F′间的夹角，则tan β＝＝，即不论FN、f怎么变化，合力F′的方向总保持不变，因此可将四力平衡转化为如图2所示的三力平衡问题，用矢量三角形可直观得出随着θ减小绳子的合拉力F可能先减小后增大，也可能一直增大，关键是看初始时θ的大小；摩擦力与支持力的合力F′随着θ的减小而增大，故地面对石礅的摩擦力f随着θ的减小一直增大，即f的最小值不与轻绳合拉力的最小值对应，故选项C、D均错误．
针 对 训 练
3.“腊月二十四，掸尘扫房子”，据《吕氏春秋》记载，中国在尧舜时代就有春节扫尘的风俗，寓意驱除病疫，祈求新年安康．春节前夕，小红需移开沙发，清扫污垢，质量m＝10 kg的沙发放置在水平地面上，小红用力F推沙发，当F斜向下与水平方向成θ＝30°角时，如图所示，当F＝100 N时，沙发恰好开始做匀速运动，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2
下列说法正确的是( )
A．沙发与地面间的动摩擦因数为μ＝
B．若F方向水平，则推动沙发做匀速运动的力为100 N
C．若F方向能随意改变，想用最小的力推动沙发，则应使F沿水平方向
D．若F方向能随意改变，能让沙发匀速运动的力F的最小值为25 N
答案：A
解析：对沙发进行受力分析，水平方向有Fx＝F cos θ＝50 N，Fx＝f＝μFN，竖直方向有F sin θ＋mg＝FN，联立解得μ＝，选项A正确；若F方向随意改变，想用最小的力推动沙发，则分析可知，最小推力应该斜向上，设推力方向与水平方向的夹角为α，对沙发进行受力分析，水平方向有Fx＝F cos α，Fx＝f＝μFN，竖直方向有F sin α＋FN＝mg，可得F＝，故当α＝0°时，F＝ N，当α＝时，F最小，有Fmin＝mg＝50 N，选项B、C、D错误．专题强化三 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
【素养目标】
1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.
2.会分析平衡中的临界与极值问题．
题型一 动态平衡问题
1．动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向要发生变化，所以叫动态平衡．
2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”．
3．分析动态平衡问题方法的选取技巧
(1)解析法
①列平衡方程，列出未知量与已知量的关系表达式．
②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况．
(2)图解法
(3)相似三角形法
①根据已知条件画出对应的力的三角形和空间几何相似三角形，确定对应边，利用三角形相似法列出比例式；
②确定未知量的变化情况．
例1[2022·河北卷]如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中( )
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
针 对 训 练
1.湖北某小区晾晒区的并排等高门形晾衣架A′ABB′ C′CDD′如图所示，AB、CD杆均水平，不可伸长的轻绳的一端M固定在AB中点上，另一端N系在C点，一衣架(含所挂衣物)的挂钩可在轻绳上无摩擦滑动．将轻绳N端从C点沿CD方向缓慢移动至D点，整个过程中衣物始终没有着地．则此过程中轻绳上张力大小的变化情况是( )
A．一直减小 B．先减小后增大
C．一直增大 D．先增大后减小
2．如图所示，一圆环套在固定的倾斜光滑杆上，轻绳绕过定滑轮与圆环相连，整个装置处于同一竖直平面内，现用力F缓慢拉动轻绳，圆环对杆的弹力大小为FN，在圆环从A沿杆向上运动到轻绳处于竖直状态的过程中，下列说法正确的是( )
A．F一直增大，FN先减小后增大
B．F一直增大，FN一直减小
C．F先减小后增大，FN一直增大
D．F先减小后增大，FN先减小后增大
题型二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等，临界问题常见的种类：
(1)由相对静止到相对运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
技法点拨
解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
(2)数学解法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
例2 [2023·云南昆明检测]如图所示，两质量均为m的小球a、b固定在轻杆两端，用两条与轻杆等长的细线悬挂在O点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形．用力F缓慢拉动小球b，保持两细线绷紧，最终使连接a球的细线竖直．重力加速度大小为g.则连接a球的细线竖直时，力F的最小值是( )
A．mg B．mgC．mg D．mg
例3[2022·浙江1月]如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石礅，石礅与水平地面间的动摩擦因数为μ.工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石礅时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是( )
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石礅的摩擦力也最小
针 对 训 练
3.“腊月二十四，掸尘扫房子”，据《吕氏春秋》记载，中国在尧舜时代就有春节扫尘的风俗，寓意驱除病疫，祈求新年安康．春节前夕，小红需移开沙发，清扫污垢，质量m＝10 kg的沙发放置在水平地面上，小红用力F推沙发，当F斜向下与水平方向成θ＝30°角时，如图所示，当F＝100 N时，沙发恰好开始做匀速运动，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．沙发与地面间的动摩擦因数为μ＝
B．若F方向水平，则推动沙发做匀速运动的力为100 N
C．若F方向能随意改变，想用最小的力推动沙发，则应使F沿水平方向
D．若F方向能随意改变，能让沙发匀速运动的力F的最小值为25 N
