第3讲 圆周运动
课 程 标 准
会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动．知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向．探究影响向心力大小的因素．能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力．了解生产生活中的离心现象及其产生的原因．
素 养 目 标
物理观念：知道描述圆周运动的物理量的概念．
科学思维：(1)掌握线速度、角速度、向心加速度的公式并能灵活应用．(2)会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法．
科学态度与责任：通过生活实例，培养运用物理知识解决实际问题的能力．
必备知识·自主落实
一、圆周运动及其描述
1．匀速圆周运动：
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长________，就是匀速圆周运动．实质是匀速率圆周运动
(2)速度特点：速度的大小________．方向始终与半径垂直．
2．描述圆周运动的物理量：
物理量 定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动______的物理量(v) (1)v＝＝ (2)单位：________
角速度 描述物体绕圆心________的物理量(ω) (1)ω＝＝ (2)单位：________
周期 物体沿圆周运动________的时间(T) (1)T＝＝， 单位：________ (2)f＝，单位：Hz 单位时间转的圈数
向心加速度 (1)描述速度______变化快慢的物理量(an) (2)方向指向________ (1)an＝＝________ (2)单位：________
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的________，不改变速度的________．
满足牛顿第二定律
2．大小：Fn＝ma＝m＝________＝mr＝mr4π2f2＝mωv.
3．方向：始终沿半径方向指向________，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的________提供，还可以由一个力的________提供．
三、离心现象
1．定义：做________运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需________的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动．
2．受力特点
(1)当Fn＝mω2r时，物体做匀速________运动．
(2)当Fn＝0时，物体沿________方向飞出．
(3)当Fn＜mω2r时，物体逐渐________圆心，做离心运动．
(4)当Fn＞mω2r时，物体将逐渐________圆心，做近心运动．
走进生活
如图所示为一种叫“魔盘”的娱乐设施．最初当“魔盘”转速较小时，人随“魔盘”一起转动，当“魔盘”的转速逐渐增大时，离转轴越远的人最先滑向“魔盘”的边缘，则
(1)当“魔盘”转速较小且匀速转动，而“魔盘”上所有人都不滑动时，所有人转动的角速度都相同．( )
(2)若人都不打滑．离转轴越远的人，线速度越大．( )
(3)提供人随“魔盘”转动的向心力为静摩擦力．( )
(4)在第(1)种情况下，所有人的向心力大小都相等．( )
(5)若人都不打滑，离转轴越远的人，向心加速度越大．( )
(6)随“魔盘”转速的增大，离转轴越远的人最先达到最大静摩擦力．( )
关键能力·精准突破
考点一 圆周运动的运动学问题
在讨论v、ω、a、r之间的关系时，应运用控制变量法．
1．对公式v＝ωr的理解
(1)当r一定时，v与ω成正比．
(2)当ω一定时，v与r成正比．
(3)当v一定时，ω与r成反比．
2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解
(1)在v一定时，a与r成反比．
(2)在ω一定时，a与r成正比．
例1[2022·辽宁卷] 2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2 000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金．
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动．若运动员加速到速度v＝9 m/s时，滑过的距离x＝15 m．求加速度的大小；
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入弯道，滑行半径分别为R甲＝8 m、R乙＝9 m，滑行速率分别为v甲＝10 m/s，v乙＝11 m/s，求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道．
[试答]
针 对 训 练
1．[2023·湖南长郡中学模拟]如图是某电力机车雨刮器的示意图，雨刮器由刮水片和雨刮臂连接而成，M、N为刮水片的两个端点，P为刮水片与雨刮臂的连接点，雨刮臂绕O轴转动的过程中，刮水片始终保持竖直，下列说法正确的是( )
A．P点的线速度始终不变
B．P点的向心加速度不变
C．M、N两点的线速度相同
D．M、N两点的运动周期不同
