2023年河南省驻马店市西平县、安阳市滑县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 如图，已知，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列说法正确的是( )
A. 几何体的主视图和左视图相同
B. 几何体的主视图和俯视图相同
C. 几何体的俯视图和左视图相同
D. 几何体的主视图、左视图、俯视图都不相同
5. 关于的一元二次方程，根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
6. 维生素是人体内不可缺少的微量元素，成年女性每天维生素的摄入量约为，质量单位是微克的符号，单位转换，，数据“”用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
7. 某文具店一天销售，，，四种水笔共支，具体销售单价和数量如下表所示，则这天销售的水笔的平均单价是( )
种类
单价元
数量
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
8. 现有两个不透明的袋子，一个装有个红球、个白球，另一个装有个红球、个白球，这些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出个球，摸出的两个球颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点为，半圆与正方形组成一个新的图形，点为靠近点的三等分点，将此组合图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标是，为边上一个动点，把沿折叠，若点的对应点恰好落在矩形的对角线上，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 点在第二象限内，则的值可以是______ 写出一个即可．
12. 不等式组的解集是______ ．
13. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的抛物线的解析式为______ ．
14. 如图，在扇形中，，点在上，且，若，则阴影部分的周长为______ ．
15. 如图，在矩形中，点在边上以的速度从点向终点运动，同时点在对角线上以同样的速度从点向终点运动，到达各自的终点后停止运动，设点的运动时间为，当是直角三角形时，的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
化简：．
17. 本小题分
某校为了了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从九年级随机抽取部分学生进行测试，发现成绩最低的是分，最高的是分，将测试成绩成绩均为整数分为，，，，五个等级，并对成绩进行整理、描述和分析部分信息如下：
成绩在等级的学生的分数如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，请根据以上信息，解答下列问题：
请将频数分布直方图补充完整；
这次随机抽取的学生一共有______ 名，成绩的中位数是______ ；
若分数达到分以上不包括分即为合格，请估计该校名学生中的合格人数．
18. 本小题分
如图，在中，，顶点在反比例函数的图象上．
求反比例函数的解析式；
请用尺规作图画出线段的垂直平分线要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图；
线段与中所作的垂直平分线相交于点，连接，若，求的度数．
19. 本小题分
某商场楼顶准备开发一片空地修建网球场，并安装防护栅栏据有关部门规定，防护栅栏的高度不能低于春晖中学数学活动小组在学习了三角函数的知识以后，想用所学知识计算楼顶防护栅栏的高度是否符合安全标准如图，他们选取的测量点与商场楼的底部在同一水平线上，已知商场楼的高度为，小明在处测得防护栅栏顶部的仰角为，商场楼顶部的仰角为，请通过计算说明此防护栅栏高度是否符合安全标准精确到，参考数据：，，
20. 本小题分
如图，点在以为直径的上，延长与的切线交于点．
求证：；
过点作于点，若，的半径为，求的长．
21. 本小题分
一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立平面直角坐标系如图所示，的高度为，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面．
求抛物线的表达式；
身高的小明在水柱下方运动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他到喷水头的水平距离．
22. 本小题分
某社会团体准备购进甲、乙两种笔袋捐给希望小学，经了解，购进个甲种笔袋和个乙种笔袋需要元，购进个甲种笔袋与个乙种笔袋所需要的费用相同．
每个甲种笔袋和每个乙种笔袋各多少元？
实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种笔袋超过个时，超过的部分按原价的八折付款，乙种笔袋没有优惠；方案二：两种笔袋都按原价的九折付款该社会团体决定购买个甲种笔袋和个乙种笔袋．
求两种方案的费用与件数的函数解析式；
请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．
23. 本小题分
综合与实践：课堂上，小明和同学们以“图形的旋转与面积”为主题开展以下数学活动．
操作判断：
如图，正方形的边长为将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接过点作，交的延长线于点，易证≌，从而得到的面积为______ ；用含的代数式表示
迁移探究：
如图，在矩形中，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接请按要求作出图形，用含的代数式表示的面积，并说明理由；
拓展应用：
在等腰三角形中，，的面积为，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故最小．
故选：．
根据正数大于，大于负数，可得答案．
本题考查了有理数比较大小，正数大于，大于负数是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据三角形外角性质得出，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
3.【答案】
【解析】解：，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式、二次根式的除法运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、完全平方公式、二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：这个几何体的主视图有列，从左到右小正方形的个数分别为、、；
左视图有列，从左到右小正方形的个数分别为、、；
俯视图有列，从左到右小正方形的个数分别为、、，
所以几何体的主视图、左视图、俯视图都不相同．
故选：．
直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据，，可得，据此把数据“”化成以为单位的量，并用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得：
元，
这天销售的水笔的平均单价是元．
故选：．
利用平均单价总价数量，即可求出结论．
本题考查了有理数的混合运算，根据各数量之间的关系．列式计算是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有种可能出现的结果，其中“两球颜色相同”的有种，
．
故选：．
用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两球颜色相同”的结果数，进而求出概率．
本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
9.【答案】
【解析】解：连接，，作于，
点为靠近点的三等分点，
，
，
是等边三角形，
正方形的顶点为，．
，，
，，
，
