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第一章 抛体运动
第4节 研究平抛运动的规律
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课时作业(3)
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米第4节 研究平抛运动的规律
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道平抛运动的概念和条件．2．学会应用平抛运动规律分析、解决实际问题．3．学会分析平抛运动和斜面相关的问题及临界问题． 1．物理观念：平抛运动、平抛运动的速度、位移、轨迹．2．科学思维：建立平抛运动模型的方法，斜面平抛、临界问题的分析方法．3．科学态度与责任：生活中和体育运动中的平抛运动．
[对应学生用书P12]
1．探究平抛运动竖直分运动的特点
(1)用小锤击打弹性金属片，A球水平抛出，B球自由落下．
(2)观察两球的运动轨迹并比较两球落地时间．若只听到一次声响，说明两球同时落地．
(3)改变两球的高度和小锤打击力度，多次重复进行实验．
(4)分析实验现象得出结论：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动．
2．探究平抛运动水平分运动的特点
(1)按图甲所示安装实验装置，使小球在斜槽末端点恰好静止．
(2)以水平槽末端端口上小球的球心位置为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴．
(3)使小球从斜槽上同一位置由静止滚下，把笔尖放在小球可能经过的位置上，如果小球运动中碰到笔尖，就用铅笔在该位置画上一点．用同样方法，在小球运动路线上描下若干点．
(4)将白纸从木板上取下，从O点开始通过画出的若干点描出一条平滑的曲线，如图乙所示．
乙
(5)确定在相等的时间间隔内，测量水平分运动的位移．
(6)分析得出结论：平抛运动水平分运动是匀速直线运动．
(7)最后结论：平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动的合运动．
[思考]
下图为小球水平抛出后在空中做平抛运动的运动轨迹．小球的运动轨迹是曲线，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？
提示 一般以初速度v0的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，以小球被抛出的位置为坐标原点建立平面直角坐标系．
1．位置坐标：
2．两个分速度：
3．轨迹方程：y＝ eq \f(g,2v) x2，式中g、v0都是不随时间变化的常量，其轨迹是一条抛物线．
[判断](对的画“√”，错的画“×”)
(1)平抛运动的时间和抛出的初速度有关，初速度越大，时间越长．(×)
(2)任一时刻平抛运动合位移方向与合速度的方向是一致的．(×)
[对应学生用书P13]
探究点一 平抛运动的规律及应用
1．如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点，试证明A是OB的中点．
提示 OB＝v0t
AB＝＝gt2·＝gt2·＝v0t.
可见AB＝OB，所以A为OB的中点．
2．若平抛运动的速度偏向角为θ，位移的偏向角为α，如图所示，试证明tan θ＝2tan α.
提示 tan θ＝＝
平抛运动的位移偏向角为α，则
tan α＝＝＝
即位移偏向角与速度偏向角的关系为
tan θ＝2tan α.
1．平抛运动的规律
运动 速度 位移 加速度
水平分运动(匀速直线运动) vx＝v0 x＝v0t ax＝0
竖直分运动(自由落体运动) vy＝gt y＝gt2 ay＝g
合运动(平抛运动) v＝ eq \r(v＋（gt）2) tan θ＝ x合＝tan α＝
2.平抛运动的时间和水平射程
(1)飞行时间：由于平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，有h＝gt2，故t＝，即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：由于平抛运动在水平方向上的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离x＝v0t＝v0，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关．
第13届女子排球世界杯赛事中，中国女排蝉联冠军．在发球过程中，排球的运动可视为平抛运动，若某次将排球以6 m/s 的速度水平击出，它落地时的速度大小为10 m/s.不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)排球在空中运动的时间t；
(2)排球运动的水平位移x；
(3)排球在空中下落的高度h.
解析 (1)根据平抛运动可知排球落地时速度大小为vt＝ eq \r(v＋v)
解得小球落地时竖直方向的速度大小为
vy＝8 m/s
故排球在空中运动的时间：t＝＝0.8 s.
