2022-2023学年湖北省十堰市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 菱形和矩形一定都具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相平分且相等
4. 下列各命题的逆命题成立的是( )
A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是直角，那么这两个角相等
5. 某班有人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计，由于小刚没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小刚进行了补测，成绩为分，关于该班人的测试成绩，下列说法正确的是( )
A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变
6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点若，则边的长是( )
A.
B.
C.
D.
7. 定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是( )
A. 随增大而减小 B. 该函数图象经过点
C. 当时， D. 该函数不经过第四象限
8. 如图，已知直线与相交于点，则根据图中信息判断不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9. 如图，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的关系图象，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，直线分别与轴、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处，以下结论：
；
直线的解析式为；
点；
若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是，
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______．
12. 已知一组从小到大排列的数据：，，，，，的平均数与中位数都是，则这组数据的众数是___________．
13. 如图，在菱形中，的垂直平分线交对角线于点，垂足为点，连接、，若，则______．
14. 若点在一次函数的图象上，则代数式的值是______ ．
15. 如图，在矩形内画了一些直线，已知，，四边形的面积分别是，，，那么图中阴影部分的面积是______ ．
16. 如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
如图， 的对角线相交于点，点、分别是，的中点，求证：．
19. 本小题分
同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端离地面的距离为，秋千静止时座位离地面的距离是当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为你能求出秋千荡出的水平距离是多少吗？
20. 本小题分
年月，中共中央胜利召开了第二十次全国代表大会，我县组织全体学生开展了“学习二十大、争做好队员”的主题阅读活动，受到了各校的广泛关注和同学们的积极响应某校为了解同学们的阅读情况，随机抽查了部分学生的在某一周的主题阅读文章的篇数，并制成了如图所示的统计图．
某校抽查的学生阅读篇数统计表
文章阅读篇数
人数
某校抽查的学生阅读人数统计
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
被抽查的学生人数是______ 人， ______ ；
本次抽查的学生阅读篇数的中位数是______ ，众数是______ ；
求本次抽查的学生平均每人阅读的篇数；
若该校共有学生人，请估计该校学生在本周内阅读篇数为篇的人数．
21. 本小题分
如图，在中，，点是的中点，连接分别以点、为圆心，的长为半径在外画弧，两弧交于点，连接，，过点作于点．
求证：四边形为菱形；
若，，求的长．
22. 本小题分
如图，一次函数的图象过点，与正比例函数的图象交于点，过点作轴于点．
求的面积；
若点在轴上，且，求线段的长度．
23. 本小题分
今年的月日是世界第个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书经调查，甲种图书费用元与购进本数之间的函数关系如图所示，乙种图书每本元．
求与之间的函数关系式；
现学校准备购进本图书，且两种图书均不少于本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多少元？
24. 本小题分
正方形，点、、分别在、、上，与相交于点．
如图，，求证：；
如图，平移图中线段，使点与点重合，点在延长线上，连接，取的中点，连接，试探究线段和的数量关系并证明你的结论；
如图，，边长，，则的长为______ 直接写出结果．
25. 本小题分
如图所示，直线与轴、轴分别交于、两点，点为轴正半轴上一点，且．
请直接写出点、的坐标及直线的解析式；
如图所示，点是的中点，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，求出点的坐标；
点是直线上一点，过点作轴，交直线于点，点为轴上一点，点为平面直角坐标系内一点，当以点、、、为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，最简二次根式的定义等知识点，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开方的因数和因式．
2.【答案】
【解析】解：．不能合并为一项，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．故本题选C．
菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
熟悉菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，不符合题意；
B、逆命题是绝对值相等的两个数相等，不符合题意；
C、逆命题是同位角相等的两条直线平行，符合题意；
D、逆命题是相等的两个角都是直角，不符合题意．
故选：．
首先写出各个命题的逆命题，然后在进一步判断逆命题的真假．
本题考查逆命题的真假性，是易错题．
学生易错易混点在于本题要求判断的是逆命题真假性，学生容易混淆只判断原命题的真假．
5.【答案】
【解析】解：小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分，
该班人的测试成绩的平均分为分，
新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加，
新数据方差变小，
故选：．
根据平均数，方差的定义计算即可．
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】解：矩形，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
或者舍，
，
．
故选：．
根据矩形性质和，可证得：∽，由对应线段成比例即可求得的值，最后根据勾股定理计算即可．
本题考查了矩形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
．
A.随增大而减小，正确，故本选项符合题意；
B.当时，，错误，故本选项不符合题意；
C.当时，，错误，故本选项不符合题意；
D.该函数图象经过第一、二、四象限，错误，故本选项不符合题意；
故选：．
根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可．
本题考查了函数的图象以及反比例函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，不等式的解集为，
故选：．
不等式的解集即为一次函数图象在一次函数图象上方或交点处的自变量的取值范围，据此求解即可．
本题主要考查了根据两直线的交点确定不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由图得，当点运动到点时，运动时间为，即，
四边形为菱形，
，此时，即的面积为，
如图，作于，
，即，
，
由图得，当点运动到点时的路程为，
，
，
在中，，即，
．
故选：．
结合图象求出菱形边长及长，根据三角形面积求出，再根据勾股定理依次求出、即可．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，菱形性质及勾股定理的应用是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：令，则，
，
，
令，得，
，，
在中，，
故正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
点，
设直线的解析式为，
把点和分别代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