2．[2022·山东卷]无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3 m的半圆弧BC与长8 m的直线路径AB相切于B点，与半径为4 m的半圆弧CD相切于C点．小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD.为保证安全，小车速率最大为4 m/s.在ABC段的加速度最大为2 m/s2，CD段的加速度最大为1 m/s2.小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为( )
A.t＝(2＋) s，l＝8 m
B．t＝() s，l＝5 m
C．t＝(2＋) s，l＝5.5 m
D．t＝ s，l＝5.5 m
3．如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，小齿轮和后车轮共轴转动，大齿轮、小齿轮、后车轮的半径分别为2r、r、4r，A、B、C分别是其边缘上一点，它们加速度大小和周期之比分别是( )
A．1:2:1和1:2:2
B．1:2:8和2:1:4
C．1:2:8和2:1:1
D．1:2:1和2:1:1
规律方法 分析此类问题要“看”“找”“选”
考点二 匀速圆周运动的动力学问题
1．受力特点
(1)物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心．
(2)合外力充当向心力．
2．圆周运动动力学问题的分析思路
考向1 交通工具转弯
例2[2023·河北石家庄模拟](多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，内轨将受到轮缘的挤压
[解题心得]
考向2 圆锥摆模型
例3[2023·石家庄一模]智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱，如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示．可视为质点的配重质量为0.5 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m．水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可看成不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )
A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．若增大转速，腰带受到的合力变大
C．当θ稳定在37°时，配重的角速度为5 rad/s
D．在θ由37°缓慢增加到53°的过程中，绳子对配重做正功
[解题心得]
针 对 训 练
4.[人教版必修二P32例题改编]分别用两根长度不同的细线悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则在运动过程中，两小球相对位置关系示意图正确的是( )
5．随着我国综合国力的提高，近几年来我国的公路网发展迅猛．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m．路面倾角为θ，且tan θ＝0.4.取g＝10 m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度大小．
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5.且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度的大小．
第3讲 圆周运动
必备知识·自主落实
一、
1．(1)相等 (2)不变
2．快慢 m/s 转动快慢 rad/s 一周 s 方向 圆心 rω2 m/s2
二、
1．方向 大小
2．mrω2
3．圆心
4．合力 分力
三、
1．圆周 向心力
2．(1)圆周 (2)切线 (3)远离 (4)靠近
走进生活
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√
关键能力·精准突破
例1 解析：(1)根据速度位—移公式有v2＝2ax
代入数据可得a＝2.7 m/s2
(2)根据向心加速度的表达式an＝
可得甲、乙的向心加速度之比为＝＝
甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为t＝
代入数据可得甲、乙运动的时间为t甲＝ s，t乙＝ s
因t甲
1．解析：雨刮臂绕O轴转动的过程中，P点做圆周运动，所以P点的线速度与向心加速度方向变化，故A、B错误；由于刮水片始终保持竖直，即平动，平动物体可以看成质点，所以刮水片各点的线速度与P点的相同，所以M、N两点的线速度相同，故C正确；刮水片上各点的运动周期相同，所以M、N两点的运动周期相同，故D错误．
答案：C
2．解析：依题意知小车在BC段运动的最大速率为v1＝＝ m/s，在CD段运动的最大速率为v2＝＝2 m/s，所以经过BC段和CD段的最大速率为v2＝2 m/s，因此在BC段和CD段运动的最短时间t3＝ s＝ s，在B点的速率最大为v2＝2 m/s，设在AB段小车以最大加速度减速的距离为x，则根据匀变速直线运动规律得＝－2a1x，解得x＝3 m，t2＝＝1 s，所以匀速运动的最大距离l＝8 m－x＝5 m，运动时间t1＝ s，最短时间t＝t1+t2+t3＝s，B正确．
答案：B
3．解析：因为B、C同轴转动，所以周期与角速度相同．TB：TC＝1：1；B、A通过链条传动，线速度相同，v＝，TA：TB＝＝2：1，故TA：TB：TC＝2：1：1.由an＝ω2R，且＝1：1，所以anB：anC＝RB：RC＝1：4；an＝，且vB＝vA，所以anB：anA＝RA：RB＝2：1，故anA：anB：anC＝1：2：8.故选C.
