第2章 三角形
2.4 线段的垂直平分线
基础过关全练
知识点1 线段的垂直平分线及其性质定理
1.(2023广西南宁宾阳期中)如图,直线CD是线段AB的垂直平分线,P为直线CD上的一点,PB=3 cm,则PA=( )
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
2.【新独家原创】安化黑茶属于后发酵茶,其独特的加工过程,尤其是微生物的参与使其具有特殊的中医药理功效.如图,甲、乙、丙三地是盛产安化黑茶的三个乡镇,若想建立一个货物中转仓,使其到甲、乙、丙三地的距离相等,则货物中转仓的位置应选在图中三角形( )
A.三条角平分线的交点处
B.三边垂直平分线的交点处
C.三边上中线的交点处
D.三边上高所在直线的交点处
3.【教材变式·P70T1】如图,在△ABC中,D是AB的垂直平分线上一点,∠CAD=80°,∠C=50°,则∠B的度数是( )
A.25° B.30° C.40° D.50°
4.【中垂线模型】如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,若△ABC的周长为30 cm,△AEC的周长为21 cm,则AB的长为 cm.
知识点2 线段垂直平分线的性质定理的逆定理
5.下列条件中,不能判定直线CD是线段AB(C,D不在线段AB上)的垂直平分线的是( )
A.CA=CB,DA=DB B.CA=CB,CD⊥AB
C.CA=DA,CB=DB D.CA=CB,CD平分AB
6.如图,△ABC中,OF垂直平分AB,垂足为F,OA=OC,求证:点O在BC的垂直平分线上.
7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点P在边AC上,过点P作直线MN交BC的延长线于点N,交AB于点M,且∠APM=∠A,求证:点M在线段BN的垂直平分线上.
知识点3 与线段垂直平分线有关的作图
8.【新课标例73变式】如图,在△ABC中,∠B=68°,∠C=28°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( )
A.50° B.52° C.54° D.56°
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9.(2022湖北宜昌中考,6,★☆☆)如图,在△ABC中,分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径画弧,两弧相交于点M、N,作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为( )
A.25 B.22 C.19 D.18
10.(2023湖南邵阳新邵期中,9,★★☆)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E,AE=4 cm,且△ABD的周长为16 cm,则△ABC的周长为( )
A.24 cm B.22 cm
C.20 cm D.18 cm11.(2023广西南宁期中,16,★☆☆)小军做了一个风筝,其示意图如图所示,其中EH=FH,ED=FD,则直线DH是EF的 .
12.(2022青海中考,15,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点D,E,∠BAE=10°,则∠C的度数是 .
13.(2020江苏南京中考,15,★★☆)如图,线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O.若∠1=39°,则∠AOC= °.
14.(2022湖南怀化溆浦期中,21,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)尺规作图:作AB边的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)连接BD,求证:BD平分∠CBA.
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15.【推理能力】
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,D,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,求∠DAG的度数;
(2)若去掉(1)中“AB=AC”的条件,其余条件不变(如图2),还能求出∠DAG的度数吗 若能,请求出∠DAG的度数;若不能,请说明理由;
(3)在(2)的情况下,试探索△ADG的周长与BC长的关系.
图1 图2
16.【推理能力】对于所有的直角三角形,我们都可以将其分割为两个等腰三角形.
例如:如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,作直角边AB的垂直平分线,分别交BC,AB于D,E两点,连接AD,则AD将△ABC分割成两个等腰三角形:△ADC,△ADB.
(1)请将以下证明过程填写完整.
证明:∵DE垂直平分AB,
∴AD=DB( ),
∴∠1=∠2( ),
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,
∴∠2+∠3=∠BAC=90°,
∠1+∠4=180°-∠BAC=90°,
∴∠3=∠4,
∴CD=DA( ),
∴△ADC,△ADB是等腰三角形.
(2)根据上述方法,将下面三角形分割成4个等腰三角形.(尺规作图,保留作图痕迹)
(3)将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形.(用相同的字母标出相等的线段)
答案全解全析
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1.D ∵P为线段AB的垂直平分线CD上的一点,∴PA=PB=3 cm.
