浙江省杭州市重点学校2022-2023学年九年级下学期期中
数学试卷
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．2﹣（﹣5）的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣7 D．7
2．下列运算正确的是（ ）
A．2x﹣x＝2 B．2m+3m＝5m2 C．5xy﹣4xy＝xy D．2a+3b＝5ab
3．某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为（ ）
A．6.4×10﹣5 B．6.4×106 C．6.4×10﹣6 D．6.4×105
4．如图所示，AB＝BD，BC＝BE，需添加条件（ ）
A．∠A＝∠D B．∠C＝∠E C．∠D＝∠E D．∠ABD＝∠CBE
5．若a＞b成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．2a﹣1＞2b﹣1 B．﹣a+1＞﹣b+1 C．m2a＞m2b D．﹣a＞﹣b
6．某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，结果共用6天完成了任务．若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE＝BE（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
8．在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），连接AD（ ）
A．若AD是BC边上的中线，则BC＝2CD
B．若AD是BC边上的高线，则AD＜AC
C．若AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积相等
D．若AD是∠BAC的平分线又是BC边上的中线，则AD为BC边的高线
9．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（ ）
A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大
C．y2最小，y3最大 D．无法判断
10．如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，∠ADC＝β，AB＝a（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα﹣ D．a cosα﹣asinα a tanβ
二．填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是3的整数倍的概率是 ．
12．（4分）因式分解：2a2﹣8＝ ．
13．（4分）已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得，求关于x的不等式ax+b＞kx的解是 ．
14．（4分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，PM＝1.2m，MN＝0.8m m．
15．（4分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D的长为 ．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝a，点E在边BC上，且，连结AE，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，写出a与b之间的等量关系 ．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）小英解不等式的过程如下，其中有一个步骤出现错误，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤1 ①，
去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤1 ②，
移项得：3x﹣4x≤1﹣3+2 ③，
合并同类项得：﹣x≤0 ④，
两边都除以﹣1得：x≥0 ⑤．
18．（8分）某中学为了了解孩子们对篮球、足球、羽毛球、乒乓球、网球五种体育运动的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人必选且只能选择一种运动），并将获得的数据进行整理，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生．
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数．
（3）若该校有1500名学生，请估计喜爱足球运动的学生有多少人？
19．（8分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝4，求FC的长度
20．（10分）设函数y＝（k是常数，k≠0），点M（3，a）在该函数图象上，再向下平移4个单位，得点N
（1）求该函数表达式；
（2）若（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是（1）小题函数图象上的三个点的坐标，且满足x3＞x2＞x1＞0，请比较y1+y2与2y3的大小，并说明理由．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．
22．（12分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴（﹣3，0）、B（0，﹣3），二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y＝kx+b（k≠0）的图象上？
（3）当n＞0，m≤5时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．
23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点G在射线BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，设＝k．
（1）求证：AE＝BF；
（2）连结BE，DF，设∠EDF＝α，求证：点G在射线BC上运动时，始终满足tanα＝ktanβ；
（3）如图2，设线段AG与对角线BD交于点H，△ADH和以点C，D，H1和S2，当点G在BC的延长线上运动时，求（用含k的代数式表示）．
答案解析
一．选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．2﹣（﹣5）的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣7 D．7
【分析】根据有理数的减法法则直接计算．
【解答】解：原式＝2+5＝7．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）．属于基础题．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2x﹣x＝2 B．2m+3m＝5m2 C．5xy﹣4xy＝xy D．2a+3b＝5ab
【分析】根据合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变即可求解．
【解答】解：A．2x﹣x＝x；
B．2m+3m＝5m；
C．5xy﹣2xy＝xy；
D．2a+3b不是同类项，选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，掌握同类项的法则是解题的关键．
3．某种芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，0.0000064用科学记数法表示为（ ）