(2)排球运动的水平位移：x＝v0t＝4.8 m.
(3)排球在空中下落的高度：h＝gt2＝3.2 m.
答案 (1)0.8 s (2)4.8 m (3)3.2 m
[题后总结]
(1)画出速度分解示意图对解题很有帮助．
(2)水平方向和竖直方向的运动具有独立性，又具有同时性，两个方向的运动通过时间相联系．
[训练1] 一小球沿水平方向抛出，当抛出1 s后它的速度方向与水平方向的夹角α＝45°，落地时速度方向与水平方向的夹角β＝60°，g取10 m/s2，求：
(1)初速度大小；
(2)落地速度大小；
(3)抛出点离地面的高度．
解析 将平抛运动分解为水平和竖直两个方向的分运动，由题意作出运动轨迹如图所示．
(1)初速度用v0表示，因
tan α＝＝1，
又vy1＝gt，代入数据解得v0＝10 m/s.
(2)由图可知cos β＝，则
v＝＝ m/s＝20 m/s.
(3)由v＋v＝v2得
vy2＝ eq \r(v2－v) ＝ m/s＝10 m/s
在竖直方向上有v＝2gh
代入数据解得h＝15 m.
答案 (1)10 m/s (2)20 m/s (3)15 m
探究点二 斜面上的平抛运动问题
如图所示，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，tan 37°＝)求：
(1)小球在空中的飞行时间；
(2)抛出点与落点的竖直距离．
解析 (1)将小球垂直撞在斜面上时的速度分解，如图所示．
由图可知θ＝37°，
φ＝90°－37°＝53°.
tan φ＝，则
t＝tan φ＝× s＝2 s
(2)h＝gt2＝×10×22 m＝20 m.
答案 (1)2 s (2)20 m
如图所示，一名滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)O点与A点的距离L；
(2)运动员落到A点时的速度大小．
解析 (1)由O点到A点，运动员做平抛运动，竖直位移大小为
h＝gt2＝×10×32 m＝45 m
O点与A点的距离L＝＝ m＝75 m.
(2)水平位移x＝L cos 37°＝75×0.8 m＝60 m
由x＝v0t得v0＝＝ m/s＝20 m/s
到A点时竖直方向的速度vy＝gt＝30 m/s
故运动员落到A点时的速度
vA＝ eq \r(v＋v) ＝10 m/s.
答案 (1)75 m (2)10 m/s
[题后总结]
在解答平抛运动与斜面相结合的问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出位移或速度与斜面倾角的关系，从而使问题顺利解决．常见的模型如下：
方法 内容 斜面 总结
分解速度 水平：vx＝v0竖直：vy＝gt合速度：v＝ eq \r(v＋v) 分解速度，构建速度三角形
分解位移 水平：x＝v0t竖直：y＝gt2合位移：x合＝ 分解位移，构建位移三角形
[训练2] 如图所示，以9.8 m/s的速度水平抛出的物体飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ＝30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为(g取9.8 m/s2)( )
A． s B． s
C． s D．2 s
A [物体做平抛运动，当垂直撞在倾角为30°的斜面上时，速度与斜面垂直，把物体的速度分解，如图所示．由图可知，此时物体在竖直方向上的分速度大小为vy＝，由vy＝gt可得运动的时间t＝＝＝ s．]
[训练3] 如图所示，一个小球以大小为v0的水平速度从一个倾角为37°的足够长的固定斜面顶端向右抛出(已知cos 37°＝0.8).不计空气阻力，则小球距离斜面最远时的速度大小为( )
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
A [当小球速度方向与斜面平行时离斜面最远，速度的水平分量不变(为v0)，由几何关系可知此时水平速度方向和合速度方向的夹角为37°，则有v cos 37°＝v0，解得v＝＝，故A正确，B、C、D错误．]
探究点三 平抛运动临界问题
如图所示，水平房顶高H＝5 m，竖直墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离l＝3 m，墙外马路宽d＝6 m.欲使小球从房顶水平飞出后落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足什么条件？(墙的厚度不计，g取10 m/s2)
解析 如图甲所示，设小球离开房顶的速度为v1时刚好触墙而过，小球自房顶飞出后做平抛运动，到达墙顶时，水平位移为l，竖直位移为y＝H－h＝5 m－3.2 m＝1.8 m
由y＝gt得小球从飞出到运动至墙顶所用的时间为
t1＝ ＝ s＝0.6 s
由l＝v1t1可得小球离开房顶时的速度为
v1＝＝ m/s＝5 m/s
设小球离开房顶的速度为v2时恰好落在墙外的马路边缘，如图乙所示，此过程中小球的水平位移为l＋d，竖直位移为H，则小球在空中的飞行时间t2满足H＝gt
解得t2＝ ＝ s＝1 s
由l＋d＝v2t2得v2＝＝ m/s＝9 m/s
欲使小球离开房顶后能落在马路上，则小球离开房顶时的速度v0应满足v1≤v0≤v2，即
5 m/s≤v0≤9 m/s.