2.B ∵要使货物中转仓到甲、乙、丙三地的距离相等,∴货物中转仓的位置应选在三角形三边垂直平分线的交点处,故选B.
3.A ∵∠CAD=80°,∠C=50°,∴∠ADC=50°,
∵D是AB的垂直平分线上一点,
∴AD=BD,∴∠B=∠BAD=∠ADC=25°.
4.答案 9
解析 ∵DE垂直平分AB,∴EA=EB,
∵△ABC的周长为30 cm,∴AB+AC+BC=30 cm,
∵△AEC的周长为21 cm,∴AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=21 cm,∴AB=30-21=9 cm.
5.C 当CA=DA,CB=DB时,直线CD不一定是线段AB的垂直平分线,故选C.
6.
证明 连接OB,
∵OF垂直平分AB,
∴OA=OB,
又∵OA=OC,∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.
7.证明 ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠N+∠CPN=90°.
∵∠CPN=∠APM,∠APM=∠A,∴∠N+∠A=90°,
∴∠B=∠N,∴BM=MN,
∴点M在线段BN的垂直平分线上.
8.D ∵在△ABC中,∠B=68°,∠C=28°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=84°,
由题意得,直线MN是线段AC的垂直平分线,∴DA=DC,∴∠DAC=∠C=28°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=84°-28°=56°.
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9.C 由题意得,MN垂直平分BC,∴DB=DC,
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC,
∵AB=7,AC=12,∴AB+AC=19,∴△ABD的周长是19.
10.A ∵DE垂直平分AC,AE=4 cm,∴AC=2AE=8 cm,AD=DC,∵△ABD的周长为16 cm,∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=16(cm),∴△ABC的周长为AB+BC+AC=16+8=24(cm).
11.答案 垂直平分线
解析 ∵EH=FH,∴点H在EF的垂直平分线上.
∵ED=FD,点D在EF的垂直平分线上,∴直线DH是EF的垂直平分线.
12.答案 40°
解析 ∵ED垂直平分AC,∴AE=EC,∴∠EAC=∠C,∵∠ABC=90°,∠BAE=10°,
∴∠EAC+∠C=180°-∠BAE-∠ABC=80°,∴∠EAC=∠C=40°.
13.答案 78
解析 如图,连接BO并延长至点P,设l1交AB于点D,l2交BC于点E.
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O,
∴OA=OB=OC,∴∠A=∠OBA,∠C=∠OBC,
∴∠AOP=2∠ABO,∠COP=2∠CBO,
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=2(∠ABO+∠CBO)=2∠ABC.
∵l1⊥AB,l2⊥BC,
∴∠BDO=∠BEO=90°,
∴∠DOE+∠ABC=360°-∠BDO-∠BEO=180°,
又∵∠DOE+∠1=180°,∴∠ABC=∠1=39°,
∴∠AOC=2∠ABC=78°.
14.解析 (1)AB边的垂直平分线DE如图所示.
(2)证明:如图,∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,
∴∠ABD=∠A=30°,
∵∠C=90°,∴∠ABC=180°-∠C-∠A=60°,
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°,
∴∠ABD=∠CBD,∴BD平分∠CBA.
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15.解析 (1)∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠B=∠BAD,
∵GF垂直平分AC,∴GA=GC,∴∠C=∠GAC,
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=100°,
∴∠B+∠C=80°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=40°,
∴∠BAD=∠GAC=40°,∴∠DAG=∠BAC-∠BAD-∠GAC=100°-40°-40°=20°.
(2)能.
∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠B=∠BAD,
∵GF垂直平分AC,∴GA=GC,∴∠C=∠GAC,
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=100°,
∴∠B+∠C=80°,∴∠BAD+∠GAC=80°,
∴∠DAG=∠BAC-(∠BAD+∠GAC)=100°-80°=20°.
(3)由(2)知,AD=BD,AG=GC,
∴AD+DG+AG=BD+DG+GC=BC,
即△ADG的周长等于BC的长.
16.解析 (1)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;等边对等角;等角对等边.
(2)如图所示.
(3)如图所示(答案不唯一).