A．6.4×10﹣5 B．6.4×106 C．6.4×10﹣6 D．6.4×105
【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000064＝6.4×10﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数．解题的关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图所示，AB＝BD，BC＝BE，需添加条件（ ）
A．∠A＝∠D B．∠C＝∠E C．∠D＝∠E D．∠ABD＝∠CBE
【分析】根据已知条件是两个三角形的两组对应边，所以需要添加的条件必须能得到这两边的夹角相等，整理得到角的可能情况，然后选择答案即可．
【解答】解：∵AB＝BD，BC＝BE，
∴要使△ABE≌△DBC，需添加的条件为∠ABE＝∠DBC，
又∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE，
即∠ABD＝∠CBE，
∴可添加的条件为∠ABE＝∠DBC或∠ABD＝∠CBE．
综合各选项，D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，根据两边确定出需添加的条件必须是这两边的夹角是解题的关键．
5．若a＞b成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．2a﹣1＞2b﹣1 B．﹣a+1＞﹣b+1 C．m2a＞m2b D．﹣a＞﹣b
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＞b，
∴2a＞2b，
∴2a﹣1＞2b﹣5，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴﹣a+1＜﹣b+1，故本选项不符合题意；
C．当m＝4时，m2a＝m2b，故本选项不符合题意；
D．∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，结果共用6天完成了任务．若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据共用6天完成任务，等量关系为：用老机器加工100个零件用的时间+用新机器加工400套用的时间＝6即可列出方程．
【解答】解：设该厂原来每天加工x个零件，
根据题意得：．
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE＝BE（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝BD＝AD，得到△BDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D是AB的中点，
∴DE＝AB＝BD＝AD，
∵DE＝BE，
∴DE＝BE＝BD，
∴△BDE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝×（180°﹣30°）＝75°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
8．在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），连接AD（ ）
A．若AD是BC边上的中线，则BC＝2CD
B．若AD是BC边上的高线，则AD＜AC
C．若AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积相等
D．若AD是∠BAC的平分线又是BC边上的中线，则AD为BC边的高线
【分析】根据三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：A、∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
∴BC＝2CD，故A正确；
B、∵AD是BC边的高线，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，AD＜AC；
C、∵AD是△BAC的中线，故C错误；
D、如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，{BD＝CD∠BDE＝∠CDADE＝AD
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴DE＝AC，∠E＝∠CAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠E，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD为BC边的高线，故D正确，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积，熟练掌握各定义是解题的关键．
9．已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（ ）
A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大
C．y2最小，y3最大 D．无法判断
【分析】利用y3＝y4推导出函数的对称轴x＝2，根据y2＜y3可知y随x的增大而增大可判断y1，y2，y3中的最值情况．
【解答】解：∵P3（1，y2），P4（3，y5），且y3＝y4，
∴该二次函数的对称轴为：x＝6．
∵P2（﹣1，y5），P3（1，y3），且y2＜y3，
∴在对称轴左侧，即x＜6时．
∵P1（﹣3，y4），P2（﹣1，y7），P3（1，y2）中，﹣3＜﹣1＜6，
∴y1＜y2＜y6．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的增减性，熟练掌握二次函数增减性是突破本题的关键．
10．如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，∠ADC＝β，AB＝a（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα﹣ D．a cosα﹣asinα a tanβ
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，AB＝a，
∴cosB＝cosα＝＝，
则BC＝a cosα，
sinB＝sinα＝＝，
故AC＝a sinα，
则tanβ＝，
故DC＝＝，
则BD＝BC﹣DC＝a cosα﹣．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC的长是解题关键．
二．填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，取到的数恰好是3的整数倍的概率是 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法解答即可，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：1，2，2，4，5，8这六个数中是3的倍数的数是3和3，
∴六个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
12．（4分）因式分解：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣3＝2（a2﹣2）＝2（a+2）（a﹣6）．
故答案为：2（a+2）（a﹣6）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
13．（4分）已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得，求关于x的不等式ax+b＞kx的解是 x＜﹣4 ．