答案 5 m/s≤v0≤9 m/s
[训练4] 如图所示，小球从离地高h＝5 m，离竖直墙水平距离s＝4 m 处水平抛出，不计空气阻力，g取10 m/s2，则：
(1)若要使小球碰不到墙，则它的初速度应满足什么条件？
(2)若以v0＝8 m/s的初速度向墙水平抛出小球，碰撞点离地面的高度是多少？
解析 (1)若小球恰好落到墙角，根据平抛运动的规律，有：
s＝vt
h＝ gt2
解得：t＝＝ s＝1 s
v＝＝ m/s＝4 m/s，故v0≤4 m/s.
(2)若以v0＝8 m/s的初速度向墙水平抛出小球，则运动时间：t1＝＝ s＝0.5 s
下落的高度：h1＝gt＝×10×0.25 m＝1.25 m
离地高度：h2＝h－h1＝5 m－1.25 m＝3.75 m.
答案 (1)v0≤4 m/s (2)3.75 m
[对应学生用书P16]
1．(平抛运动的性质)如图所示，在光滑的水平面上有小球A以初速度v0向左运动，同时刻一个小孩在A球正上方以v0的速度将B球平抛出去，最后落于C点，则( )
A．小球A先到达C点 B．小球B先到达C点
C．两球同时到达C点 D．不能确定
C [B球在水平方向以速度v0做匀速直线运动，故二者同时到达C点．]
2．(平抛运动的时间)关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间(不计空气阻力)，下列说法正确的是( )
A．速度大的时间长 B．速度小的时间长
C．一样长 D．质量大的时间长
C [水平抛出的物体做平抛运动，由y＝gt2得t＝，其下落的时间由下落的高度决定，从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，落到水平地面上的时间相同，A、B、D错误，C正确．]
3．(平抛运动的水平射程)如图所示为某喷水雕塑，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是( )
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
D [由题意可将水的运动看成平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则竖直方向有h＝gt2，得t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，运动时间一定，故A错误，D正确．水平方向有x＝v0t＝v0，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远；喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越远，故B、C错误．]
4．(平抛运动的速度和位移计算)从高为80 m的塔顶以15 m/s的速度水平抛出一个小铁球，求小铁球落地时的速度和整个过程的位移．(不考虑空气阻力，g取10 m/s2，计算结果保留整数)
解析 小球的运动过程如图所示．
t＝＝4 s，vy＝gt＝40 m/s
落地时的速度v＝ eq \r(v＋v) ≈43 m/s，设此时速度方向与水平方向的夹角为θ，则
tan θ＝＝，θ＝arctan
水平位移x＝v0t＝15×4 m＝60 m
整个过程的位移x合＝＝100 m，设此时位移方向与水平方向的夹角为α，则
tan α＝＝＝＝
α＝arctan .
