专题强化六 圆周运动的临界问题
【素养目标】 1.掌握水平面内、竖直面内的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题．
题型一 水平面内圆周运动的临界问题
1．运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆．
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动．
2．过程分析
重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题．
3．方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
例1 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°.当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T(g取10 m/s2，结果可用根式表示，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向间的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
[教你解决问题] 读题审题——完成信息转化
[试答]
针 对 训 练
1.(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲:r乙＝3:1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来；且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是( )
A．滑块A和B均与轮盘相对静止时，角速度之比为ωA:ωB＝1:3
B．滑块A和B均与轮盘相对静止时，向心加速度之比为anA:anB＝2:9
C．转速增加后滑块B先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
2．[2023·湖南四大名校联考]如图所示，足够大的水平光滑圆台中央立着一根光滑的杆，原长为L的轻弹簧(图中未画出)套在杆上，质量均为m的A、B、C三个小球(始终在同一竖直面内，均可视为质点)用两根轻杆通过光滑铰链连接，轻杆长也为L，A球套在竖直杆上，现将A球搁在弹簧上端，当系统处于静止状态时，两轻杆与竖直方向的夹角均为θ＝37°，已知重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
(1)求系统静止时轻杆对B的作用力F和弹簧的劲度系数k；
(2)让B、C球以相同的角速度绕竖直杆匀速转动，若转动的角速度为ω0(未知)时，B、C球刚要脱离圆台，求此时轻杆与竖直方向夹角θ0的余弦值和角速度ω0.
题型二 竖直面内圆周运动的临界问题
1．绳—球模型与杆—球模型对比
绳—球模型 杆—球模型
图示 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力特征 物体受到的弹力方向为向下或等于零 物体受到的弹力方向为向下，等于零或向上．
受力示意图
力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝
临界特征 FN＝0 mg＝min＝ v＝0 即Fn＝0 FN＝mg
过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0
2.竖直平面内圆周运动的求解思路
考向1 绳—球模型
例2[2023·河北衡水月考]如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g，现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，当小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为( )
A．mg B．mg
C．3mg D．2mg
[解题心得]
考向2 杆—球模型
例3[2023·汕头模拟](多选)如图甲，固定在竖直平面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( )
A．若小球经过N点时满足＝c，则经过M点时对轨道无压力
B.当小球经过N点时满足＝c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为
D．F＝－b表示小球经过N点时速度等于0
[解题心得]
针 对 训 练
3.某教师受儿童娱乐场过山车与彩色滑道项目的启发，设计了如图所示的装置，竖直放置的光滑圆弧轨道AM与光滑圆轨道(圆心为O1)在M点相切，圆轨道底端稍错开，水平轨道的N点有—个以O2为圆心的稍微凸起的光滑小圆弧，其中N点为圆弧的最高点，在B、N点安装有压力传感器并与计算机连接．已知圆O1、圆O2半径相等，均为R，M、N两点水平距离为x＝8R.一质量为m的小物块(可视为质点)从h高处的A点无初速度滑下，经过B、N点时对轨道的压力大小都是mg，g为重力加速度，B点为圆O1的最高点，则有( )
A．A点所处高度h＝2.75R
B．物块滑过M点时的向心加速度anM＝5.5g
C．小物块与水平轨道MN间的动摩擦因数μ＝0.4
D．减小高度h，小物块经过B、N点时对轨道的压力一定减小
专题强化六 圆周运动的临界问题
题型一
例1 解析：
(1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线的拉力，如图所示．
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向上运用牛顿第二定律及向心力公式得
mg tan θ＝l sin θ
解得ω0＝ ＝ rad/s.
(2)当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式有
mg tan 60°＝mω′2l sin 60°
解得ω′＝ ＝2 rad/s.
答案：(1) rad/s (2)2 rad/s
1．解析：由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr可知，ω甲：ω乙＝1：3，所以两滑块均与轮盘相对静止时，A、B的角速度之比为ωA：ωB＝1：3，故A正确；两滑块均与轮盘相对静止时，根据an＝Rω2，得A、B的向心加速度之比为anA：anB＝2：9，故B正确；根据题意可得滑块的最大静摩擦力为Ff＝μmg，转动中所受的静摩擦力之比为＝maA：maB＝2：9，可知滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，故C正确，D错误．
答案：ABC
2．解析：(1)圆台光滑，对B球进行受力分析，一定受重力和平台的支持力，如果轻杆对B有作用力，则B球不可能平衡，故轻杆对B球的作用力F＝0
弹簧的形变量ΔL＝L－L cos θ
对A进行受力分析，由平衡条件有kΔL＝mg
代入数据得弹簧的劲度系数k＝.
