22.2二次函数与一元二次方程
一、填空题
1．已知抛物线的部分图象如图所示，则方程的解是
2．已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程 的根为 ．
3．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为 ，则关于x的方程 的解为 ．
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0）、（3，0）两点，以下四个结论正确的是（用序号表示） .
（ 1 ）图象的对称轴是直线x=1（2）当x＞1时，y随x的增大而减小（3）一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣1和3（4）当﹣1＜x＜3时，y＜0.
5．已知关于x的一元二次方程有实根x1，x2，且x1＜x2，现有下列说法： ①当m=0时，x1=2，x2=3；②当m>0时，2＜x1＜x2＜3；③；④二次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）. 其中正确的有 .
6．设二次函数是常数，，如表列出了的部分对应值
x ... -5 -3 1 2 3 ...
y ... -2.79 m -2.79 0 n ...
则方程的解是 方程的解是
7．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为
8．抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
9．若关于x的一元二次方程 （t为实数）在 的范围内有解，则t的取值范围是 ．
10．若m、n（m
11．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
13．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A．-1
14．二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C．
D．一元二次方程的近似解为，
15．已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
… -1 0 1 2 3 …
… 3 0 -1 3 …
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线的顶点坐标为
B．当时，y随x增大而增大
C．方程的根为0和2
D．当时，的取值范围是
16．抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3
17．下表是部分二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
-1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程的一个根在（ ）范围之间。
A．4~1.1 B．1.1~1.2 C．1.2~1.3 D．1.3~1.4
18．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
… -2 -1 0 1 2 …
… 0 4 6 6 4 …
则下列说法中正确的个数是（ ）
①方程有两根为，；②抛物线与y轴的交点为；③抛物线的对称轴是直线；④抛物线开口向上；
A．1 B．2 C．3 D．4
19．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，且p＜q，则p，q，m，n的大小关系是（ ）
A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n
三、解答题
20．若二次函数的对称轴为直线，求关于x的方程的解.
21．已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
22．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A和点B的坐标．
23．已知关于的方程．
（1）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数的图象与轴有两个交点．
24．在平面直角坐标系 中，抛物线 .
（1）若抛物线过点 ，求二次函数的表达式；
（2）指出（1）中x为何值时y随x的增大而减小；
（3）若直线 与（1）中抛物线有两个公共点，求m的取值范围.
25．如图，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点B，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D，E，求线段的长．
26．已知二次函数y1＝ax2+bx+1，y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，求a的值；
（2）若函数y2的图象过点（b，9a），求函数y1的图象与x轴的交点个数；
（3）设函数y1，y2的图象两个交点的纵坐标分别为m，n，求证：|m﹣n|的值与a无关．
答案解析部分
1．【答案】或
2．【答案】 ，
3．【答案】 ，
4．【答案】（1）（2）（3）
5．【答案】①③
6．【答案】，；，
7．【答案】-3
8．【答案】k≤ 且k≠1
9．【答案】
10．【答案】m＜a＜b＜n
11．【答案】B
12．【答案】D
13．【答案】D
14．【答案】A
15．【答案】D
16．【答案】C
17．【答案】B
18．【答案】B
19．【答案】A
20．【答案】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得.
将代入中，得：，
解得，.
21．【答案】解：∵抛物线经过点，，，
∴设抛物线的表达式为，
将点代入得：，解得：，
∴.
∴该抛物线的函数关系式为.
22．【答案】解：当 时， ，
解得 ， ，
所以 ， ．
23．【答案】（1）解：把代入得，
解得，
原方程为，
，
．
（2）证明：令，则，
，
二次函数图象与轴有2个交点．
24．【答案】（1）解：把点A（-1，6），代入 得：
解得
∴二次函数的表达式
（2）解：二次函数 对称轴
∵a=1>0，
∴二次函数在对称轴左边y随x的增大而减小
∴当 是y随x的增大而减小；
（3）解：∵直线 与 有两个公共点
∴一元二次方程 有两不等根
即一元二次方程 有两不等根
∴
∴
解得
25．【答案】（1）解：将代入得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得，，
解得：，
故抛物线的表达式为：
（2）解：∵平行于x轴的直线与抛物线分别交于点D、E，
∴，
解得或，
∴，，
∴．
26．【答案】（1）解：∵y1＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0），
∴对称轴为x=，
∵y2＝x2+bx+a（a，b是实数，a≠0），
∴对称轴为x=，
又∵若b≠0，且函数y1和函数y2的对称轴关于y轴对称，
∴+（）＝0，
∴a＝-1.
（2）解：把点（b，9a）代入y2＝x2+bx+a，得b2+b·b+a＝9a．
整理，得：b2-4a＝0，
令y1＝0，则ax2+bx+1＝0，
∴△＝b2-4a·1＝0，
∴二次函数y1＝ax2+bx+1的图象与x轴只有一个交点.
（3）证明：令y1＝y2，则ax2+bx+1＝x2+bx+a，
解得x＝±1，
∴两个交点横坐标为1和-1，
∴m＝a+b+1，n＝a-b+1，
∴|m-n|＝|（a+b+1）-（a﹣b+1）|＝|2b|，
∴|m-n|的值与a无关．