答案 43 m/s，方向与水平方向的夹角θ＝arctan
100 m，方向与水平方向的夹角α＝arctan
课时作业(3) 研究平抛运动的规律
[对应学生用书P100]
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，其速度方向不变，是匀速运动
C．做平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
D．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D [做平抛运动的物体只受重力的作用，加速度为g，速度方向时刻在变化，是匀变速曲线运动，故A、B错误；做平抛运动物体的加速度与物体质量无关，运动规律与物体的质量无关，故C错误；平抛运动可以分解为在水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故D正确．]
2．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，图中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
C [物体做平抛运动时，在水平方向上做匀速直线运动，其水平方向的分速度不变，故C正确．]
3．(2021·河北卷)铯原子钟是精确的计时仪器，图甲中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间t1；图乙中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2，O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m，重力加速度取g＝10 m/s2，则t1∶t2为( )
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
C [铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即x＝vt1
解得t1＝＝ s＝0.002 s
铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体运动，即
x＝g()2
解得t2＝＝ s＝0.4 s
则＝＝
故选C.]
4．如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上．不计空气阻力，则B小球比A小球( )
A．先抛出，初速度大 B．后抛出，初速度大
C．先抛出，初速度小 D．后抛出，初速度小
B [B的竖直位移较小，根据t＝可知，B运动的时间较短，则B后抛出；B的水平位移较大，根据v0＝可知，B的初速度较大，故B正确．]
5．(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视为平抛运动，下列叙述正确的是( )
A．球的速度v等于L
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
AB [由题意可知t＝ ，由L＝vt得v＝L，故A、B正确；球从击球点到落地点的位移为 ，故C错误；此位移与球的质量无关，故D错误．]
6．(多选)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝tb
AD [a球下落的高度和水平方向上运动的距离均是b球的2倍，即ya＝2yb，xa＝2xb，而xa＝vata，ya＝gt，xb＝vbtb，yb＝gt，可求出ta＝tb，va＝vb.]
7．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
B [由于子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以将击中P点．子弹水平方向做匀速直线运动，由L＝vt可得t＝，B项正确．]
8．一个物体从20 m高处水平抛出，第1 s末速度方向与水平方向的夹角为30°，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)落地时的速度大小；
(2)落地点离抛出点的距离．
解析 (1)物体抛出后第1 s末的竖直速度为
vy1＝gt＝10 m/s，而此时tan 30°＝，
所以初速度v0＝10 m/s.
物体落地时的竖直速度vy2＝＝20 m/s，
故落地时物体的速度大小为
v＝ eq \r(v＋v) ＝10 m/s.
(2)由h＝ gt2得物体的运动时间t＝＝2 s，
故平抛运动的水平位移x＝v0t＝20 m，
落地点离抛出点的距离s＝ ＝40 m.
答案 (1)10 m/s (2)40 m
9．如图所示，一对父子在玩“套圈圈”的游戏，当他们同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈时，都能套中地面上的同一目标．不计空气阻力，设爸爸和儿子抛出铁丝圈的位置离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于( )
A．2∶1 B．1∶2 C．∶1 D．1∶
D [铁丝圈做平抛运动，其运动时间t＝，故水平位移x＝v；因为两者的水平位移相同，所以有v1＝v2.已知H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2＝＝1∶，故D正确，A、B、C错误．]
10. 如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，以下图像能正确表示平抛运动的飞行时间t随v变化的函数关系的是( )
B [平抛运动竖直方向为自由落体运动h＝gt，水平方向为匀速直线运动x＝v0t.若初速度大于v0，在高度不变时水平位移就会大于x，此时小球落在水平面上，高度不变，所以飞行时间不变，结合图像可知，A、D错误；若初速度小于v0，则会落在斜面上，此时设斜面的倾角为θ，则有tan θ＝＝＝，得到时间t＝，可见t∝v，B正确，C错误．]
11．如图所示，可视为质点的小球，位于半径为 m 的半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点．过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度的大小为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)( )
A． m/s B．4 m/s
C．3 m/s D． m/s
C [由题意知，R＋R·cos 60°＝v0t①
由速度分解图及边角关系得tan 60°＝②
由①②两式解得v0＝3 m/s，故C正确．]
12．如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，若小球恰好落到B处，设空气阻力可忽略不计．
(1)求小球从A处运动到B处所需的时间，小球落到B处时的速度大小及A、B间距离．
(2)从抛出时开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？离斜面的最大距离是多少？
解析 (1)小球做平抛运动，设小球从A处运动到B处所需的时间为t，则
水平位移为x＝v0t，竖直位移为y＝gt2.