答案：C
例2 解析：当火车以速率v转弯时，恰好由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可得mg tan θ＝m，解得r＝，v＝，该临界速度与火车质量无关，故当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变，A、B正确；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，火车有做离心运动的趋势，故外轨将受到轮缘的挤压，C错误；当火车速率小于v时，重力与支持力的合力大于所需的向心力，火车有做向心运动的趋势，内轨将受到轮缘的挤压，D正确．
答案：ABD
例3 解析：
设配重的质量为m、绳长为l、悬挂点P到腰带中心点O的距离为r1，对配重受力分析如图所示，由于配重做匀速圆周运动，其受到的合力提供向心力，即合力大小不变、方向改变，故选项A错误；由于腰带固定不动，因此腰带所受的合力始终为零，故选项B错误；根据牛顿第二定律有mg tan θ＝mω2(l sin θ＋r1)，代入数据可得ω＝ rad/s，故选项C错误；根据牛顿第二定律有mg tan θ＝m，由动能定理有WF－mgl(cos 37°－cos 53°)＝>0，可得绳子对配重做正功，故选项D正确．
答案：D
4．解析：
设小球质量为m，细线长为L，当细线与竖直方向夹角为θ时，受力分析图如图所示，小球做匀速圆周运动，有mg tan θ＝mω2L sin θ，整理得L cos θ＝是常量，即两小球时刻处于同一高度，故B正确．
答案：B
5．解析：(1)如图甲所示，汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，当不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力mg和路面的支持力F′N两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力．
则有mg tan θ＝
所以v0＝＝20 m/s.
(2)汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示．将支持力FN和摩擦力Ff进行正交分解，有
FN1＝FNcos θ，FN2＝FNsin θ，Ff1＝Ffsin θ，Ff2＝Ffcos θ
所以有mg＋Ff1＝FN1，FN2＋Ff2＝F向，且Ff＝μFN
由以上各式可解得向心力Fn＝mg
根据Fn＝m可得v＝15m/s.
答案：(1)20 m/s (2)15 m/s(共33张PPT)
第3讲 圆周运动
课 程 标 准
会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动．知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向．探究影响向心力大小的因素．能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力．了解生产生活中的离心现象及其产生的原因．
素 养 目 标
物理观念：知道描述圆周运动的物理量的概念．
科学思维：(1)掌握线速度、角速度、向心加速度的公式并能灵活应用．(2)会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法．
科学态度与责任：通过生活实例，培养运用物理知识解决实际问题的能力．
必备知识·自主落实
关键能力·精准突破
必备知识·自主落实
一、圆周运动及其描述
1．匀速圆周运动：
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长________，就是匀速圆周运动．实质是匀速率圆周运动
(2)速度特点：速度的大小________．方向始终与半径垂直．
相等
不变
2．描述圆周运动的物理量：
物理量 定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动______的物理量(v)
角速度 描述物体绕圆心________的物理量(ω)
快慢
m/s
转动快慢
rad/s
周期 物体沿圆周运动________的时间(T)
向心加速度 (1)描述速度______变化快慢的物理量(an) (2)方向指向________
一周
s
方向
圆心
rω2
m/s2
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的________，不改变速度的________．
满足牛顿第二定律
2．大小：Fn＝ma＝m＝________＝mr＝mr4π2f2＝mωv.
