2022-2023学年河北省沧州市献县重点中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 在中，的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 将一矩形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，若折叠后与在同一条直线上，则的度数( )
A. 大于
B. 小于
C. 等于
D. 不能确定
4. 在八年级某次体育课的排球垫球测试中，其中位同学的垫球数量单位：个分别是，，，，，，，，关于这组数据，下列说法不正确的是( )
A. 中位数是 B. 平均数是
C. 众数是 D. 最大值与最小值的差是
5. 如图， 的对角线，相交于点，，，则 的周长为( )
A.
B.
C.
D.
6. 小明在探究弹簧的性质时，得出了弹簧受到的拉力与弹簧长度的关系如图所示以下说法不正确的是( )
A. 弹簧原长
B. 弹簧受到的拉力为时，弹簧的长度为
C. 弹簧受到的拉力为时，弹簧比原长伸长了
D. 当弹簧受到的拉力满足时，弹簧的长度随拉力的增大而增大
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. 写出一组勾股数即能够成为直角三角形三条边长的三个正整数：______ ．
8. 如图是甲、乙两人次投篮成绩统计图每人每次投球个，则 ______ 填“”，“”或“”．
9. 个月的婴儿生长发育非常快，他们的体重克与月龄月之间的关系可以用来近似地表示，其中是婴儿出生时的体重若某个婴儿出生时的体重是克，则体重是克时月龄是______ ．
10. 甲同学参加某考试的初试成绩为分，复试成绩为分，若按初试成绩占，复试成绩占计算综合成绩，则甲同学参加该考试的综合得分是______ 分
11. 某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完图中的线段，分别表示该工作室每天的成本单位：元，收入单位：元与销售量单位：个之间的函数关系若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是______ ．
12. 如图，在 中，，点在边上以的速度从点出发在上往返运动，点在边上以的速度从点向点运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动点同时也停止运动，设运动时间为秒，若四边形是平行四边形，则的值是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
计算：．
14. 本小题分
如图，在 中，，是的中点，连接，过点作交于点求证：四边形是矩形．
15. 本小题分
下面是小乐同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
计算：
解：原式第步
第步
第步
第步
任务：
第______ 步开始出错，错误的原因是______ ．
计算的正确结果是______ ．
16. 本小题分
夏日的一天，小贤同学在家注意到桌面摆台上的温度计，其实物示意图如图所示，在桌面测量管的左侧刻度是摄氏温度，右侧刻度是华氏温度，他在好奇心的驱使下猜想摄氏温度与华氏温度具有某种关系经过温度数据变化发现：摄氏温度的变化情况与华氏温度的变化情况是成一次函数关系的设摄氏温度为，华氏温度为．
结合图中数据，求出与之间的函数表达式．
当华氏温度的数值与摄氏温度的数值的差为时，请求出此时的摄氏温度．
17. 本小题分
在 中，请仅用无刻度的直尺，按要求完成以下作图保留作图痕迹．
如图，点在边上，且，作的平分线．
如图，点，分别在边，上，且，连接，过点作的垂线．
18. 本小题分
如图，一工厂位于点河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点点，，在一条直线上，并新修一条路，测得，，．
是否为从工厂到河边最近的一条路即与是否垂直？请说明理由．
求的长．
19. 本小题分
课本再现：如图，在中，，分别是，的中点，则线段与边的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
拓展应用：如图，在平行四边形中，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，连接求证：．
20. 本小题分
北京时间年月日时分，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，完成出舱活动全部既定任务，中国空间站全面建成后的首次出舱活动取得圆满成功某校组织了“航天梦中国梦”知识竞赛，每小题分，满分分，现从七、八年级学生中各随机抽取了人的成绩进行统计，绘制了如图统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
将该表补充完整；
平均数分 中位数分 众数分
七年级 ______
八年级 ______ ______
若成绩在分以上含分为优秀，七、八年级共有名学生，请估计七、八年级在本次知识竞赛中成绩为优秀的学生人数．
你认为七、八年级哪个年级的学生加识竞赛的成绩更好，请说明理由．
21. 本小题分
甲、乙两名同学在同一小区居住，甲同学骑自行车回家，乙同学步行回家，如图，这是他们放学回家过程中离小区的距离与花费时间之间的函数示意图，在回家过程中，甲同学的自行车出现故障，修理了一段时间后没有修好，恰好与乙同学相遇，最后一起按乙同学步行的速度回家．
甲同学修理自行车所停留的时间为______ 分钟．
求线段所表示的函数表达式．
求甲同学在自行车出故障前的骑行速度．
22. 本小题分
惠东双月湾沙滩是一个理想的露营场地，许多来自五湖四海的游客会选择露营一个户外用品店准备采购一批帐篷进行销售，已知每顶普通帐篷的采购价为元，每顶防晒帐篷的采购价是普通帐篷的倍，户外用品店拿出元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷，设防晒帐篷采购顶，普通帐篷采购顶．
求与之间的函数解析式．
