2022－2023学年广东省广州市重点中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
3. 设命题，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共层，第一层个小球，第二层个小球，第三层个小球，第四层个小球，，按此规律，则第层小球的个数为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，点为线段的中点，点，分别是线段上靠近，的三等分点，则( )
A. B. C. D.
6. 易经是中国传统文化中的精髓如图是易经先天八卦图记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰孟、坎中满、离中虚、畏覆碗、兑上缺，每一卦由三根线组成“______”表示一根阳线，“”表示一根阴线，现从八卦中任取两卦，已知两卦中至少有一卦恰有两根阳线，求两卦的根线中恰有根阳线的概率为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且当时，不等式恒成立，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，定义，两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离已知点，，若，则的最小值与最大值之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 乙同学体温的极差为 B. 甲同学体温的中位数与平均数相等
C. 乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小 D. 甲同学体温的第百分位数为
10. 若圆：与圆：的公共弦的长为，则下列结论正确的有( )
A. B. 直线的方程为
C. 中点的轨迹方程为 D. 四边形的面积为
11. 已知圆锥的顶点为，高为，底面圆的直径，为圆周上不与重合的动点，为线段上的动点，则( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 面积的最大值为
C. 直线与平面所成角的最大值为
D. 若是的中点，则的最小值为
12. 关于函数，下列判断正确的是( )
A. 是的极小值点
B. 函数图像上的点到直线的最短距离为
C. 函数有且只有个零点
D. 不存在正实数，使成立
三、填空题（本大题共4小题，共17.0分）
13. 的展开式中，的系数为 用数字作答
14. 中国古代经典数学著作孙子算经记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，问物几何？”现将到共个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为______ ．
15. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，交的右支于点，，，则的焦距为______ ，的面积为______ ．
16. 已知扇形的半径为，，如图所示，在此扇形中截出一个内接矩形点，在弧上，则矩形面积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知各项均为正数的数列满足，．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
18. 本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的正三角形的面积依次为，，，已知，．
计算的面积；
若，求．
19. 本小题分
近年来，一种全新的营销模式开始兴起短视频营销短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．
已知小李月日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为，，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为求月日小李选择“抖音”平台购物的概率；
三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，，三人是否抢购成功互不影响若为三人下单成功的总人数，且，求的值及的分布列．
20. 本小题分
图是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且．
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
21. 本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是，且，．
Ⅰ求双曲线的方程；
Ⅱ过点的直线交双曲线的右支于、两个不同的点在、之间，若点在以线段为直径的圆的外部，试求与面积之比的取值范围．
22. 本小题分
已知函数为非零常数，记，．
当时，恒成立，求实数的最大值；
当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
集合，
则，即元素个数为．
故选：．
分别化简两个集合，可得的元素个数．
本题考查集合的交集运算，考查集合的表示方法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：已知是虚数单位是关于的方程的一个根，
则，即，即，
解得，故．
故选：．
把方程的根代入方程，利用复数相等的列方程组求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的否定，注意存在性命题的否定为全称命题，以及不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．