由几何关系得tan θ＝，
由以上三式可得，小球从A处运动到B处所需的时间为t＝，
小球落到B处时的速度大小为
v＝ eq \r(v＋g2t2) ＝v0，
A、B间距离为s＝＝ eq \f(2vtan θ,g cos θ) .
(2)如图所示，小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大，此时有
tan θ＝＝，
故运动时间为t′＝，
此时小球的水平位移为x′＝v0t′＝ eq \f(vtan θ,g) .
又因为此时小球速度方向的反向延长线交x轴于处，故小球离斜面的最大距离为
H＝x′sin θ＝ eq \f(vtan θsin θ,2g) .
答案 (1) v0 eq \f(2vtanθ,g cos θ)
(2) eq \f(vtan θsin θ,2g)第4节 研究平抛运动的规律
课程内容要求 核心素养提炼
1．知道平抛运动的概念和条件．2．学会应用平抛运动规律分析、解决实际问题．3．学会分析平抛运动和斜面相关的问题及临界问题． 1．物理观念：平抛运动、平抛运动的速度、位移、轨迹．2．科学思维：建立平抛运动模型的方法，斜面平抛、临界问题的分析方法．3．科学态度与责任：生活中和体育运动中的平抛运动．
1．探究平抛运动竖直分运动的特点
(1)用小锤击打弹性金属片，A球水平抛出，B球自由落下．
(2)观察两球的运动轨迹并比较两球落地时间．若只听到一次声响，说明两球同时落地．
(3)改变两球的高度和小锤打击力度，多次重复进行实验．
(4)分析实验现象得出结论：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动．
2．探究平抛运动水平分运动的特点
(1)按图甲所示安装实验装置，使小球在斜槽末端点恰好静止．
(2)以水平槽末端端口上小球的球心位置为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴．
(3)使小球从斜槽上同一位置由静止滚下，把笔尖放在小球可能经过的位置上，如果小球运动中碰到笔尖，就用铅笔在该位置画上一点．用同样方法，在小球运动路线上描下若干点．
(4)将白纸从木板上取下，从O点开始通过画出的若干点描出一条平滑的曲线，如图乙所示．
乙
(5)确定在相等的时间间隔内，测量水平分运动的位移．
(6)分析得出结论：平抛运动水平分运动是匀速直线运动．
(7)最后结论：平抛运动是水平方向匀速直线运动和竖直方向自由落体运动的合运动．
下图为小球水平抛出后在空中做平抛运动的运动轨迹．小球的运动轨迹是曲线，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？
提示 一般以初速度v0的方向为x轴的正方向，竖直向下的方向为y轴的正方向，以小球被抛出的位置为坐标原点建立平面直角坐标系．
1．位置坐标：
2．两个分速度：
3．轨迹方程：y＝ eq \f(g,2v) x2，式中g、v0都是不随时间变化的常量，其轨迹是一条抛物线．
(对的画“√”，错的画“×”)
(1)平抛运动的时间和抛出的初速度有关，初速度越大，时间越长．(×)
(2)任一时刻平抛运动合位移方向与合速度的方向是一致的．(×)
探究点一 平抛运动的规律及应用
1．如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点，试证明A是OB的中点．
2．若平抛运动的速度偏向角为θ，位移的偏向角为α，如图所示，试证明tan θ＝2tan α.
