第12章 整式的乘除
12.5 因式分解
基础过关全练
知识点1 因式分解
1.(2023山东泰安新泰期中)在下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A.2a2-3a+1=a(2a-3)+1
B.xy-1=xy
C.(a+1)(a-1)=a2-1
D.-4-x2y2+4xy=-(2-xy)2
2.(2023福建泉州实验中学期末)若多项式x2+mx-35分解因式为(x-7)(x+5),则m的值是 ( )
A.2 B.-2 C.12 D.-12
知识点2 用提公因式法分解因式
3.(2023吉林长春吉大附中期末)将多项式a2x+ay-a2xy因式分解时,应提取的公因式是 ( )
A.a B.a2 C.ax D.ay
4.(2022广西柳州中考)把多项式a2+2a分解因式得( )
A.a(a+2) B.a(a-2) C.(a+2)2 D.(a+2)(a-2)
5.【易错题】把多项式m(a-2)+(2-a)分解因式等于( )
A.m(a-2) B.(a-2)(m+1)
C.m(a+2) D.(a-2)(m-1)
6.某天数学课上,老师讲了利用提公因式法分解因式,放学后,小华回到家拿出课堂笔记,认真复习老师课上讲的内容,他突然发现一道题:-12xy2+6x2y+3xy=-3xy·(4y ),横线的地方被钢笔水弄污了,你认为横线上应填写 ( )
A.2x B.-2x
C.2x-1 D.-2x-1
7.【整体代入法】若a2+a-1=0,则a2 023+a2 022-a2 021= .
8.长方形的一边长为a,其邻边长为b,周长为10,面积为6,则a2b+ab2的值为 .
9.分解因式:
(1)6xy2-8x2y3;
(2)(x-3y)·-;
(3)(2m+3n)(2m-n)-n(2m-n).
知识点3 用公式法分解因式
10.(2023河南南阳社旗期中)下列多项式中,能用公式法分解因式的有 ( )
①3x2+3y2;②-x2+y2;③-x2-y2;
④x2+xy+y2;⑤x2+2xy-y2;⑥-x2+4xy-4y2.
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
11.(2023山东烟台莱州期末)当m为自然数时,(4m+5)2-9一定能被下列哪个数整除 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
12.把代数式3x3-6x2y+3xy2因式分解,结果正确的是 ( )
A.x(3x+y)(x-3y) B.3x(x2-2xy+y2)
C.x(3x-y) D.3x(x-y)2
13.【类比思想】若多项式x2-kx+36能因式分解为(x-a)2,则k的值是( )
A.±12 B.12
C.±6 D.6
14.(2023湖北黄冈月考)下列因式分解正确的是 ( )
A.2ab2-4ab=2a(b2-2b)
B.a2+b2=(a+b)(a-b)
C.x2+2xy-4y2=(x-2y)2
D.-my2+4my-4m=-m(2-y)2
15.(1)(2022甘肃庆阳期末)分解因式:16x2+24x+9= ;
(2)(2022上海南洋模范初级中学期中)分解因式:81x4-1= .
16.【易错题】(2022湖南怀化中考)因式分解:x2-x4= .
17.【新独家原创】若a2+ab=6,b2+ab=10,求a+b的值.
18.把下列多项式因式分解:
(1)3x2-12xy+12y2;
(2)9a2(x-y)+4b2(y-x);
(3)-x4+y4;
(4)9a2(x+2y)-x-2y.
19.【教材变式·P45T3】如图,在一个边长为a米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为b米的小正方形.
(1)用含a、b的代数式表示剩余铁皮的面积;
(2)利用因式分解的知识计算,当a=6.6,b=1.7时,剩余铁皮的面积是多少平方米
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20.【新考法】(2022湖北荆门中考,5,★★☆)对于任意实数a,b,a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)恒成立,则下列关系式正确的是 ( )
A.a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
B.a3-b3=(a+b)(a2+ab+b2)
C.a3-b3=(a-b)(a2-ab+b2)
D.a3-b3=(a+b)(a2+ab-b2)
21.(2022广西贵港中考,14,★☆☆)因式分解:a3-a= .
22.(1)(2021广西贺州中考,13,★★☆)分解因式:3a3-27ab2= ;
(2)(2021辽宁朝阳中考,12,★★☆)因式分解:-3am2+12an2= .
23.【分类讨论思想】(2022黑龙江大庆中考,15,★★☆)已知代数式a2+(2t-1)ab+4b2是一个完全平方式,则实数t的值为 .
24.(2023河南南阳新野期中,17,★★☆)分解因式:
(1)a3b-2a2b2+ab3;
(2)(m-n)(3m+n)2+(n-m)(m+3n)2.
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25.【应用意识】【方法提取】
数学学习活动是在公式化体系不断完善中进行的.我们已经学方差公式,在平方差公式的基础上,可以对式子a3-b3进行如下推导:
a3-b3
=a3-a2b+a2b-b3
=a2(a-b)+b(a2-b2)
=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)
=(a-b)[a2+b(a+b)]
=(a-b)(a2+ab+b2).
对于a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),称为立方差公式.
【公式推导】
请推导立方和公式:a3+b3.
【公式应用】
请利用上面的公式进行因式分解:(直接写结果)
(1)x3-27= ;
(2)8x3y3+= .