防晒帐篷的售价定为元顶，普通帐篷的售价定为元顶若采购的普通帐篷不少于顶且采购的普通帐篷数量不超过防晒帐篷数量，请你制定采购方案，使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，并求出最大利润．
23. 本小题分
学习完一次函数内容后，小明同学想探究函数：的图象情况他通过列表得到如下几组数据：
表格中 ______ ， ______ ．
结合表格，请在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的最小值．
若一次函数与函数的图象有个交点，请求出的取值范围．
24. 本小题分
如图，在正方形中，是边上一点，连接，并按照如图所示的方式构建等腰直角三角形，其中，过点作的垂线，垂足为，连接．
求证：≌．
如图，猜想与之间的数量关系，并说明理由；
如图，当是延长线上一点，题干中其他条件不改变时，中的结论是依然成立？请说明理由．
若为直线上一点，为平面内一点，正方形的边长为，等腰直角三角形的腰长为，当以，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由折叠的性质得，，
，
，
即，
故选：．
由折叠的性质得，，再根据平角的定义得出，从而得出，即可得出的度数．
本题考查了折叠的性质，角的计算，熟知折叠前后两个图形全等是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：这组数据的中位数为：，选项A说法正确，不符合题意；
平均数是：，选项B说法错误，符合题意；
这组数据中出现的次数最多，故众数是，选项C说法正确，不符合题意；
这组数据最大值与最小值的差是，选项D说法正确，不符合题意．
故选：．
根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
本题考查了极差、中位数、众数及平均数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的定义．
5.【答案】
【解析】解： 的对角线，相交于点，
，，，
，
，是的中位线，
，
的周长．
故选：．
由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得出的长，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，证得为的中位线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意得：
弹簧原长，选项A说法正确，不符合题意；
弹簧受到的拉力为时，弹簧的长度为，选项B说法正确，不符合题意；
弹簧受到的拉力每增加，弹簧比原长伸长，
所以弹簧受到的拉力为时，弹簧比原长伸长了，选项C说法错误，符合题意；
当弹簧受到的拉力满足时，弹簧的长度随拉力的增大而增大，选项D说法错误，符合题意．
故选：．
由图象可知弹簧原长，弹簧受到的拉力为时，弹簧的长度为，由此可知弹簧受到的拉力每增加，弹簧比原长伸长进而得出答案．
本题考查了函数的图象，解答本题明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】，，答案不唯一
【解析】解：根据勾股数的概念得，勾股数可以为：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，等，任选组即可．
故答案为：，，答案不唯一．
满足的三个正整数，称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多组，随机写出一组则可．
本题考查勾股数，比较简单．
8.【答案】
【解析】解：由折线统计图可得，
乙的波动大，甲的波动小，故，
故答案为：．
根据折线统计图的波动情况可判断甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定，即方差的大小．
本题考查折线统计图和方差，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：根据题意得：
，
解得，
故答案为：．
根据已知列出关于的一元一次方程，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出关于的一元一次方程．
10.【答案】
【解析】解：
分，
即甲同学参加该考试的综合得分是分，
故答案为：．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得甲的综合成绩．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．
11.【答案】
【解析】解：设成本与销售量之间的函数关系为，
将点，代入，得，
解得：，
，
设收入与销售量之间的函数关系为，
将点代入得，，
解得：，
，
当该工作室某一天既不盈利也不亏损时，即，
，
解得：，
若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则这天生产工艺品的个数是．
故答案为：．
分别利用待定系数法求出和关于的函数关系式，根据某一天既不盈利也不亏损，即列出方程，求解即可．
本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法正确求出一次函数解析式，理解既不盈利也不亏损时是解题关键．
12.【答案】或
【解析】解：四边形为平行四边形，
，
当时，四边形是平行四边形，
或，
解得或，
综上所述：满足条件的的值为或，
故答案为：或．
由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时，由此构建方程，可得结论．
考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，分弄清在上往返运动情况是解决此题的关键．
13.【答案】解：原式
．
【解析】先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