(2)对A、B、C三个小球整体分析，B、C刚要脱离圆台时，在竖直方向上有k(L－L cos θ0)＝3 mg，代入数据得cos θ0＝
对B进行受力分析，有mg tan θ0＝L sin θ0
代入数据得ω0＝ .
答案：(1)0 (2)
例2 解析：设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，由几何关系知，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则r＝L cos θ＝L，根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m，小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为FT，则有2FTcos θ＋mg＝m，解得FT＝mg，故A正确．
答案：A
例3 解析：由题图可知，若小球经过N点时满足＝c，则经过M点时对轨道无压力，A正确；当小球经过N点时满足时，则经过M点时对管壁的压力为正值，可知此时小球对管道外壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足＝c，则在M点时mg＝m，由机械能守恒可得＝，联立解得R＝，C正确；F＝－b表示小球经过M时对管壁的作用力方向向下，即此时小球能经过M点，经过N点时速度不等于0，D错误．
答案：AC
3．解析：物块从A→M→B的过程中机械能守恒，则有mgh＝＝，且物块在B点时有mg＋NB＝m，在M点时有NM－mg＝，又NB＝mg，解得h＝2.75R，NM＝6.5mg，A正确；对小物块在M点，由牛顿第二定律得NM－mg＝maM，解得物块在M点的向心加速度aM＝5.5g，B正确；物块从M→N过程中由动能定理有－μmgx＝，且物块在N点时有mg－NN＝m，又知NN＝mg，解得μ＝0.312 5，C错误；减小高度h，由能量守恒知小物块经过M、B、N点时速度减小，由向心力公式知，小物块经过B点时对轨道的弹力减小，经过N点时对轨道的弹力增大，D错误．
答案：AB(共21张PPT)
专题强化六 圆周运动的临界问题
【素养目标】 1.掌握水平面内、竖直面内的圆周运动的动力学问题的分析方法.2.会分析水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题．
题型一 水平面内圆周运动的临界问题
1．运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆．
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动．
2．过程分析
重视过程分析，在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，物体的受力可能发生变化，转速继续变化，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题．
3．方法突破
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
例1 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°.当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T(g取10 m/s2，结果可用根式表示，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向间的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析：(1)若要小球刚好离开锥面，此时小球只受到重力和细线的拉力，如图所示．
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向上运用牛顿第二定律及向心力公式得
mg tan θ＝l sin θ
解得ω0＝ ＝ rad/s.
(2)当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，
由牛顿第二定律及向心力公式有
mg tan 60°＝mω′2l sin 60°
解得ω′＝ ＝2 rad/s.
[教你解决问题] 读题审题——完成信息转化
针 对 训 练
1.(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径之比r甲:r乙＝3:1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块与轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来；且转速逐渐增加，
则下列叙述正确的是( )
A．滑块A和B均与轮盘相对静止时，角速度之比为ωA:ωB＝1:3
B．滑块A和B均与轮盘相对静止时，向心加速度之比为anA:anB＝2:9
C．转速增加后滑块B先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
答案：ABC
解析：由题意可知两轮盘边缘的线速度v大小相等，由v＝ωr可知，ω甲：ω乙＝1：3，所以两滑块均与轮盘相对静止时，A、B的角速度之比为ωA：ωB＝1：3，故A正确；两滑块均与轮盘相对静止时，根据an＝Rω2，得A、B的向心加速度之比为anA：anB＝2：9，故B正确；根据题意可得滑块的最大静摩擦力为Ff＝μmg，转动中所受的静摩擦力之比为＝maA：maB＝2：9，可知滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，故C正确，D错误．
2．[2023·湖南四大名校联考]如图所示，足够大的水平光滑圆台中央立着一根光滑的杆，原长为L的轻弹簧(图中未画出)套在杆上，质量均为m的A、B、C三个小球(始终在同一竖直面内，均可视为质点)用两根轻杆通过光滑铰链连接，轻杆长也为L，A球套在竖直杆上，现将A球搁在弹簧上端，当系统处于静止状态时，两轻杆与竖直方向的夹角均为θ＝37°，已知重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
(1)求系统静止时轻杆对B的作用力F和弹簧的劲度系数k；
(2)让B、C球以相同的角速度绕竖直杆匀速转动，
若转动的角速度为ω0(未知)时，B、C球刚要脱离圆
台，求此时轻杆与竖直方向夹角θ0的余弦值和角速
度ω0.
