第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法
基础过关全练
知识点1 被开方数相同的最简二次根式
1.【新独家原创】下列二次根式中,化简后被开方数为2的是 ( )
A. B. C. D.
2.(2023湖南长沙期末)若最简二次根式与是可以合并的二次根式,则a的值为( )
A.5 B. C.-2 D.
知识点2 二次根式的加减
3.(2023山东临沂期末)下列计算正确的是( )
A.-= B.+=
C.2-2= D.2-=2
4.在下列二次根式中,与的和等于4的是( )
A.3 B. C. D.
5.(2022山东德州中考)计算:-= .
6.【教材变式·P172T2】计算:
(1)++-;
(2)+-;
(3)3-5+7(x≥0).
7.嘉琪准备完成题目“计算:-”时,发现“■”处的数字印刷不清楚,他把“■”处的数字猜成3,请你计算:-.
知识点3 二次根式的混合运算
8.【一题多解】(2022山东青岛中考)计算(-)×的结果是( )
A. B.1 C. D.3
9.【新独家原创】计算:(+1)×(-1)= .
10.计算:
(1)×;
(2)-×;
(3)÷.
能力提升全练
11.(2022贵州安顺中考,6,★★☆)估计(2+5)×的值应在( )
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
12.(2023河南济源期末)已知a=+1,b=,则a与b的关系是( )
A.ab=1 B.a+b=0
C.ab=-1 D.a=b
13.(2022黑龙江哈尔滨中考,13,★☆☆)计算+3的结果是 .
14.(2022湖北荆州中考,13,★★☆)若3-的整数部分为a,小数部分为b,则(2+a)·b的值是 .
15.(2021湖南益阳赫山期末,17,★★☆)已知两个实数-,,若再添加一个负整数m,且-,与m这三个数的平均数不大于m,则m的值为 .
16.【易错题】(2023湖南岳阳临湘期末,17,★★☆)计算:×+(-)2-(+5)÷.
17.(2022湖北襄阳中考,17,★★☆)先化简,再求值:(a+2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a(b-a),其中a=-,b=+.
18.(2023陕西西安期末,16,★★☆)在一个长为4,宽为3的矩形内部挖去一个边长为(2-)的正方形,求剩余部分的面积.
素养探究全练
19.【运算能力】已知:a=+,b=-(n为正整数).
(1)用含n的代数式表示a2-b2;
(2)若(1)中代数式的值是整数,求正整数n的最小值.
20.【创新意识】(2023湖北随州期末)定义:我们将(+)与(-)称为一对“对偶式”,因为(+)(-)=()2-()2=a-b,所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将(+)和(-)中的“”去掉,于是二次根式的除法可以这样计算:如==3+2.像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫作分母有理化.
理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)对偶式2+与2-之间的关系为( )
A.互为相反数 B.互为倒数
C.绝对值相等 D.没有任何关系
(2)已知x=,y=,求的值;
(3)解方程:-=2(提示:利用“对偶式”相关知识,令+=t).
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵=,∴化简后的被开方数为2,故选C.
2.A 根据题意得a+2=2a-3,解得a=5.故选A.
3.A -=2-=,故选A.
4.C 4-=3=,故选C.
5.答案
解析 原式=3-2=.
6.解析 (1)原式=2++2-4=3-2.
(2)原式=+2-+=+3.
(3)3-5+7=3-10+21=14.
7.解析 原式=3×-×3-+4×
=-2-+2=-.
8.B 解法一:(分配律)(-)×
=-
=-
=3-2
=1.
解法二:(按运算顺序)(-)×
=(3-2)×=×=1.
9.答案 2 027
解析 (+1)×(-1)=()2-1=
2 028-1=2 027.
10.解析 (1)×=-=4-2=2.
(2)-×=+-=4+3-2=5.
(3)÷=(9+-2)÷4=2.
能力提升全练
11.B 原式=2+,∵3<<4,∴5<2+<6,故选B.
12.D b===+1,
∵a=+1,∴a=b.
13.答案 2
解析 原式=+3×=+=2.
14.答案 2
解析 ∵1<<2,∴1<3-<2,∵3-的整数部分为a,小数部分为b,∴a=1,b=3--1=2-,∴(2+a)·b=(2+)(2-)=2.
15.答案 -1
解析 根据题意,得≤m,
解得m≥-,∵m是负整数,∴m=-1.
16.解析 原式=+(3+2-2)-(+)=+5-2--=5-3.
17.解析 原式=a2+4b2+4ab+a2-4b2+2ab-2a2=6ab,
∵a=-,b=+,
∴原式=6ab
=6×(-)×(+)
=6.
18.解析 4×3-(2-)2
=60-(60-20+5)
=60-60+20-5
=20-5.
答:剩余部分的面积为20-5.
素养探究全练
19.解析 (1)a2-b2=(a+b)(a-b)
=(++-)·(+-+)
=4=8.
(2)当3n是完全平方数时,代数式8的值是整数,此时正整数n的最小值是3.
20.解析 (1)∵(2+)(2-)=4-3=1,
∴2+与2-互为倒数,故选B.
(2)∵x===+2,
y===-2,
∴x-y=+2-+2=4,x+y=+2+-2=2,
xy=(+2)(-2)=1,
∴===.
(3)设+=t,
∵-=2①,
∴(+)(-)=2t,
即24-x-8+x=2t,
解得t=8,
∴+=8②,
①+②得,2=10,
∴=5,
∴24-x=25,
∴x=-1.