由存在性命题的否定为全称命题，以及不等号的变化，可得所求命题的否定．
【解答】
解：由存在性命题的否定为全称性命题，可得
命题，
则为，，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：不妨设第层小球个数为，由题意，，，
即各层小球之差成以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故有，累加可得：，
故．
故选：．
依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可．
本题考查数列的应用，累加法的应用，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意知：．
故选：．
根据条件可知，，，，然后进行向量的数乘运算即可得出正确的选项．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，“八卦”中，恰好有根阳线的“卦”有种，同理，恰好有根阴线的“卦”有种，
现从八卦中任取两卦，若两卦中至少有一卦恰有两根阳线，则有种情况，
其中，两卦的根线中恰有根阳线的“卦”有种情况，
故两卦的根线中恰有根阳线的概率．
故选：．
根据题意，由组合数公式分析“两卦中至少有一卦恰有两根阳线”和其中“两卦的根线中恰有根阳线”的情况数目，由条件概率的定义计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题可知，函数，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
所以，所以，
又，所以，所以，
而恒成立，故，解得或，
故选：．
由题意得到，则，求得即可求解．
本题考查三角函数的图象性质、三角恒等变换及恒成立问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：点，，若，
可得，
，
，当且仅当时，取等号．
所以，
的最小值为，最大值为，
的最小值为，最大值为，
的最小值与最大值之和为．
故选：．
利用新定义，求解，的关系，然后转化求解不等式的最大值即可．
本题考查新定义的应用，基本不等式求解表达式的最值的方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，乙同学体温的极差为，故A错误；
对于，甲同学体温从小到大为：
，，，，，，，
甲同学体温的中位数是，平均数是，
甲同学体温的中位数与平均数相等，故B正确；
对于，从折线图上得到甲同学体温波动比乙同学体温波动大，
乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小，故C正确；
对于，甲同学体温从小到大为：
，，，，，，，
，
甲同学体温的第百分位数为，故D正确．
故选：．
利用折线图的性质、极差、中位数、平均数、方差、百分位数直接求解．
本题考查折线图的性质、极差、中位数、平均数、方差、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，圆：与圆：，
两圆的方程相减可得：，
即两圆公共弦的方程为，
圆：的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
而两个圆的公共弦的长为，
则有，变形可得，A正确，
对于，由于两圆公共弦的方程为，且，
故两圆公共弦的方程为，变形可得；B正确；
对于，设的中点坐标为，
由于垂直平分，则到中点的距离就是到直线的距离，则有，
即中点的轨迹方程为，C错误；
对于，两圆的半径相等，则四边形为菱形，其面积，D正确．
故选：．
根据题意，结合直线与圆的位置关系，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的求法，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：圆锥的底面圆的半径，
圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，故A正确；
如图，平面为圆锥的轴截面，为底面圆心，则，，
，，，，
设，
则，故B不正确；
根据圆锥的结构特征可知，点在平面上的投影在上，
又为定值，则当点到直线的距离最大时，直线与平面所成角最大，
所以当是弧的中点时，直线与平面所成角最大，
由知，此时到平面距离为，
又因为高为，所以直线与平面所成角的最大值为，故C正确；
当是弧的中点时，，
此时为等腰三角形，为等腰直角三角形，
将、沿展开至同一个平面，得到如图所示的平面图形，
取的中点，连接，，
则，，
，
，
，
当且仅当，，三点共线时等号成立，故D错误．
故选：．
根据圆锥的侧面积公式即可判断；先求出的范围，再根据三角形的面积公式即可判断；易得当是弧的中点时，直线与平面所成角最大，由此即可判断；将、沿展开至同一个平面，结合图形即可判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：函数函数的定义域为，
，，可得，舍去，
当时，，故函数在上单调递减；
当时，；在上单调递增，
所以是的极小值点，故A正确；
对于：直线平行的切线设为直线，
因为直线与函数的图像相切，设切点坐标为，
由，可得，解得，
所以，即切点为，
则切点到直线的距离为，
即函数图像上的点到直线的最短距离为，故B正确；
对于：因为，所以，
当时，，在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递减；
则，所以函数存在两个零点，故C不正确，
对于：由选项C可知：，即恒成立，
所以存在正实数，使恒成立，故D错误．
故选：．
对于，求解函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的极小点，判断选项的正误；