解析：(1)圆台光滑，对B球进行受力分析，一定受重力和平台的支持力，如果轻杆对B有作用力，则B球不可能平衡，故轻杆对B球的作用力F＝0
弹簧的形变量ΔL＝L－L cos θ
对A进行受力分析，由平衡条件有kΔL＝mg
代入数据得弹簧的劲度系数k＝.
(2)对A、B、C三个小球整体分析，B、C刚要脱离圆台时，在竖直方向上有k(L－L cos θ0)＝3 mg，代入数据得cos θ0＝
对B进行受力分析，有mg tan θ0＝L sin θ0
代入数据得ω0＝ .
题型二 竖直面内圆周运动的临界问题
1．绳—球模型与杆—球模型对比
绳—球模型 杆—球模型
图示 均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力特征 物体受到的弹力方向为向下或等于零 物体受到的弹力方向为向下，等于零或向上．
受力示意图
力学方程
临界特征 v＝0即Fn＝0FN＝mg
过最高点的条件 在最高点的速度v≥0
2.竖直平面内圆周运动的求解思路
考向1 绳—球模型
例2 [2023·河北衡水月考]如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L.重力加速度大小为g，现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，当小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为( )
A．mg B．mg
C．3mg D．2mg
答案：A
解析：设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，由几何关系知，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则r＝L cos θ＝L，根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m，小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为FT，则有2FTcos θ＋mg＝m，解得FT＝mg，故A正确．
考向2 杆—球模型
例3 [2023·汕头模拟](多选)如图甲，固定在竖直平面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N点时的速率vN，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M点时对管道作用力F(竖直向上为正)，用同一小球以不同的初速度重复试验，得到F与的关系图像如图乙，c为图像与横轴交点坐标，b为图像延长线与纵轴交点坐标，重力加速度为g，
则下列说法中正确的是( )
A．若小球经过N点时满足＝c，则经过M点时对轨道无压力
B.当小球经过N点时满足＝c，则经过M点时对内管道壁有压力
C．小球做圆周运动的半径为
D．F＝－b表示小球经过N点时速度等于0
答案：AC
解析：由题图可知，若小球经过N点时满足＝c，则经过M点时对轨道无压力，A正确；当小球经过N点时满足时，则经过M点时对管壁的压力为正值，可知此时小球对管道外壁有压力，B错误；若小球经过N点时满足＝c，则在M点时mg＝m，由机械能守恒可得＝，联立解得R＝，C正确；F＝－b表示小球经过M时对管壁的作用力方向向下，即此时小球能经过M点，经过N点时速度不等于0，D错误．
针 对 训 练
3.某教师受儿童娱乐场过山车与彩色滑道项目的启发，设计了如图所示的装置，竖直放置的光滑圆弧轨道AM与光滑圆轨道(圆心为O1)在M点相切，圆轨道底端稍错开，水平轨道的N点有—个以O2为圆心的稍微凸起的光滑小圆弧，其中N点为圆弧的最高点，在B、N点安装有压力传感器并与计算机连接．已知圆O1、圆O2半径相等，均为R，M、N两点水平距离为x＝8R.一质量为m的小物块(可视为质点)从h高处的A点无初速度滑下，经过B、N点时对轨道的压力大小都是mg，g为重力加速度，B点为圆O1的最高点，则有( )
A．A点所处高度h＝2.75R
B．物块滑过M点时的向心加速度anM＝5.5g
C．小物块与水平轨道MN间的动摩擦因数μ＝0.4
D．减小高度h，小物块经过B、N点时对轨道的
压力一定减小
答案：AB
解析：物块从A→M→B的过程中机械能守恒，则有mgh＝＝，且物块在B点时有mg＋NB＝m，在M点时有NM－mg＝，又NB＝mg，解得h＝2.75R，NM＝6.5mg，A正确；对小物块在M点，由牛顿第二定律得NM－mg＝maM，解得物块在M点的向心加速度aM＝5.5g，B正确；物块从M→N过程中由动能定理有－μmgx＝，且物块在N点时有mg－NN＝m，又知NN＝mg，解得μ＝0.312 5，C错误；减小高度h，由能量守恒知小物块经过M、B、N点时速度减小，由向心力公式知，小物块经过B点时对轨道的弹力减小，经过N点时对轨道的弹力增大，D错误．课时分层作业(十八) 圆周运动的临界问题
?基础强化练?