【分析】直接根据函数图象得出结论即可．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣4时一次函数y＝ax+b在一次函数y＝kx图象的上方，
∴关于x的不等式ax+b＞kx的解是x＜﹣4．
故答案为：x＜﹣4．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
14．（4分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，PM＝1.2m，MN＝0.8m 2.3 m．
【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．
【解答】解：过N点作ND⊥PQ于D，
∴，
又∵AB＝2，BC＝1.8，NM＝0.8，
∴QD＝＝8.5，
∴PQ＝QD+DP＝QD+NM＝1.8+0.8＝5.3（m）．
故答案为：2.5．
【点评】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
15．（4分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D的长为 ．
【分析】先确定格点O是所在圆的圆心，连接OD，OC，再利用勾股定理求出OD的长，然后根据圆周角定理求出∠COD60°，从而利用弧长公式进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：格点O是所在圆的圆心，OC，
则OD＝＝，
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，
∴的长＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝a，点E在边BC上，且，连结AE，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，写出a与b之间的等量关系 a＝b或a＝b ．
【分析】分两种情况，当B′落在AD上，由折叠的性质，矩形的性质得到AB＝BE，即可得到a＝b；当B′落在CD上，令BE＝5x，BC＝8x，由勾股定理求出CB′＝＝4x，得到a2＝（8x）2+（a﹣4x）2，求出a＝10x，即可得到a＝b．
【解答】解：如图，B′落在AD上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
由折叠的性质得到∠BAE＝∠EAB′＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝a，
∵，
∴a＝b；
如图，B′落在CD上，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵，
∴令BE＝5x，BC＝8x，
∴EC＝BC﹣BE＝5x，AD＝BC＝b＝8x，
由折叠的性质得到：AB′＝AB＝a，EB′＝BE＝5x，
∴CB′＝＝4x，
∴DB′＝CD﹣CB′＝a﹣2x，
∵AB′2＝AD2+DB′3，
∴a2＝（8x）6+（a﹣4x）2，
∴a＝10x，
∵b＝8x，
∴a＝b，
∴a与b之间的等量关系是a＝b或a＝b．
故答案为：a＝b或a＝b．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是要分两种情况讨论．
三．解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）小英解不等式的过程如下，其中有一个步骤出现错误，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤1 ①，
去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤1 ②，
移项得：3x﹣4x≤1﹣3+2 ③，
合并同类项得：﹣x≤0 ④，
两边都除以﹣1得：x≥0 ⑤．
【分析】先根据题目中的解答过程，可以发现第①步出错了，然后根据解一元一次不等式的方法解答即可．
【解答】解：由题目中的解答过程可知，第①步出错了，
去分母，得：3（1+x）﹣6（2x+1）≤4，
去括号，得：3+3x﹣4x﹣2≤6，
移项及合并同类项，得：﹣x≤8，
系数化为1，得：x≥﹣5．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．（8分）某中学为了了解孩子们对篮球、足球、羽毛球、乒乓球、网球五种体育运动的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人必选且只能选择一种运动），并将获得的数据进行整理，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 200 名学生．
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数．
（3）若该校有1500名学生，请估计喜爱足球运动的学生有多少人？
【分析】（1）根据乒乓球的人数和所占的百分比求出抽取的人数；
（2）用总人数减去其他球的人数，求出羽毛球的人数，从而补全统计图，用360°乘以篮球人数所占百分比可得答案；
（3）用该校的总人数乘以喜爱足球运动的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数是：30÷15%＝200（名），
故答案为：200；
（2）羽毛球的人数有：200﹣40﹣30﹣60﹣20＝50（人），补全统计图如下：
扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数为360°×＝108°；
（3）根据题意得：
1500×＝300（人），
答：喜爱足球运动的学生有300人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（8分）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝4，求FC的长度
【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE．得出，∠DAE＝∠BAC，即可证明△ADE∽△ABC；
（2）由△ADE∽△ABC，得出∠ADE＝∠ABC，，进而得出DE∥BC，得出∠DEF＝∠CBF，∠EDF＝∠BCF，证明△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质，即可求出FC的长度．
【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE．
∴，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，，
∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，∠EDF＝∠BCF，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∵DF＝4，
∴，
∴FC＝12．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
20．（10分）设函数y＝（k是常数，k≠0），点M（3，a）在该函数图象上，再向下平移4个单位，得点N
（1）求该函数表达式；
（2）若（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是（1）小题函数图象上的三个点的坐标，且满足x3＞x2＞x1＞0，请比较y1+y2与2y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据题意由M表示出N的坐标，再由M与N都为反比例函数图象上的点，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出M的坐标，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数k＞0，得到第一象限为减函数，求出y1，y2，y3的大小，即可作出判断．