1．平抛运动的规律
运动 速度 位移 加速度
水平分运动(匀速直线运动) vx＝v0 x＝v0t ax＝0
竖直分运动(自由落体运动) vy＝gt y＝gt2 ay＝g
合运动(平抛运动) v＝ eq \r(v＋（gt）2) tan θ＝ x合＝tan α＝
2.平抛运动的时间和水平射程
(1)飞行时间：由于平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，有h＝gt2，故t＝，即平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
(2)水平射程：由于平抛运动在水平方向上的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离x＝v0t＝v0，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关．
第13届女子排球世界杯赛事中，中国女排蝉联冠军．在发球过程中，排球的运动可视为平抛运动，若某次将排球以6 m/s 的速度水平击出，它落地时的速度大小为10 m/s.不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)排球在空中运动的时间t；
(2)排球运动的水平位移x；
(3)排球在空中下落的高度h.
一小球沿水平方向抛出，当抛出1 s后它的速度方向与水平方向的夹角α＝45°，落地时速度方向与水平方向的夹角β＝60°，g取10 m/s2，求：
(1)初速度大小；
(2)落地速度大小；
(3)抛出点离地面的高度．
探究点二 斜面上的平抛运动问题
如图所示，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，tan 37°＝)求：
(1)小球在空中的飞行时间；
(2)抛出点与落点的竖直距离．
如图所示，一名滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)O点与A点的距离L；
(2)运动员落到A点时的速度大小．
如图所示，以9.8 m/s的速度水平抛出的物体飞行一段时间后，垂直撞在倾角θ＝30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为(g取9.8 m/s2)( )
A． s B． s
C． s D．2 s
如图所示，一个小球以大小为v0的水平速度从一个倾角为37°的足够长的固定斜面顶端向右抛出(已知cos 37°＝0.8).不计空气阻力，则小球距离斜面最远时的速度大小为( )
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
探究点三 平抛运动临界问题
如图所示，水平房顶高H＝5 m，竖直墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离l＝3 m，墙外马路宽d＝6 m.欲使小球从房顶水平飞出后落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足什么条件？(墙的厚度不计，g取10 m/s2)
如图所示，小球从离地高h＝5 m，离竖直墙水平距离s＝4 m 处水平抛出，不计空气阻力，g取10 m/s2，则：
(1)若要使小球碰不到墙，则它的初速度应满足什么条件？
(2)若以v0＝8 m/s的初速度向墙水平抛出小球，碰撞点离地面的高度是多少？
1．(平抛运动的性质)如图所示，在光滑的水平面上有小球A以初速度v0向左运动，同时刻一个小孩在A球正上方以v0的速度将B球平抛出去，最后落于C点，则( )
A．小球A先到达C点 B．小球B先到达C点
C．两球同时到达C点 D．不能确定
2．(平抛运动的时间)关于从同一高度以不同初速度水平抛出的物体，比较它们落到水平地面上的时间(不计空气阻力)，下列说法正确的是( )
A．速度大的时间长 B．速度小的时间长
C．一样长 D．质量大的时间长
3．(平抛运动的水平射程)如图所示为某喷水雕塑，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是( )
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
4．(平抛运动的速度和位移计算)从高为80 m的塔顶以15 m/s的速度水平抛出一个小铁球，求小铁球落地时的速度和整个过程的位移．(不考虑空气阻力，g取10 m/s2，计算结果保留整数)
课时作业(3) 研究平抛运动的规律
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，其速度方向不变，是匀速运动
C．做平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
D．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
2．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，图中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
3．(2021·河北卷)铯原子钟是精确的计时仪器，图甲中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间t1；图乙中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2，O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m，重力加速度取g＝10 m/s2，则t1∶t2为( )
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
4．如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上．不计空气阻力，则B小球比A小球( )
A．先抛出，初速度大 B．后抛出，初速度大
C．先抛出，初速度小 D．后抛出，初速度小
5．(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视为平抛运动，下列叙述正确的是( )
A．球的速度v等于L
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
6．(多选)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝tb
7．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
8．一个物体从20 m高处水平抛出，第1 s末速度方向与水平方向的夹角为30°，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)落地时的速度大小；
(2)落地点离抛出点的距离．
9．如图所示，一对父子在玩“套圈圈”的游戏，当他们同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈时，都能套中地面上的同一目标．不计空气阻力，设爸爸和儿子抛出铁丝圈的位置离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于( )
A．2∶1 B．1∶2 C．∶1 D．1∶
10. 如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，以下图像能正确表示平抛运动的飞行时间t随v变化的函数关系的是( )
11．如图所示，可视为质点的小球，位于半径为 m 的半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点．过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度的大小为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)( )
A． m/s B．4 m/s
C．3 m/s D． m/s
12．如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，若小球恰好落到B处，设空气阻力可忽略不计．
(1)求小球从A处运动到B处所需的时间，小球落到B处时的速度大小及A、B间距离．
(2)从抛出时开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？离斜面的最大距离是多少？课时作业(3) 研究平抛运动的规律
[对应学生用书P100]
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，其速度方向不变，是匀速运动
C．做平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
D．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D [做平抛运动的物体只受重力的作用，加速度为g，速度方向时刻在变化，是匀变速曲线运动，故A、B错误；做平抛运动物体的加速度与物体质量无关，运动规律与物体的质量无关，故C错误；平抛运动可以分解为在水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故D正确．]
2．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，图中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
C [物体做平抛运动时，在水平方向上做匀速直线运动，其水平方向的分速度不变，故C正确．]
3．(2021·河北卷)铯原子钟是精确的计时仪器，图甲中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间t1；图乙中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2，O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m，重力加速度取g＝10 m/s2，则t1∶t2为( )
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
C [铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即x＝vt1
解得t1＝＝ s＝0.002 s
铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时，逆过程可视为自由落体运动，即
x＝g()2
解得t2＝＝ s＝0.4 s
则＝＝
故选C.]
4．如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上．不计空气阻力，则B小球比A小球( )
A．先抛出，初速度大 B．后抛出，初速度大
C．先抛出，初速度小 D．后抛出，初速度小
B [B的竖直位移较小，根据t＝可知，B运动的时间较短，则B后抛出；B的水平位移较大，根据v0＝可知，B的初速度较大，故B正确．]
5．(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视为平抛运动，下列叙述正确的是( )
A．球的速度v等于L
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
AB [由题意可知t＝ ，由L＝vt得v＝L，故A、B正确；球从击球点到落地点的位移为 ，故C错误；此位移与球的质量无关，故D错误．]
6．(多选)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝tb
AD [a球下落的高度和水平方向上运动的距离均是b球的2倍，即ya＝2yb，xa＝2xb，而xa＝vata，ya＝gt，xb＝vbtb，yb＝gt，可求出ta＝tb，va＝vb.]
7．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
B [由于子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以将击中P点．子弹水平方向做匀速直线运动，由L＝vt可得t＝，B项正确．]
8．一个物体从20 m高处水平抛出，第1 s末速度方向与水平方向的夹角为30°，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)落地时的速度大小；
(2)落地点离抛出点的距离．
解析 (1)物体抛出后第1 s末的竖直速度为
vy1＝gt＝10 m/s，而此时tan 30°＝，
所以初速度v0＝10 m/s.
物体落地时的竖直速度vy2＝＝20 m/s，
故落地时物体的速度大小为
v＝ eq \r(v＋v) ＝10 m/s.
(2)由h＝ gt2得物体的运动时间t＝＝2 s，
故平抛运动的水平位移x＝v0t＝20 m，
落地点离抛出点的距离s＝ ＝40 m.
