1 菱形的性质与判定
第2课时 菱形的判定
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2023辽宁沈阳浑南期中)在下列条件中,能够判定四边形是菱形的是 ( )
A.两条对角线相等
B.两条对角线互相垂直平分
C.两条对角线互相垂直
D.两条对角线相等且互相垂直
2.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,连接CD,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 ( )
A.长方形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
3.(2023广东阳山期中)如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、DC、CA、DB的中点,若中点四边形EHFG是菱形,那么原四边形ABCD满足的条件是 ( )
A.AD=BC B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAB+∠ABC=90°
4.(2023重庆珊瑚中学期中)如图所示,D,E,F分别是△ABC三边的中点,添加下列条件后,不能得到四边形DBFE是菱形的是 ( )
A.AB=BC B.BE平分∠ABC
C.BE⊥AC D.AB=AC
5.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:
甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN,分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:分别作∠BAD,∠ABC的平分线AE,BF,分别交BC,AD于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断 ( )
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
二、填空题
6.菱形的判定方法:(1)有一组邻边 的平行四边形是菱形;
(2)对角线 的平行四边形是菱形;
(3) 的四边形是菱形;
(4)每条对角线 一组对角的四边形是菱形.
7.如图所示,D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且DE∥AB,DF∥CA,点D在∠BAC的平分线上,则四边形AFDE是 .
三、解答题
8.(2021湖北随州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)求证:四边形BEDF是菱形.
9.(2023山西平遥期末)如图,在平行四边形ABCD中,延长AB至点E,使BE=AB,连接BD和CE.
(1)求证:△DAB≌△CBE;
(2)请你给图中平行四边形ABCD补充适当的条件,使四边形DBEC成为菱形,并结合补充条件给出证明.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 B 菱形的判定方法有三种:①一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四条边都相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故选B.
2.答案 B 根据作图方法可得AC=AD=BD=BC,因此四边形ADBC一定是菱形.故选B.
3.答案 A ∵四边形EHFG是菱形,∴EH=HF=FG=GE,∵E、F、G、H分别是AB、DC、CA、DB的中点,∴EH=AD,HF=BC,FG=AD,GE=BC,∴当原四边形ABCD满足条件AD=BC时,可以证明四边形EHFG是菱形.故选A.
4.答案 D ∵D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,∴DE∥BC,EF∥AB,DE=BC,EF=AB,∴四边形DBFE是平行四边形.当AB=BC时,DE=EF,∴四边形DBFE是菱形,故A不符合题意;当BE平分∠ABC时,∠DBE=∠CBE,∵DE∥BC,∴∠DEB=∠CBE,∴∠DBE=∠DEB,∴BD=DE,∴四边形DBFE是菱形,故B不符合题意;当BE⊥AC时,∵E是AC的中点,∴AB=BC,∴DE=EF,∴四边形DBFE是菱形,故C不符合题意;当AB=AC时,不能得到四边形DBFE是菱形,故D符合题意.故选D.
5.答案 C 甲的作法正确.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN,
∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO,
在△AOM和△CON中,∴△AOM≌△CON(ASA),∴MO=NO,
∴四边形ANCM是平行四边形,
∵AC⊥MN,∴平行四边形ANCM是菱形.
乙的作法正确.理由如下:
如图,∵AD∥BC,∴∠1=∠2,∠6=∠7,
∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴∠1=∠3,∠5=∠7,
∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE,
∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AB=AF,∴平行四边形ABEF是菱形.
故选C.
二、填空题
6.答案 (1)相等 (2)互相垂直 (3)四边相等 (4)平分
7.答案 菱形
解析 ∵DE∥AB,DF∥CA,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∴∠AFD=∠AED,
∵点D在∠BAC的平分线上,
∴∠FAD=∠DAE,
又∵AD=AD,
∴△ADF≌△ADE(AAS),
∴AF=AE,
∴四边形AFDE是菱形.
三、解答题
8.证明 (1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)如图,连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AO=CO,BO=DO,
∵AE=CF,∴EO=FO,∴四边形BEDF是平行四边形,
又∵BD⊥EF,∴平行四边形BEDF是菱形.
9.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠CBE=∠DAB,
在△DAB和△CBE中,∴△DAB≌△CBE(SAS).