答案全解全析
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1.D A.等号右边不是几个整式乘积的形式,故不是因式分解;
B.不是整式,故不属于因式分解;
C.属于整式乘法,不是因式分解;
D.等号左边是多项式,右边是整式乘积的形式,属于因式分解.故选D.
2.B ∵多项式x2+mx-35分解因式为(x-7)(x+5),即x2+mx-35=(x-7)(x+5),∴x2+mx-35=x2-2x-35,∴m=-2,故选B.
3.A a2x+ay-a2xy=a(ax+y-axy),则应提取的公因式是a.故选A.
4.A a2+2a=a(a+2).故选A.
5.D 用提公因式法因式分解含相反数的因式时,易忘记变换符号导致因式分解错误.m(a-2)+(2-a)=m(a-2)-(a-2)×1=(a-2)
(m-1).故选D.
6.D -12xy2+6x2y+3xy=-3xy·(4y-2x-1),横线上应填写-2x-1.故选D.
7.答案 0
解析 a2 023+a2 022-a2 021=a2 021(a2+a-1),
∵a2+a-1=0,
∴a2 021(a2+a-1)=a2 021·0=0,
∴a2 023+a2 022-a2 021=0.
8.答案 30
解析 由题意得2(a+b)=10,ab=6,
∴a+b=5,∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×5=30.
9.解析 (1)6xy2-8x2y3=2xy2(3-4xy).
(2)原式=
=.
(3)原式=(2m-n)(2m+3n-n)=(2m-n)(2m+2n)
=2(2m-n)(m+n).
10.A 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.由此我们可以判断②可以运用平方差公式分解因式,⑥可以运用完全平方公式分解因式.故选A.
11.D (4m+5)2-9=(4m+5+3)(4m+5-3)=(4m+8)·(4m+2)
=8(m+2)(2m+1),∴(4m+5)2-9一定能被8整除,故选D.
12.D 3x3-6x2y+3xy2=3x(x2-2xy+y2)=3x(x-y)2.故选D.
13.A 因为多项式x2-kx+36能因式分解为(x-a)2,所以a=±6.
当a=6时,x2-kx+36=(x-6)2=x2-12x+36,所以k=12;
当a=-6时,x2-kx+36=(x+6)2=x2+12x+36,所以k=-12.综上,k的值是±12.故选A.
14.D A.2ab2-4ab=2a(b2-2b)=2ab(b-2),分解因式不彻底,故此选项错误;
B.a2+b2不能分解因式,故此选项错误;
C.x2+2xy-4y2≠(x-2y)2,故此选项错误;
D.-my2+4my-4m=-m(y-2)2,故此选项正确.故选D.
15.答案 (1)(4x+3)2 (2)(9x2+1)(3x+1)(3x-1)
解析 (1)原式=(4x)2+2×4x×3+32=(4x+3)2.
(2)原式=(9x2+1)(9x2-1)
=(9x2+1)(3x+1)(3x-1).
16.答案 x2(1+x)(1-x)
解析 综合应用提公因式法与公式法进行因式分解时,易因分解不彻底致错.原式=x2(1-x2)=x2(1+x)·(1-x).
17.解析 ∵a2+ab=6,b2+ab=10,
∴a2+ab+b2+ab=16,
∴a2+2ab+b2=16,
∴(a+b)2=16,
∴a+b=±4.
18.解析 (1)原式=3(x2-4xy+4y2)=3(x-2y)2.
(2)原式=9a2(x-y)-4b2(x-y)
=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).
(3)原式=(x2+y2)(-x2+y2)
=(x2+y2)(x+y)(-x+y).
(4)原式=9a2(x+2y)-(x+2y)
=(x+2y)(9a2-1)
=(x+2y)(3a+1)(3a-1).
19.解析 (1)剩余铁皮的面积是(a2-4b2)平方米.
(2)当a=6.6,b=1.7时,
a2-4b2=(a+2b)(a-2b)
=(6.6+2×1.7)×(6.6-2×1.7)
=10×3.2
=32,
即剩余铁皮的面积是32平方米.
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20.A ∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),
∴a3-b3=a3+(-b)3
=[a+(-b)][a2-a·(-b)+(-b)2]
=(a-b)(a2+ab+b2).
故选A.
21.答案 a(a+1)(a-1)
解析 a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1).
22.答案 (1)3a(a+3b)(a-3b)
(2)-3a(m+2n)(m-2n)
解析 (1)原式=3a(a2-9b2)=3a(a+3b)(a-3b).
(2)原式=-3a(m2-4n2)=-3a(m+2n)(m-2n).
23.答案 或-
解析 根据题意可得,(2t-1)ab=±(2×2)ab,即2t-1=±4,解得t=或-.
24.解析 (1)原式=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2.
(2)原式=(m-n)(3m+n)2-(m-n)(m+3n)2
=(m-n)[(3m+n)2-(m+3n)2]
=(m-n)(3m+n+m+3n)(3m+n-m-3n)
=8(m-n)(m+n)(m-n)
=8(m-n)2(m+n).
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25.解析 【公式推导】
a3+b3
=a3+a2b-a2b+b3
=a2(a+b)-b(a2-b2)
=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)
=(a+b)[a2-b(a-b)]
=(a+b)(a2-ab+b2).
【公式应用】
(1)(x-3)(x2+3x+9).
(2).
