辛集市2022—2023学年度第二学期期末教学质量评价
八年级数学试卷
注意事项：1.本试卷共6页，总分120分（其中卷面分5分），考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（本大题有16个小题，1-10每小题3分，11-16每小题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 是一个正整数，则的最小正整数是
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列计算正确的是
A. B.
C. D.
3.下列说法不正确的是
A.正方形面积公式中有两个变量：S，a
B.圆的面积公式中的是常量
C.在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D.如果，那么a，b都是常量
4.五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元，追加后的5个数据与之前的5个数据相比，下列判断正确的是
A.只有平均数相同 B.只有中位数相同
C.只有众数相同 D.中位数和众数都相同
5.在中，，，，根据下列条件不能判断是直角三角形的是
A. ， B.
C. ，， D.
6.在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是
A.①：对角线相等 B.②：对角互补
C.③：一组邻边相等 D.④：有一个角是直角
7.初中三年学习生涯，让懵懂青涩的少年逐渐成长为奋发向上的青年.比较1班50名同学三年前后的年龄数据，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，大小没有发生变化的统计量是
A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差
8.容积为1500升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，单开进水管30分钟可把空池注满，单开出水管20分钟可把满池的水放尽.现水池内有水250升，先打开进水管10分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完.这一过程中蓄水池中的蓄水量（升）随时间（分）变化的图象是
A. B.
C. D.
9.船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，P，M，N是网格线交点，当船航行到点P的位置时，此时与两个灯塔M，N间的角度（的大小）一定无触礁危险.那么，对于A，B，C，D四个位置，船处于________时，也一定无触礁危险
A.位置A B.位置B C.位置C D.位置D
10.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，点P是AB中点，表示竹竿AB端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则OP的长及在竹竿AB滑动过程中的情况是
A.下滑时，OP的长度增大 B.上升时，OP的长度减小
C.只要滑动，OP的长度就变化 D.无论怎样滑动，OP的长度不变
11.如图，直线是一次函数的图象，且直线过点，则下列结论错误的是
A. B.直线过坐标为的点
C.若点，在直线上，则 D.
12.如图，中，，，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止.则EF的长为10cm时点E的运动时间是
A.6s B.6s或10s C.8s D.8s或12s
13.如图，在中，点E，F是对角线AC上的两个点，且，连接BE，DF.求证：.
证法1：如图，在中，，，∴. 又∵，∴，∴. ∴， 即，∴. 证法2：如图，连接BD交AC于点O，连接，DE，BF. 在中，，. 又∵， ∴，即. ∴四边形DEBF是平行四边形，∴.
下列说法错误的是
A.证法1中证明三角形全等的直接依据是SAS
B.证法2中用到了平行四边形的对角线互相平分
C.证法1和证法2都用到了平行四边形的判定
D.证法1和证法2都用到了平行四边形的性质
14.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间（单位：小时）之间的函数关系.则下列说法正确的是
A.两车同时到达乙地
B.轿车在行驶过程中的平均速度为100千米/小时
C.货车出发3.9小时后，轿车追上货车
D.两车在前80千米的速度相等
15.如图，在平行四边形ABCD中，，，，E，F分别是边BC，CD上的动点，连接AF，EF，M，N分别是AF，EF的中点，连接MN，则MN的最大值与最小值的差为
A. B. C. D.
16.如图，中，，，.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为、、、.则等于
A.16 B.18 C.20 D.22
二、填空题（本大题共3小题，满分10分；17、18每空3分，19题（1）（2）每空1分（3）2分。）
17.小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形，做成班刊刊头（如图所示），若菱形ABCD的面积为，正方形AECF的面积为，则这张菱形纸片的边长为__________cm.
18.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴上，，，直线以每秒1个单位长度向下移动，经过____________秒该直线可将矩形OABC的面积平分.
19.已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”.
（1）与_____________是关于1的“平衡数”；
（2）与__________是关于3的“平衡数”；
（3）若，，判断与___________（是或否）为关于某数的一组“平衡数”.
三、解答题（本大题有7个小题，共63分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20.（本题满分6分）
已知二次根式.
（1）求使得该二次根式有意义的的取值范围；
（2）已知为最简二次根式，且与为同类二次根式，求的值，并求出这两个二次根式的积.
21.（本题满分9分）
某校给全体学生推送了“天天跳绳APP”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作，并绘制了如下的统计表：
组别 “跳绳次数”/次 百分比 组内学生的平均“跳绳次数”/次
A 10% 110
B 35% 130
C 30% 150
D 25% 170
通过体育老师了解到成绩位于C等级的学生成绩为：140、141、141、142、145、148、150、153、155、156、157、159；
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生一共有___________人；调查的学生"跳绳次数"的中位数是__________；
（2）求该校学生一分钟跳绳次数的平均数；
（3）该校共有学生1600人，若规定一分钟跳绳次数时为优秀.请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数.