故正确；
如图，过作于，
根据三角形面积可得：，
在中，，
，
点坐标为，
故不正确；
如图，
当以点、、、为顶点的四边形为菱形时，轴，
点的纵坐标与点的纵坐标相等，
把代入直线中，得，
点，
故不正确；
综上，正确的结论有，
故选：．
根据一次函数的性质和翻折的性质以及勾股定理，菱形的性质对每个结论进行分析后再作出选择．
本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，翻折的性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平均数、众数与中位数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
根据平均数与中位数的定义可以先求出，的值，进而就可以确定这组数据的众数．
【解答】
解：一组从小到大排列的数据：，，，，，的平均数与中位数都是，
，，
解得，，
这组数据的众数是．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质和等腰三角形的性质求出和的度数，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：把点代入中，得：，
，
．
故答案为：．
把点代入函数解析式，得到关于、的关系式，然后把代数式进行变形后整体代入即可．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征和求代数式的值，熟练应用整体代入的方法是解决问题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设矩形的面积为，作，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
设矩形的面积为，则，由图形可知，，进而解答即可．
本题考查矩形的性质，解题的关键是知道．
16.【答案】
【解析】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：
由旋转不变性可得：，，
且，
是等腰直角三角形，
，
最大，只需最大，而在中，，
当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为，
此时，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到由旋转不变性可知：，，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．
本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先用平方差公式，计算零指数幂，去绝对值，分母有理化，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
18.【答案】证明：如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，
，．
又，分别是、的中点，
，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
【解析】由全等三角形的判定定理证得≌，可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质的运用．此题运用了平行四边形的对角线互相平分的性质和全等三角形对应边相等的性质．
19.【答案】解：能求出秋千荡出的水平距离的长，理由如下：
由题意得：秋千最低点为，最高点为，，，
则，
过点作于，地面于，
则，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即秋千荡出的水平距离是．
【解析】过点作于，地面于，则，求出，，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：人，，
答：被抽查的学生人数人，的值为；
故答案为：，；
将学生阅读篇数从小到大排列处在第、位都是，因此中位数是，
学生阅读文章篇数出现次数最多的是，出现次，因此众数是；
故答案为：，；
本次抽查的学生平均每人阅读的篇数为篇；
人，
答：估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为篇的有人．
从统计图表可得，“阅读篇数为篇”的有人，占调查人数的，可求出调查人数；进而可求出阅读篇数为篇的人数，即的值；
根据众数、中位数的意义，分别求出即可；
根据加权平均数计算即可求解；
先计算阅读篇的学生人数占抽查学生的百分比，利用学生总数该项占的百分比计算即可．
本题考查了扇形统计图、中位数和众数、用样本估计总体等知识点．理解和应用图表是解决本题的关键．
21.【答案】证明：，，
，
，
，
四边形是菱形；
解：，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据四边相等的四边形是菱形证明即可；
求出菱形的面积，利用面积法求解．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】解：一次函数的图象经过点，
，
，
，
由，
解得：，
，
的面积；
，且点在轴上，
或，
，
或，
综上，线段的长度为或．
【解析】把点代入即可求出的值，构建方程组求出点的坐标，利用三角形面积公式求解；
根据，可得点的坐标，由两点的距离公式可得的长．
本题考查了一次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：当时，设与之间的函数关系式是，
，
解得，，
即当时，与之间的函数关系式是，
当时，设与之间的函数关系式是，
，解得，
即当时，与之间的函数关系式是，
与之间的函数关系式是：；
设总费用为元，
两种图书均不少于本，
，
，
，随的增大而减小，
当时，最少为，
应购买甲种图书本，乙种图书本，才能使总费用最少，最少是元．
【解析】根据函数图象可以分段求出各段对应的函数解析式；
设总费用为元，求出关于的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．
本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键．
24.【答案】
【解析】证明：过点作交的延长线于点，如图，
四边形是正方形，
，，
又，
四边形是平行四边形，，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：，理由如下：
在上截取，连接，如图，
则是等腰直角三角形，，
由知，≌，
，
，，
，
为的中点，
，
，
，
即；
解：如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
，
在正方形外作，交延长线于，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故答案为：．
过点作交的延长线于点，如图，可证得四边形是平行四边形，进而可证≌，即可证得结论；
在上截取，如图，则是等腰直角三角形，，由≌，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论；
如图，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明≌，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可．
本题是四边形综合题，考查了正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理并添加合适的辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：在中，
令，得，
解得：，
，
令，得，
，
设，则，
，
，即，
解得：，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为；
如图，
连接，，在射线上截取，
，
，
，，
，
，
点、、、共圆，
，
在中，，点是的中点，
，，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
设，
，
，
在中，
，
，
，
；
设，，，
当为正方形的边时，如图，
则，
，
解得：或，
或；
当为正方形的对角线时，如图，连接，交于点，
则，
，
解得：或，
或；
综上所述，点的坐标为或或或
【解析】令，，求得、两点坐标，设直线的解析式是，将、两点坐标代入即可；
连接，，在射线上截取，可推得≌，从而，根据，从而得出，从而推出，进而列出方程，求得点坐标；
设，，，分两种情况：当为正方形的边时，则；当为正方形的对角线时，则，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数及其图象性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理，正方形的性质等知识，解决问题的关键是熟悉“一线三等角”模型及作辅助线构造全等三角形和等腰三角形．
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