1．如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度通过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度通过最低点A.则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差( )
A．3mgB．4mg
C．5mgD．6mg
2．(多选)如图，内壁光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球．当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力．下列说法正确的是( )
A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小ω
C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
D．仅增加角速度至ω′后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力
3.
[2023·江苏盐城调研](多选)如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在过最高点时的速度v，下列叙述正确的是( )
A．v的最小值为
B．若v由零逐渐增大，则向心力逐渐增大
C．若v由逐渐减小，则轻杆对小球的弹力也逐渐减小
D．若v由逐渐增大，则轻杆对小球的弹力也逐渐增大
4.[2023·福建武平一中月考](多选)如图所示，匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为1kg和2kg的小物块A、B，A、B间用细线沿半径方向相连．它们到转轴的距离分别为rA＝0.1m、rB＝0.3m．A、B与盘面间的最大静摩擦力均为各自重力的.g取10m/s2，现缓慢地增大圆盘的角速度，则下列说法正确的是( )
A．当A恰好达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为6N
B．当A恰好达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度为2rad/s
C．当细线上开始有弹力时，圆盘的角速度大于rad/s
D．在细线上有弹力后的某时刻(A、B相对圆盘均未滑动)剪断细线，A将做近心运动，B将做离心运动
5.[2023·辽宁沈阳市郊联体月考]质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>时，b绳上将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
6.[2023·山东邹平模拟]如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．a一定比b先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
7.如图所示，小球质量m＝0.8kg，用两根长均为L＝0.5m的细绳拴住并系在竖直杆上的A、B两点．已知AB＝0.8m，当竖直杆转动带动小球在水平面内绕杆以ω＝40rad/s的角速度匀速转动时(g取10m/s2)，求上、下两根绳上的张力大小．
?能力提升练?
8.如图所示，一个半径为R＝1.5m的金属圆环竖直固定放置，环上套有—个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75.不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2.当小球向右滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率．
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小．
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率．
9.如图所示，粗糙轻杆水平固定在竖直轻质转轴上A点．质量为m的小球和轻弹簧套在轻杆上，小球与轻杆间的动摩擦因数为μ，弹簧原长为0.6L，左端固定在A点，右端与小球相连．长为L的细线一端系住小球，另一端系在转轴上B点，AB间距离为0.6L.装置静止时将小球向左缓慢推到距A点0.4L处时松手，小球恰能保持静止．接着使装置由静止缓慢加速转动．已知小球与杆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计转轴所受摩擦．
(1)求弹簧的劲度系数k；
(2)求小球与轻杆间恰无弹力时装置转动的角速度ω；
(3)从开始转动到小球与轻杆间恰无弹力过程中，外界提供给装置的能量为E，求该过程小球克服摩擦力做的功W.