3．方向：始终沿半径方向指向________，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的________提供，还可以由一个力的________提供．
方向
大小
mrω2
圆心
合力
分力
三、离心现象
1．定义：做________运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需________的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动．
2．受力特点
(1)当Fn＝mω2r时，物体做匀速________运动．
(2)当Fn＝0时，物体沿________方向飞出．
(3)当Fn＜mω2r时，物体逐渐________圆心，做离心运动．
(4)当Fn＞mω2r时，物体将逐渐________圆心，做近心运动．
圆周
向心力
圆周
切线
远离
靠近
走进生活
如图所示为一种叫“魔盘”的娱乐设施．最初当
“魔盘”转速较小时，人随“魔盘”一起转动，
当“魔盘”的转速逐渐增大时，离转轴越远的人最
先滑向“魔盘”的边缘，则
(1)当“魔盘”转速较小且匀速转动，而“魔盘”
上所有人都不滑动时，所有人转动的角速度都相同．( )
(2)若人都不打滑．离转轴越远的人，线速度越大．( )
(3)提供人随“魔盘”转动的向心力为静摩擦力．( )
(4)在第(1)种情况下，所有人的向心力大小都相等．( )
(5)若人都不打滑，离转轴越远的人，向心加速度越大．( )
(6)随“魔盘”转速的增大，离转轴越远的人最先达到最大静摩擦力．( )
√
√
√
×
√
√
关键能力·精准突破
考点一 圆周运动的运动学问题
在讨论v、ω、a、r之间的关系时，应运用控制变量法．
1．对公式v＝ωr的理解
(1)当r一定时，v与ω成正比．
(2)当ω一定时，v与r成正比．
(3)当v一定时，ω与r成反比．
2．对a＝＝ω2r＝ωv的理解
(1)在v一定时，a与r成反比．
(2)在ω一定时，a与r成正比．
例1 [2022·辽宁卷] 2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2 000米接力决赛中，我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金．
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动．若运动员加速到速度v＝9 m/s时，滑过的距离x＝15 m．求加速度的大小；
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀
速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员同时进入
弯道，滑行半径分别为R甲＝8 m、R乙＝9 m，滑行速率分
别为v甲＝10 m/s，v乙＝11 m/s，求甲、乙过弯道时的向心
加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道．
解析：(1)根据速度位—移公式有v2＝2ax
代入数据可得a＝2.7 m/s2
(2)根据向心加速度的表达式an＝
可得甲、乙的向心加速度之比为＝＝
甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为t＝
代入数据可得甲、乙运动的时间为t甲＝ s，t乙＝ s
因t甲
1．[2023·湖南长郡中学模拟]如图是某电力机车雨刮器的示意图，雨刮器由刮水片和雨刮臂连接而成，M、N为刮水片的两个端点，P为刮水片与雨刮臂的连接点，雨刮臂绕O轴转动的过程中，刮水片始终保持竖直，下列说法正确的是( )
A．P点的线速度始终不变
B．P点的向心加速度不变
C．M、N两点的线速度相同
D．M、N两点的运动周期不同
答案：C
解析：雨刮臂绕O轴转动的过程中，P点做圆周运动，所以P点的线速度与向心加速度方向变化，故A、B错误；由于刮水片始终保持竖直，即平动，平动物体可以看成质点，所以刮水片各点的线速度与P点的相同，所以M、N两点的线速度相同，故C正确；刮水片上各点的运动周期相同，所以M、N两点的运动周期相同，故D错误．
2．[2022·山东卷]无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为3 m的半圆弧BC与长8 m的直线路径AB相切于B点，与半径为4 m的半圆弧CD相切于C点．小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过BC和CD.为保证安全，小车速率最大为4 m/s.在ABC段的加速度最大为2 m/s2，CD段的加速度最大为1 m/s2.小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为( )
A.t＝(2＋) s，l＝8 m
B．t＝() s，l＝5 m
C．t＝(2＋) s，l＝5.5 m
D．t＝ s，l＝5.5 m
答案：B
解析：依题意知小车在BC段运动的最大速率为v1＝＝ m/s，在CD段运动的最大速率为v2＝＝2 m/s，所以经过BC段和CD段的最大速率为v2＝2 m/s，因此在BC段和CD段运动的最短时间t3＝ s＝ s，在B点的速率最大为v2＝2 m/s，设在AB段小车以最大加速度减速的距离为x，则根据匀变速直线运动规律得＝－2a1x，解得x＝3 m，t2＝＝1 s，所以匀速运动的最大距离l＝8 m－x＝5 m，运动时间t1＝ s，最短时间t＝t1+t2+t3＝s，B正确．
3．如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，小齿轮和后车轮共轴转动，大齿轮、小齿轮、后车轮的半径分别为2r、r、4r，A、B、C分别是其边缘上一点，它们加速度大小和周期之比分别是( )
A．1:2:1和1:2:2
B．1:2:8和2:1:4
C．1:2:8和2:1:1
D．1:2:1和2:1:1
答案：C
解析：因为B、C同轴转动，所以周期与角速度相同．TB：TC＝1：1；B、A通过链条传动，线速度相同，v＝，TA：TB＝＝2：1，故TA：TB：TC＝2：1：1.由an＝ω2R，且＝1：1，所以anB：anC＝RB：RC＝1：4；an＝，且vB＝vA，所以anB：anA＝RA：RB＝2：1，故anA：anB：anC＝1：2：8.故选C.