对于，求解与已知直线平行的曲线的切线方程，得到切点坐标，然后利用距离公式求解判断选项的正误即可；
对于，利用函数的导数求解函数的最小值与的大小关系，然后判断零点个数，判断选项的正误；
对于，结合选项C，判断说明即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．
13.【答案】
【解析】解：多项式的展开式中含的项为，
则的系数为．
故答案为：．
利用二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：三三数之剩二的数为：，，，，，，，，，；
五五数之剩三的数为：，，，，，，，
同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数最小是，最大为，
数列最大项和最小项之和为．
故答案为：．
可分别列出“三三数之剩二”和“五五数之剩三”的前几项和后几项，从而可找出同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的最小和最大值．
本题考查了等差数量的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：取的中点，则，
因为，所以，
所以，
所以，设，由双曲线的定义得，
，所以，
在中，，，，
所以，，所以，
在中，，
解得，
则双曲线的焦距为，
因为，
所以的面积为．
故答案为：；．
通过向量的数量积推出，利用双曲线的定义，结合余弦定理，即可求解的值，从而可得焦距，再由三角形面积公式求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
作的角平分线，交于，于，连接，设，，根据题意可知为等边三角形，则为的中点，为的中点，求出，，根据矩形的面积，利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可求出答案．
【解答】
解：作的角平分线，交于，于，连接，
根据题意可知为等边三角形，则为的中点，为的中点，
设，，
，则，
则，
，则，
所以矩形的面积
，
当，即时，取得最大值，
所以矩形面积的最大值为．
故答案为：．
17.【答案】解：因为，所以，
又，
又当时，
所以当时，，
当时，，满足关系，
所以，，
因为，所以；
由知
所以，
，
两式作差得，
所以．
【解析】利用累加法求出数列的通项公式，由此再求数列的通项公式；
利用错位相减法求数列的前项和．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
解得：，
．
的面积为．
由知，，，
由，，，
，
由正弦定理得：：：：，即，
解得：，，，
．
【解析】根据，求得，由余弦定理求得的值，根据，求面积．
由条件易求得，由正弦定理可得：的值，结合条件可求得，，的值，再由完全平方公式计算求解即可．
本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式，属于中档题．
19.【答案】解：设“第一天选择抖音平台”，“第一天选择快手平台”，“第二天选择抖音平台”，
则，，，，
则 ．
由题意得，的取值为，，，，
且，
，
，
，
所以，解得．
故的分布列为：
【解析】利用全概率公式即可求解；
先求出的可能取值，然后求出每一值对应的概率，根据均值求出概率，再列出分布列即可求解．
本题主要考查全概率公式，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：证明：如图所示，
在图中，连接，交于，因为四边形是边长为的菱形，且，
所以，且，
在图中，相交直线，均与垂直，
所以是二面角的平面角，
因为，
所以，
所以，
所以平面平面．
由知，分别以直线，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，，
设，，
则，
设平面的一个法向量，
则，
令，则，，
所以．
因为到平面的距离为，
所以，
解得，
由，得，
所以，，，
所以，
所以．
设直线与平面所成的角为，
所以．
【解析】在图中，连接，交于，可推出，且，在图中，相交直线，均与垂直，则是二面角的平面角，由勾股定理可得，进而可得答案．
由知，分别以直线，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，，可得的坐标，求出平面的一个法向量，由于到平面的距离为，则，解得，设直线与平面所成的角为，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ由已知，，，，
，则，
，
解得，，双曲线的方程为．
Ⅱ直线的斜率存在且不为，设直线：，设，，
由，得，
则，
解得
点在以线段为直径的圆的外部，则，
由、得实数的范围是，
由已知，
在、之间，则，且，
，则，
，
则，
，，解得，又，
．
故的取值范围是．
【解析】考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
Ⅰ由已知，，，，由，知，故，，由此能求出双曲线的方程．
Ⅱ直线的斜率存在且不为，设直线：，设，，由，得，由此入手，能够求出的取值范围．
22.【答案】解：由，，
令，，时，，时，
在上单调递减，上单调递增，
，
，
即的最大值为；
证明：，，
，，，时，，
当时，，，令，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
时，取得最小值，
且，
为在定直线上运动．
【解析】转化为时求，令，利用导数求出可得答案；
求出，，可得，时，，当时，，利用导数求出时，取得最小值，且，可得答案．
对于求参数的取值范围的问题，可以转化为求函数最值的问题，本题考查了利用导数解决求参数、函数的最值、函数零点的问题，考查了学生分析问题、解决问题以及运算的能力，属于难题．
第1页，共1页