将图形绕点顺时针旋转，每次旋转，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
第次旋转结束时，点的坐标为，
每次为一个循环，
，
第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
连接，，作于，由正方形的顶点为，得出正方形的边长以及半圆的半径，由点为靠近点的三等分点得出是等边三角形，再根据等边三角形及正方形的性质求出点的坐标，然后根据题意得出图形旋转的规律，即可得出答案．
本题考查了正方形、等边三角形的性质及坐标与图形变化旋转，得到图形每次一个循环的规律是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，点的对应点恰好落在矩形的对角线上，过点作轴于点，
四边形为矩形，，
，，
设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
直线的解析式为，
设点，
，，
根据折叠的性质可得，，
在中，，
，
解得：，舍去，
则，
．
故选：．
根据题意画出图形，再过点作轴于点，由题意可得，，进而可利用待定系数法求出直线解析式为，于是设点，则，，由折叠可知，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、利用待定系数法求一次函数解析式、勾股定理，利用待定系数法正确求出直线的解析式是解题关键．
11.【答案】答案不唯一
【解析】解：点在第二象限内，
，
解得，
则的值可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
直接利用第二象限内点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出的取值范围是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，
由得：，
由得：．
故不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，再把点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得点的坐标为，
所以平移后抛物线的解析式为．
故答案为：．
先得到抛物线的顶点坐标为，再把点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得点的坐标为，得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
本题考查了二函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的长，
图中阴影部分的周长为：
故答案为：
分别求出，，弧的长，可得结论．
本题考查弧长的计算，解直角三角形等知识，关键是掌握弧长公式．
15.【答案】或
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
．
当时，如图，
，
，
，
．
当时，如图，
若，
，
，
不符合题意，
时，与重合，
，
，
，
当是直角三角形时，的值为或．
故答案为：或．
由锐角的正切求出，得到，分两种情况：，，由直角三角形的性质即可解决其他．
本题考查直角三角形的性质，矩形的性质，关键是要分两种情况讨论．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先代入特殊角的函数值，再开方、计算零次幂、负整数指数幂，最后加减得结论；
先把减式化简，再按同分母分式的加减法法则计算，结果化简即可．
本题考查了实数的运算和分式的加减，掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的函数值、分式的性质及分式的加减法法则是解决本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：由题意得，样本容量为：，
等级的人数为：，
补全频数分布直方图如下：
这次随机抽取的学生一共有名，
成绩的中位数是，
故答案为：；；
名，
答：估计该校名学生中的合格人数大约为名．
用等级的频数除以等级所占百分比可得样本容量，进而得出等级的人数，即可补全频数分布直方图；
由可知样本容量，再根据中位数的定义解答即可；
用乘样本中分数达到分以上不包括分所占比例即可．
本题考查的是频数分布直方图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了利用样本估计总体的思想．
18.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
如图所示：以点，点为圆心，大于的线段为半径画弧，两弧相交于点，点，连接，则是的垂直平分线；
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
【解析】将点坐标代入解析式，可求解；
以点，点为圆心，大于的线段为半径画弧，两弧相交于点，点，连接，则是的垂直平分线；
由等腰三角形的性质可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：此防护栅栏高度不符合安全标准，
理由：由题意得：，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，
此防护栅栏高度不符合安全标准．
【解析】根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
；
解：，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，得出，则可得出结论；
求出，设，则，由勾股定理得出，求出，证明，则可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解决问题的关键．
21.【答案】解：根据题意，设抛物线的表达式为，
把代入得：，
解得，
抛物线的表达式为；
在中，令得，
解得或，
他到喷水头的水平距离是或．
【解析】设抛物线的表达式为，用待定系数法可得答案；
结合令可得或，即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．
22.【答案】解：设甲种笔袋每个元，乙种笔袋每个元，
根据题意，得，
解得：，
答：甲种笔袋每个元，乙种笔袋每个元．
方案一：
，
方案二：
，
当时，
即：，
解得：，
当时，
即：，
解得，
当时，
即：，
解得．
当购买甲种防护服件时，两种方案一样；当购买甲种防护服的件数超过件而少于件时，选择方案二更合算；当购买甲种防护服的件数多于件时，选择方案一更合算．
【解析】设甲种笔袋每个元，乙种笔袋每个元，根据题意列二元一次方程组即可求解；
根据题意找出两种方案的函数关系式即可；分、、三种情况进行比较即可．
本题考查的知识点是二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，解此题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系．
23.【答案】
【解析】解：操作判断：由题意可知：≌，
，
，
；
的面积为；
故答案为：；
迁移探究：的面积为；
理由：如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，．
．
．
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
拓展应用：的面积为，理由如下：
如图，过点作于点，过点作于点，
在等腰三角形中，，的面积为，
，
，
，
，
，
，
过点作的垂线，与的延长线交于点，
将边绕点顺时针旋转得到线段，
同≌，
，
，
．
的面积为．
操作判断：根据题意和三角形面积公式即可解决问题；
迁移探究：如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，由垂直的性质就可以得出≌，就有进而由三角形的面积公式得出结论；
拓展应用：如图，过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质可以得出，由条件同≌，就可以得出，由三角形的面积公式就可以得出结论．
本题属于四边形综合题，考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
第1页，共1页