课时分层作业（十八）
1．解析：由题意可知，在B点，有FB＋mg＝m，解得FB＝mg，在A点，有FA－mg＝m，解得FA＝7mg，所以A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差6mg，D正确．
答案：D
2．解析：根据题意可知，mgtanθ＝mrω2＝mω2Lsinθ，仅增加绳长后，小球所需的向心力变大，则有离心趋势会挤压管壁外侧，小球受到玻璃管给的斜向下方的压力，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小ω，故A错误，B正确；小球质量可以被约去，所以仅增加小球质量，小球仍与管壁间无压力，故C错误；仅增加角速度至ω′后，小球的向心力变大，则有离心趋势会挤压管壁外侧，小球受到玻璃管斜向下方的压力，故D正确．
答案：BD
3．解析：轻杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点速度的最小值为零，故A错误．根据Fn＝m知，小球的速度由零逐渐增大，向心力逐渐增大，故B正确．当v＝时，轻杆对小球的作用力为零；当v<时，轻杆对小球的力表现为支持力，且mg－FN＝m，所以轻杆对小球的弹力FN＝mg－m.则v由逐渐减小时，轻杆对小球的弹力逐渐增大，故C错误．当v>时，轻杆对小球的力表现为拉力，且mg＋FN＝m，所以轻杆对小球的弹力FN＝m－mg，则v由逐渐增大时，轻杆对小球的弹力逐渐增大，故D正确．
答案：BD
4．解析：缓慢地增大圆盘的角速度，B先达到最大静摩擦力，所以A恰好达到最大静摩擦力时，B受到的摩擦力大小为FB＝kmBg＝6N，A正确；设小物体A恰好达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度为ω1，此时细线的弹力为FT，则对A有kmAg－FT＝mAωrA，对B有FT＋kmBg＝mBωrB，解得ω1＝3rad/s，B错误；当细线上开始有弹力时，对B有kmBg
答案：AC
5．解析：小球在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确；根据竖直方向上平衡得Fasinθ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的张力不变，故B错误；当b绳的弹力为零时，有＝mlω2，解得ω＝，可知当角速度ω>时，b绳上将出现弹力，故C错误；由于b绳上可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误．
答案：A
6．解析：木块a、b开始滑动前，木块a、b在水平圆盘上做圆周运动的角速度相等，静摩擦力提供向心力，对木块a，有fa＝mω2l，对木块b，有fb＝2mω2l，可知静摩擦力大小不相等，故B错误；随着圆盘缓慢地加速转动，当木块a恰好开始滑动时，有kmg＝mωl，解得a开始滑动的临界角速度ω1＝，当木块b恰好开始滑动时，有kmg＝2mωl，解得b开始滑动的临界角速度ω2＝，则ω2<ω1，可知b一定比a先开始滑动，故A错误，C正确；以木块a为研究对象，当ω＝时，ω<ω1，则木块a所受摩擦力大小fa＝mω2l＝kmg，故D错误．
答案：C
7．解析：设BC绳刚好伸直无拉力时，小球做圆周运动的角速度为ω0，AC绳与杆的夹角为θ，则cosθ＝0.8，对小球进行受力分析如图甲所示，则有mgtanθ＝mωr，
解得ω0＝＝＝＝5rad/s，
由ω>ω0可知，BC绳已被拉直并有张力，对小球进行受力分析，建立如图乙所示的坐标系，将F1、F2正交分解，则沿y轴方向有F1cosθ－mg－F2cosθ＝0，
沿x轴方向有F1sinθ＋F2sinθ＝mω2r，
代入数据解得F1＝325N，F2＝315N.
答案：325N 315N
8．解析：（1）环对小球的摩擦力f＝0时，环对小球的弹力FN＝0，则有mg＝m
解得小球速率v＝m/s.
（2）滑动摩擦力Ff＝μFN，将Ff＝0.3mg，μ＝0.75代入得
环对小球的弹力FN＝＝＝0.4mg
弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小F＝＝0.5mg
（3）由（2）可知，环对小球的弹力FN＝0.4mg
当环对小球的弹力方向向上时，有mg－FN＝
解得小球的速率v1＝3m/s
当环对小球的弹力方向向下时，有mg＋FN＝
解得小球的速率v2＝m/s.
答案：（1）m/s （2）0.5mg （3）3m/s或m/s
9．解析：（1）依题意，有k（0.6L－0.4L）＝μmg
解得k＝
（2）小球与轻杆间恰无弹力时受力情况如图所示，
此时弹簧长度为0.8L有FTsin37°＝mg
FTcos37°＋k（0.8L－0.6L）＝0.8mω2L
解得ω＝
（3）题设过程中弹簧的压缩量相等与伸长量，故弹性势能改变量ΔEp＝0
则由功能关系有E＝W＋mv2
其中v＝0.8ωL，解得W＝E－
答案：（1） （2） （3）E－