规律方法 分析此类问题要“看”“找”“选”
考点二 匀速圆周运动的动力学问题
1．受力特点
(1)物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心．
(2)合外力充当向心力．
2．圆周运动动力学问题的分析思路
考向1 交通工具转弯
例2 [2023·河北石家庄模拟](多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，内轨将受到轮缘的挤压
答案：ABD
解析：当火车以速率v转弯时，恰好由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可得mg tan θ＝m，解得r＝，v＝，该临界速度与火车质量无关，故当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变，A、B正确；当火车速率大于v时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，火车有做离心运动的趋势，故外轨将受到轮缘的挤压，C错误；当火车速率小于v时，重力与支持力的合力大于所需的向心力，火车有做向心运动的趋势，内轨将受到轮缘的挤压，D正确．
考向2 圆锥摆模型
例3 [2023·石家庄一模]智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱，如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示．可视为质点的配重质量为0.5 kg，绳长为0.5 m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m．水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可看成不动，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，
下列说法正确的是( )
A．匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B．若增大转速，腰带受到的合力变大
C．当θ稳定在37°时，配重的角速度为5 rad/s
D．在θ由37°缓慢增加到53°的过程中，绳子对配重做正功
答案：D
解析：设配重的质量为m、绳长为l、悬挂点P到腰带中心点O的距离为r1，对配重受力分析如图所示，由于配重做匀速圆周运动，其受到的合力提供向心力，即合力大小不变、方向改变，故选项A错误；由于腰带固定不动，因此腰带所受的合力始终为零，故选项B错误；根据牛顿第二定律有mg tan θ＝mω2(l sin θ＋r1)，代入数据可得ω＝ rad/s，故选项C错误；根据牛顿第二定律有mg tan θ＝m，由动能定理有WF－mgl(cos 37°－cos 53°)＝>0，
可得绳子对配重做正功，故选项D正确．
针 对 训 练
4.[人教版必修二P32例题改编]分别用两根长度不同的细线悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则在运动过程中，两小球相对位置关系示意图正确的是( )
答案：B
解析：设小球质量为m，细线长为L，当细线与竖直方向夹角为θ时，受力分析图如图所示，小球做匀速圆周运动，有mg tan θ＝mω2L sin θ，整理得L cos θ＝是常量，即两小球时刻处于同一高度，故B正确．
5．随着我国综合国力的提高，近几年来我国的公路网发展迅猛．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100 m．路面倾角为θ，且tan θ＝0.4.取g＝10 m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度大小．
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5.且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度的大小．
解析：(1)如图甲所示，汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，当不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力mg和路面的支持力F′N两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力．
则有mg tan θ＝
所以v0＝＝20 m/s.
(2)汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示．将支持力FN和摩擦力Ff进行正交分解，有
FN1＝FNcos θ，FN2＝FNsin θ，Ff1＝Ffsin θ，Ff2＝Ffcos θ
所以有mg＋Ff1＝FN1，FN2＋Ff2＝F向，且Ff＝μFN
由以上各式可解得向心力Fn＝mg
根据Fn＝m可得v＝15m/s.课时分层作业(十七) 圆周运动
基础强化练?
1．[2022·浙江6月]下列说法正确的是( )
A．链球做匀速圆周运动过程中加速度不变
B．足球下落过程中惯性不随速度增大而增大
C．乒乓球被击打过程中受到的作用力大小不变
D．篮球飞行过程中受到空气阻力的方向与速度方向无关
2．如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动．汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3s，自动识别系统的反应时间为0.3s；汽车可看成高1.6m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为( )
A．rad/sB．rad/s
C．rad/sD．rad/s
3.