(2)答案不唯一.如:补充条件为AB=AD且∠A=60°.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥BE,DC=AB=BE,∴四边形DBEC是平行四边形,∵AB=AD且∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AB=BD,又∵BE=AB,∴BD=BE,∴平行四边形DBEC是菱形.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2023广东佛山南海期末)如图,AC为菱形ABCD的对角线,已知∠ADC=140°,则∠BCA等于 ( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
2.(2023山东烟台期末)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AB=5,AC=6,则BD的长为 ( )
A.4 B.6 C.7 D.8
3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列结论:①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等边三角形.其中一定成立的是 ( )
A.①② B.③④ C.②③ D.①③
4.如图,菱形ABCD中对角线相交于点O,AB=AC,则∠ADB的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
5.(2022甘肃兰州中考)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为AD的中点,连接OE,∠ABC=60°,BD=4,则OE= ( )
A.4 B.2
二、填空题
6.(2021贵州贵阳中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是(0,1),且BC=,则点A的坐标是 .
7.(2023山东滕州大坞中学月考)菱形的周长是24,两邻角比为1∶2,较长的对角线长为 .
三、解答题
8.(2022辽宁大连中考)如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF.求证:CE=CF.
9.(2022陕西武功期中)如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为AB的中点,DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数;
(2)如果AC=6,求DE的长.
10.(2022青海中考)如图,四边形ABCD为菱形,E为对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接DE并延长交射线AB于点F,连接BE.
(1)求证:△DCE≌△BCE;
(2)求证:∠AFD=∠EBC.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 C ∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC+∠BCD=180°,∠DCA=∠BCA,
∵∠ADC=140°,∴∠BCD=40°,∴∠BCA=∠DCA=∠BCD=20°,故选C.
2.答案 D ∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴OA=OC=3,OB=OD,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,根据勾股定理,得OB==4,∴BD=2OB=8,
故选D.
3.答案 D 根据菱形的对角线互相垂直平分可得①成立,②不一定成立;
根据菱形的每条对角线平分一组对角可得③成立;
只有当∠ABC=60°时,△ABC才是等边三角形,④不一定成立.故选D.
4.答案 A ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠ADC=∠ABC,∠ADB=∠CDB,
∵AB=AC,∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ADC=60°,
∴∠ADB=∠ADC=30°,故选A.
5.答案 C ∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴BO=DO,∠ABO=30°,AC⊥BD,AB=AD,∴AO=AB,∵BD=4,∴BO=2,设AO=x,则AB=2x,在Rt△ABO中,BO2+AO2=AB2,∴(2)2+x2=(2x)2,∴x=2(舍负),∴AO=2,AB=4,∵E为AD的中点,O为BD的中点,∴OE为△ABD的中位线,∴OE=AB=2,故选C.
二、填空题
6.答案 (2,0)
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴∠BOC=90°,OC=OA,
∵点B的坐标是(0,1),∴OB=1,
在直角三角形BOC中,BC=,∴OC==2,
∴点C的坐标为(-2,0),
∵点A与点C关于原点对称,∴点A的坐标为(2,0).
7.答案 6
解析 如图,∵菱形ABCD的周长是24,∴菱形的边长AB=6,AB=BC,
∵菱形的两邻角之比为1∶2,∴较小的内角∠ABC=180°×=60°,
∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=6,
在菱形ABCD中,OA=OC=AC,OB=BD,AC⊥BD,∴AO=×6=3,
在Rt△ABO中,OB=,
∴较长的对角线BD=2OB=2×3.
三、解答题
8.证明 如图,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴∠EAC=∠FAC,
在△ACE和△ACF中,∴△ACE≌△ACF(SAS),∴CE=CF.
9.解析 (1)∵E为AB的中点,DE⊥AB,∴AD=BD,
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AD=AB,
∴∠DAB+∠ABC=180°,AD=BD=AB,
∴△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°,∴∠ABC=120°.
(2)∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,AO=.
在等边△ABD中,∵AO⊥BD,DE⊥AB,∴DE=AO=3.
10.证明 (1)∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠DCE=∠BCE,
∵CE=CE,
∴△DCE≌△BCE(SAS).
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴DC∥AF,
∴∠CDF=∠AFD,
∵△DCE≌△BCE,
∴∠CDF=∠EBC,
∴∠AFD=∠EBC.