答案 (1)10 m/s (2)40 m
9．如图所示，一对父子在玩“套圈圈”的游戏，当他们同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈时，都能套中地面上的同一目标．不计空气阻力，设爸爸和儿子抛出铁丝圈的位置离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于( )
A．2∶1 B．1∶2 C．∶1 D．1∶
D [铁丝圈做平抛运动，其运动时间t＝，故水平位移x＝v；因为两者的水平位移相同，所以有v1＝v2.已知H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2＝＝1∶，故D正确，A、B、C错误．]
10. 如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，以下图像能正确表示平抛运动的飞行时间t随v变化的函数关系的是( )
B [平抛运动竖直方向为自由落体运动h＝gt，水平方向为匀速直线运动x＝v0t.若初速度大于v0，在高度不变时水平位移就会大于x，此时小球落在水平面上，高度不变，所以飞行时间不变，结合图像可知，A、D错误；若初速度小于v0，则会落在斜面上，此时设斜面的倾角为θ，则有tan θ＝＝＝，得到时间t＝，可见t∝v，B正确，C错误．]
11．如图所示，可视为质点的小球，位于半径为 m 的半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点．过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度的大小为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)( )
A． m/s B．4 m/s
C．3 m/s D． m/s
C [由题意知，R＋R·cos 60°＝v0t①
由速度分解图及边角关系得tan 60°＝②
由①②两式解得v0＝3 m/s，故C正确．]
12．如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，若小球恰好落到B处，设空气阻力可忽略不计．
(1)求小球从A处运动到B处所需的时间，小球落到B处时的速度大小及A、B间距离．
(2)从抛出时开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？离斜面的最大距离是多少？
解析 (1)小球做平抛运动，设小球从A处运动到B处所需的时间为t，则
水平位移为x＝v0t，竖直位移为y＝gt2.
由几何关系得tan θ＝，
由以上三式可得，小球从A处运动到B处所需的时间为t＝，
小球落到B处时的速度大小为
v＝ eq \r(v＋g2t2) ＝v0，
A、B间距离为s＝＝ eq \f(2vtan θ,g cos θ) .
(2)如图所示，小球的速度方向平行于斜面时，小球离斜面的距离最大，此时有
tan θ＝＝，
故运动时间为t′＝，
此时小球的水平位移为x′＝v0t′＝ eq \f(vtan θ,g) .
又因为此时小球速度方向的反向延长线交x轴于处，故小球离斜面的最大距离为
H＝x′sin θ＝ eq \f(vtan θsin θ,2g) .
答案 (1) v0 eq \f(2vtanθ,g cos θ)
(2) eq \f(vtan θsin θ,2g)课时作业(3) 研究平抛运动的规律
1．关于平抛运动，下列说法正确的是( )
A．平抛运动是一种不受任何外力作用的运动
B．平抛运动是曲线运动，其速度方向不变，是匀速运动
C．做平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近
D．平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
2．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，图中能表示出速度矢量的演变过程的是( )
3．(2021·河北卷)铯原子钟是精确的计时仪器，图甲中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间t1；图乙中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2，O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m，重力加速度取g＝10 m/s2，则t1∶t2为( )
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
4．如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上．不计空气阻力，则B小球比A小球( )
A．先抛出，初速度大 B．后抛出，初速度大
C．先抛出，初速度小 D．后抛出，初速度小
5．(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视为平抛运动，下列叙述正确的是( )
A．球的速度v等于L
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
6．(多选)如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝tb
7．(2022·广东卷)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
8．一个物体从20 m高处水平抛出，第1 s末速度方向与水平方向的夹角为30°，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)落地时的速度大小；
(2)落地点离抛出点的距离．
9．如图所示，一对父子在玩“套圈圈”的游戏，当他们同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈时，都能套中地面上的同一目标．不计空气阻力，设爸爸和儿子抛出铁丝圈的位置离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于( )
A．2∶1 B．1∶2 C．∶1 D．1∶
10. 如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v0时，小球恰好落到斜面底端，飞行时间为t0.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，以下图像能正确表示平抛运动的飞行时间t随v变化的函数关系的是( )
11．如图所示，可视为质点的小球，位于半径为 m 的半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点．过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度的大小为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)( )
A． m/s B．4 m/s
C．3 m/s D． m/s
12．如图所示，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度v0水平抛出一小球，若小球恰好落到B处，设空气阻力可忽略不计．
(1)求小球从A处运动到B处所需的时间，小球落到B处时的速度大小及A、B间距离．
(2)从抛出时开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？离斜面的最大距离是多少？