【解答】解：（1）∵M（3，a）先关于y轴对称，得点N，
∴N（﹣3，a﹣2），
∵M与N都在反比例函数y＝上，
∴3a＝﹣3（a﹣4），
解得：a＝2，
∴M（3，7），
把M（3，2）代入反比例解析式得：6＝，
解得：k＝6，
则反比例函数解析式为y＝；
（2）y1+y2＞2y3，理由如下：
∵（x1，y7），（x2，y2），（x5，y3）是y＝图象上三个点的坐标4＞x2＞x1＞4，y＝，
∴0＜y7＜y2＜y1，
则y7+y2＞2y4．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称点的特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝8cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝6cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝8cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝6cm．
在Rt△ODF中，OD＝，
即⊙O的半径为10cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22．（12分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴（﹣3，0）、B（0，﹣3），二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（0，3），请判断此二次函数的顶点是否在直线y＝kx+b（k≠0）的图象上？
（3）当n＞0，m≤5时，二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，求t的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求直线解析式即可；
（2）利用点（0，3）、A（﹣3，0）求出抛物线解析式，配方后得到抛物线的顶点坐标代入直线解析式验证即可；
（3）根据点A在二次函数图象上，可以确立9﹣3m+n＝0，即n＝3m﹣9，由n＞0可得3＜m≤5，利用最值公式得t＝﹣（m﹣6）2；根据m范围确定t的范围即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，0），﹣5）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，解得，
一次函数解析式为：y＝﹣x﹣3．
（2）∵二次函数y＝x2+mx+n图象与y轴交点为（6，3），0）在图象上，
∴n＝2；m＝4．
∴二次函数解析式为：y＝x2+3x+4﹣1＝（x+8）2﹣1，
∴顶点坐标（﹣8，﹣1）．
当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣8＝﹣（﹣2）﹣3＝﹣8，
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x﹣3上．
（3）∵二次函数y＝x2+mx+n图象过A（﹣5，0），
∴9﹣4m+n＝0，即n＝3m﹣8，
∵n＞0，
∴m＞3，
∴3＜m≤5．
∵二次函数y＝x2+mx+n的最小值为t，
∴t＝＝＝﹣2；
当m＝5时，t＝﹣，
当m＝3时，t＝﹣．
∴﹣＜t≤﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴、开口方向、最值是作该类题的基础，需要熟练掌握．
23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点G在射线BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，设＝k．
（1）求证：AE＝BF；
（2）连结BE，DF，设∠EDF＝α，求证：点G在射线BC上运动时，始终满足tanα＝ktanβ；
（3）如图2，设线段AG与对角线BD交于点H，△ADH和以点C，D，H1和S2，当点G在BC的延长线上运动时，求（用含k的代数式表示）．
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAF＝∠DAE，由AAS证得△AED≌△BFA，即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数的定义得出＝，再证△BGF∽△ADE，得出＝＝＝k，即可得出结论；
（3）过点H作HE⊥CD于E，证△ADH≌△CDH（SAS），得S△ADH＝S△CDH，则＝1+，再证△ADH∽△BGH，得DH＝，然后证△DEH是等腰直角三角形，得HE＝DH＝，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAG＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∴∠ADE+∠DAG＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴AE＝BF；
（2）证明：在Rt△DEF中，EF＝DE tanα，
在Rt△BEF中，EF＝BF tanβ，
∴DE tanα＝BF tanβ，
∴＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
∴∠BGF＝∠ADE，
∵∠BFG＝∠DEA＝90°，
∴△BGF∽△ADE，
∴＝＝＝k，
∴＝k，
∴tanα＝ktanβ，
∴点在G射线BC上运动时，始终满足tanα＝ktanβ；
（3）解：过点H作HE⊥CD于E，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，AD＝CD，
又∵DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴S△ADH＝S△CDH，
∴S2＝CD（HE+CG），S1＝S△CDH＝CD HE，
∴＝＝1+，
设正方形ABCD的边长为a，则BD＝a，
∵AD∥BG，
∴△ADH∽△BGH，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴DH＝，
∵∠BDC＝45°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴HE＝DH＝，
∵＝k，
∴＝k，
∴CG＝（k﹣8）a，
∴＝2+7﹣1）＝k2．
解法7：过点H作HE⊥CD于E，如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BG，AD＝CD，
又∵DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴S△ADH＝S△CDH，
∴S2＝CD（HE+CG），S1＝S△CDH＝CD HE，
∴＝＝1+，
设正方形ABCD的边长为6，则BD＝，
∵AD∥BG，
∴△ADH∽△BGH，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴DH＝，
∵∠BDC＝45°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∴HE＝DH＝，
∵＝k，
∴＝k，
∴CG＝k﹣8，
∴＝2+2﹣1）＝k4．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