22.（本题满分9分）
材料阅读：给定三个数a、b、c，若它们满足，则称a、b、c这三个数为“勾股数”.例如：
①，，；∵9+16=25，即，∴3、4、5这三个数为勾股数.
②，，；∵25+144+169，即，∴5、12、13这三个数为勾股数.
若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）试判断8、15、17是否为勾股数；
（2）若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积；
（3）已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长.
23.（本题满分9分）
如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1～4的整数）.已知点，直线：经过点P.
（1）若直线过点，求直线的解析式；
（2）试推算出k和b的数量关系；
（3）若直线使得（m为1～4的整数）这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，求k的取值范围.
24.（本题满分9分）
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC到点F，使，连接DF.
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若，，，求OF的长度.
25.（本题满分9分）
足球世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售.每个A品牌足球的销售利润为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元.
（1）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元.
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（2）在（1）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，求出的值.
26.（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD.
（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ.
①当_________°时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；
②连接AQ，DQ，设，设PQ的延长线交AD边于点E，当时，求证：，并直接写出此时的值.
八年级数学答案
一、CCDD BBDA BDDC CCCB
二、17.13；18.2；19. 是；
三、20.解：（1）要使有意义，必须，即，
所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是；
（2），
所以，解得：.
这两个二次根式的积为.
21.解：（1）本次抽样调查的学生一共有：12÷30%=40（人）
把这40名学生一分钟跳绳次数从小到大排列，排在中间的两个数分别是141、141，故调查的学生“跳绳次数”的中位数是.
故答案为：40，141；
（2）10%×110+35%×130+30%×150+25%×170=144（次），
答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为144次；
（3）1600×（30+25%）=880（人），
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数大约为880人.
22.解：（1），，；∵64+225=289，即，且8，15，17都是正整数，∴8、15、17这三个数为勾股数.
（2）∵
∴该三角形是直角三角形，且7、24分别为直角的两条邻边.
∴其面积.
（3）当8是直角边时，则另一条边，周长为6+8+10=24；
当8是斜边时，则另一条边，周长为.
故其周长为24或.
23.解：（1）由题意，得，
将（2，4）和（-2，0）代入，得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵过点，
∴，即；
（3）由（2）得直线的解析式为，
当直线过点时，，解得，
当直线过点时，，解得，
结合图象，直线每侧各2个点时，的取值范围为；
24.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，
∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，∴，
由（1）可知，四边形EFCO是矩形，∴FG=OE=5，
∵EF⊥AB，∴∠EFA=90°，
∴，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
25.解：（1）①由题意知，y=60x+40（100-x）=20x+4000，
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+4000；
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
则，
解得：，
在中，
∵20>0，∴y随x的增大而增大，
∴当x=80时，y取得最大值，最大值为20×80+4000=5600，
即最大利润为5600元；
（2）在（2）的条件下60≤x≤80，总利润y=（20-a）x+4000，
当20-a>0时，y随x的增大而增大，
∴x=80，y最大为4240，
解得a=17；
当20-a＜0时，y随x的增大而减小，
∴x=60，y最大为4240，
解得a=16（舍去），
∴a=17.
26.解：（1）四边形ABCD是正方形，
理由如下：过C作CH⊥y轴于H，如图：
在中，令x=0得y=3，令y=0得x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，，
∵C（3，7），
∴BH=OH-BO=4，CH=3，∴OB=CH=3，OA=BH=4，
在△AOB和△BHC中，
，
∴△AOB≌△BHC（SAS），∴AB=BC，∠ABO=∠BCH，
∵∠BCH+∠HBC=90°，∴∠ABO+∠HBC=90°，∴∠ABC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图：
∵Q在AD的垂直平分线上，
∴直线QK是正方形ABCD的对称轴，
∴QK是BC的垂直平分线，
∴BQ=CQ，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴BC=BQ，∴BC=BQ=CQ，
∴△BCQ是等边三角形，
∴∠CBQ=60°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴，
故答案为：30；
②如图：
∵∠AQD=90°，∴∠DQE+∠EQA=90°，∠QDE+∠DAQ=90°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，
∴∠BQP=∠C=90°，∠BAD=90°，AB=BC=BQ，
∴∠BQE=90°=∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ=90°，
∴∠DQE=∠BQA，∠QDE=∠BAQ，
∵AB=BQ，∴∠BQA=∠BAQ，∴∠DQE=∠QDE，∴QE=DE，
∵∠EQA=90°-∠DQE=90°-∠QDE=∠EAQ，
∴QE=AE，∴DE=QE=AE，
∴，
设CP=PQ=x，则PD=CD-x=5-x，，
在Rt△PDE中，，
∴，
解得，
∴x的值是.