14.【答案】证明： ，
，
又，
四边形是平行四边形，
是的中点，
，
，
，
四边形是矩形．
【解析】先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得即可证明结论．
本题主要考查了矩形的判定、等腰三角形的性质等知识点，掌握一个内角是直角的平行四边形是矩形成为解答本题的关键．
15.【答案】 没有平方
【解析】解：第步开始出错，错误的原因是没有平方，
故答案为：，没有平方；
．
故答案为：．
观察阅读材料可得答案；
写出正确的计算过程，即可得到答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
16.【答案】解：设一次函数表达式为，
由温度计的示数得，；时，．
将其代入，得，
解得，
所以；
因为华氏温度数值与摄氏温度数值的差为，
所以，
即，
解得：，
所以此时的摄氏温度为．
【解析】根据一次函数解析式的特点，可得出方程组，即可求出解析式；
根据当华氏温度数值与摄氏温度数值的差为时，，即可求出此时的摄氏温度．
本题考查一次函数解决实际问题，解题的关键就是利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，写出解析式．
17.【答案】解：即为所求；
即为所求．
【解析】根据菱形的性质作图；
根据平行四边形的性质及菱形的性质作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键．
18.【答案】解：是从工厂到河边最近的一条路，
理由是：在中，
，
，
，
是直角三角形，，
与垂直，即是从工厂到河边最近的一条路；
设千米，
在中，由已知得千米，千米，千米，
由勾股定理得：，
，
解这个方程，得，
答：的长为千米．
【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．
19.【答案】
【解析】解：，分别是，上的中点，
为的中位线，
，，
故答案为：，；
证明：如图，连接，与交于点，
四边形为平行四边形，为对角线，的交点，
，
又，
是的中位线，
，
即．
根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定定理和性质定理证明；
根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理计算．
本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：七年级成绩的中位数为分，
八年级成绩的平均数为分，众数为分，
故答案为：、、；
名，
答：估计七、八年级在本次知识竞赛中成绩为优秀的学生人数由人；
七年级学生加识竞赛的成绩更好，
因为七年级学生知识竞赛成绩的平均数大与八年级，
所以七年级学生平均水平高答案不唯一．
根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
总人数乘以样本中七、八年级在本次知识竞赛中成绩为优秀的学生人数所占比例即可；
根据平均数、中位数的意义求解即可．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数的概念．
21.【答案】
【解析】解：根据图象可知，甲同学修理自行车所停留的时间为分钟，
故答案为：；
设线段的函数表达式为，
则，
解得，
线段所表示的函数表达式为；
当时，，
甲在分钟走了米，
米分钟，
甲同学在自行车出故障前的骑行速度为米分．
根据图象即可求出；
用待定系数法即可求出；
把代入，即可求出甲在分钟内走的路程，即可求解．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
22.【答案】解：依题意得，，
整理得，，
答：与之间的函数解析式为．
设销售完采购的帐篷时所获得的利润为元，
依题意得，
，
，
，
，
随的增大而增大，
当时，，
把代入，
答：普通帐篷的采购顶，晒帐篷的采购顶时利润最大，最大利润为元．
【解析】按题意列出关系式，再整理成函数解析式即可；
列出利润与普通帐篷数的函数关系式，求出取值范围，求出利润的最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，函数最值的分析是解题关键．
23.【答案】
【解析】解：当时，，
．
当时，，
．
故，表格中，．
函数的图象如图所示，
由图象可知，该函数的最小值是．
在平面直角坐标系中画出函数、与函数的图象，如图所示，
由图象可知，当时，一次函数与函数的图象有个交点．
把值代入函数对应的关系式中即可求出，的值．
根据表格在平面直角坐标系中描点、连线，即可画出图象，从图象上可以求出最小值．
画出函数的图象和的图象，平移的图象即可找到两个函数图象有个交点时的取值范围．
本题考查新定义函数的性质探究，根据表格画出函数图象是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
解：理由为：
≌，
，，即，
，
，则，
；
依然成立，理由为：
由知，，，，，
≌，
，，即，
，
，则，
；
解：如图，连接，
由题意，，，，，
，，
由知，，；
过作与，则，
四边形为正方形，
满足条件的与重合，，，
连接，则，
延长使，延长使，连接，，
则四边形平行四边形，
，，
，，
四边形是正方形，满足题意，
，，
、、共线，
，
综上，满足题意的的长为或．
【解析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可证得结论；
根据全等三角形的性质可证得，利用勾股定理可得结论；
仍然证明≌得到可得结论；
根据题意画出图形，连接，先根据已知条件和勾股定理求得题意，，由知，，；过作与，证明四边形为正方形，则满足条件的与重合，连接，利用勾股定理求解；延长使，延长使，连接，，四边形是正方形，满足题意，求解即可．
本题主要考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用全等三角形的性质探究边角关系是解答的关键．
第1页，共1页