如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，物块P所受摩擦力方向为c方向
B．当转盘匀速转动时，物块P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为b方向
4.
(多选)如图所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动．已知图中双向四车道的总宽度为15m，内车道边缘间最远的距离为150m．假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7.g取10m/s2.则汽车的运动过程中( )
A．只受重力和地面支持力的作用
B．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供
C．所受的合力可能为零
D．速度不能超过3m/s
5．如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，LED灯就会发光．下列说法正确的是( )
A．安装时A端比B端更远离圆心
B．高速旋转时，重物由于受到离心力的作用拉伸弹簧从而使触点接触，电路导通，LED灯发光
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
6．(多选)如图所示，两个圆锥形容器内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，两个圆锥形容器的母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个完全相同的小球在两容器内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．A、B球受到的支持力之比为∶3
B．A、B球的向心力之比为∶1
C．A、B球运动的角速度之比为3∶1
D．A、B球运动的线速度之比为1∶1
7.
列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tanα≈sinα)，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨
D．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
8.
[2023·河南名校一测](多选)如图所示，现有一根不可伸长的轻质细线，线长L＝0.5m.线的一端固定于O点，另一端系着质量m＝1kg的可视为质点的小球，O点距地面的距离为1m，如果使小球绕OO′轴在水平面内做圆周运动，当细线承受的拉力为12.5N时，细线恰好断裂，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则( )
A．当细线承受的拉力恰为最大时，线与水平方向的夹角为37°
B．当细线承受的拉力恰为最大时，小球的角速度为5rad/s
C．线断裂后，小球做平抛运动的初速度大小为1.5m/s
D．线断裂后，小球落地点与悬点的水平距离为0.3m
?能力提升练?
9.
(多选)卡文迪什扭秤实验利用平面镜反射实现了对微小转动的放大．如图所示，一平面镜位于O点，O点到竖直墙壁的距离为d，P为墙上一点．OP垂直于墙壁，平面镜正在绕过O点垂直于纸面的轴以角速度ω匀速顺时针旋转．激光笔从某一固定的位置发出激光射向O点，激光经平面镜反射后在墙上形成光斑Q.OPQ始终在同一竖直平面内，关于光斑Q的速度v，下列说法正确的是( )
A．当Q与P重合时，v＝ωd
B．当Q与P重合时，v＝2ωd
C．当Q到P的距离为d时，v＝2ωd
D．当Q到P的距离为d时，v＝4ωd
10.
[2022·河北卷](多选)如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中．依次给内圈和外圈上的盆裁浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示．花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力，下列说法正确的是( )
A．若h1＝h2，则v1∶v2＝R2∶R1
B．若v1＝v2，则h1∶h2＝R∶R
C．若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若h1＝h2，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则ω1＝ω2
11.
如图，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动，质量相等的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止．A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α、β，且α>β，则下列说法正确的是( )
A．A的向心力等于B的向心力
B．A、B受到的摩擦力可能同时为0
C．若ω缓慢增大，则A、B受到的摩擦力一定都增大
D．若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向下的摩擦力
课时分层作业（十七）
1．解析：链球做匀速圆周运动过程中加速度的方向时刻改变，选项A错误；物体的惯性只与物体的质量有关，故足球下落过程中惯性不随速度增大而增大，选项B正确；乒乓球被击打过程中受到的作用力大小在变化，选项C错误；篮球飞行过程中受到空气阻力的方向与速度方向相反，选项D错误．
答案：B
2．解析：由题意可知，在3.3s－0.3s＝3.0s的时间内，横杆上距离O点0.6m的点至少要抬高1.6m－1.0m＝0.6m，即横杆至少转过，则角速度ω＝＝rad/s，故选D.
答案：D
3．解析：当转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向沿c方向指向圆心O点，A正确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故物块P所受摩擦力方向在a、c方向之间，即物块P所受摩擦力方向不可能为a方向，C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，即物块P所受摩擦力方向可能为d方向，不可能为b方向，D错误．
答案：A
4．解析：汽车在水平面内做匀速圆周运动，合外力提供向心力，且始终指向圆心，则静摩擦力提供向心力，所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供，故A、C错误，B正确；汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7，即f＝0.7mg，根据牛顿第二定律有f＝m，当r最大时，有最大速度v，r＝×150m＋15m＝90m，解得v＝3m/s，故D正确．
答案：BD
5．解析：要使物体做离心运动，MN接触，则安装A端靠近圆心，故A错误；转速越大，所需要的向心力越大，弹簧拉伸越长，MN接触就会发光，不能说物体受到离心力，故B错误；在最低点时F1－mg＝mω2r.解得ω＝增大质量，可以使LED灯在较低转速下也能发光，C正确；在最高点时F2＋mg＝mω2r，匀速行驶时，最低点弹簧弹力大于最高点弹簧弹力，因此最高点不一定发光，故D错误．
答案：C
6．解析：设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsinθ＝mg，FNA∶FNB＝∶1，选项A错误；F＝，FA∶FB＝3∶1，选项B错误；小球在两容器内壁等高处做圆周运动，则半径R＝htanθ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，选项D正确．
答案：CD
7．解析：列车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，则m＝mgtanα＝mg，解得v＝，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v<时，转弯所需的合力F
8．解析：
当细线承受的拉力恰为最大时，对小球受力分析如图所示．竖直方向上有Fcosθ＝mg，解得θ＝37°，则线与水平方向的夹角为53°，故A错误；当线承受的拉力最大时，小球做圆周运动的向心力为F向＝mgtan37°＝mω2Lsin37°，解得ω＝5rad/s，故B正确；线断裂后，小球做平抛运动，则其平抛运动的初速度为v0＝ωLsin37°＝1.5m/s，故C正确；小球水平抛出后，竖直方向有y＝h－Lcos37°＝gt2，水平方向有x＝v0t，由几何关系得d＝，联立解得d＝0.6m，故D错误．
答案：BC
9．解析：平面镜以角速度ω匀速旋转，反射光旋转的角速度为2ω，当Q与P重合时，v＝2ωd，A错误，B正确．当Q到P的距离为d时，反射光长度为d，墙上光斑Q的速度v可分解为垂直于反射光方向的速度v1和沿着反射光方向的速度v2，则有v1＝vsin45°＝v，由圆周运动规律可知v1＝2ωd，可得v＝4ωd，C错误，D正确．
答案：BD
10．解析：根据平抛运动的规律，h＝gt2，R＝vt
解得R＝v
可知若h1＝h2，则v1∶v2＝R1∶R2
若v1＝v2，则h1∶h2＝R∶R，A错，B正确；
若ω1＝ω2，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1＝v2，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，C错误：设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，若ω1＝ω2，则喷水管转动一周的时间相等，因h相等，则水落地的时间相等，则t＝相等；在圆周上单位时间内单位长度的水量为Q0＝＝＝＝相等，即一周中每个花盆中的水量相同，D正确．
答案：BD
11．解析：物块A的向心力FA＝mω2Rsinα，物块B的向心力FB＝mω2Rsinβ，由于α>β，因此A的向心力大于B的向心力，A错误；假设A、B所受摩擦力同时为零，对A进行受力分析可知FNAcosα＝mg，FNAsinα＝m（ω）Rsinα，整理得ωA＝，同理可得ωB＝，ωA≠ωB，假设不成立，因此两物块受到的摩擦力不可能同时为0，B错误；当角速度ω很小时，摩擦力可能沿半球形容器面向上，当角速度ω缓慢增大时，摩擦力先减小到零，再反向增大，C错误；若A不受摩擦力，此时有ω＝，B受到的向心力大小为FB＝>mgtanβ，仅靠支持力的水平分力不足以提供向心力，因此B受到的摩擦力沿容器壁向下，D正确．
答案：D
