第7章 锐角三角函数素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.若α是锐角,sin(α+15°)=,那么锐角α等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.(2022内蒙古通辽中考)如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则cos∠ADC的值为( )
A.
3.(2021山东烟台中考)若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算,其按键顺序及结果如下:
2yx3-16=
按键的结果为m;
2ndF(64)-2x2=
按键的结果为n;
9ab/c2-cos60=
按键的结果为k.
下列判断正确的是( )
A.m=n B.n=k
C.m=k D.m=n=k
4.(2022广西贵港中考)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是 ( )
A.
5.(2022贵州毕节中考)如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC=5 m,坡面AB的坡度为1∶,则AB的长度为( )
A.10 m B.10 m
6.(2022贵州黔东南州中考)如图,PA、PB分别与☉O相切于点A、B,连接PO并延长与☉O交于点C、D,若CD=12,PA=8,则sin∠ADB的值为( )
A.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,D从A出发沿AC方向以1 cm/s的速度向终点C匀速运动,过点D作DE∥AB交BC于点E,过点E作EF⊥BC交AB于点F,当四边形ADEF为菱形时,点D运动的时间为 s. ( )
A.
8.关于三角函数有如下公式:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,
tan(α+β)=(1-tan αtan β≠0).
合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值,如:
sin 90°=sin(30°+60°)=sin 30°cos 60°+cos 30°·sin 60°==1.
利用上述公式计算下列三角函数:
①sin 105°=,②tan 105°=-2-,③sin 15°=,④cos 90°=0,其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(2022广东中考)sin 30°= .
10.若
12.(2019浙江杭州中考)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= .
13.【数学文化】(2022湖南张家界中考)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形,这个图被称为“弦图”,它体现了中国古代数学的成就.如图,已知大正方形ABCD的面积是100,小正方形EFGH的面积是4,那么tan∠ADF= .
14.(2022湖北荆门中考)如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向的点B处,则t= .
15.(2020江西中考)矩形纸片ABCD中,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE的长为 cm.
16.【新情境·光伏发电】(2022浙江金华中考)图1是光伏发电场景的示意图,EF为吸热塔,在地平线EG上的点B,B'处各安装定日镜(介绍见图2),绕各中心点(A,A')旋转镜面,使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处.已知AB=A'B'=1 m,EB=8 m,EB'=8 m,在点A观测点F的仰角为45°.
(1)吸热塔EF的高度为 m;
(2)设∠DAB=α,∠D'A'B'=β,则α与β的数量关系是 .
图1 图2
三、解答题(共52分)
17.(2022江苏南通一中月考)(10分)
(1)计算:sin 60°·cos230°-;
(2)在锐角△ABC中,若∠A,∠B满足=0,求∠C的度数.
18.【国防科技】(2022青海中考)(10分)随着我国科学技术的不断发展,科学幻想变为现实.图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型,全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面,并通过垂尾模型的外围测得如下数据,BC=8,CD=2,∠D=135°,∠C=60°,且AB∥CD,求出垂尾模型ABCD的面积.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732)
图1 图2
19.(2022江苏淮安中考)(10分)如图,湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间的距离,经测量得∠BAC=37°,∠ABC=58°,AC=80米,求A、B两点之间的距离.(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
20.(2022辽宁阜新中考)(10分)如图,小文在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB,在居民楼前方有一斜坡,坡长CD=15 m,斜坡的倾斜角为α,cos α=.小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°,在D点处测得楼顶端A的仰角为30°(点A,B,C,D在同一平面内).
(1)求C,D两点的高度差;
(2)求居民楼的高度AB.(结果精确到1 m,参考数据:≈1.7)
21.(2022贵州贵阳中考)(12分)交通安全心系千万家.高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪,如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7 m,测速仪C和E之间的距离CE=750 m,一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶,在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°,在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°,小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38 s(图中所有点都在同一平面内).
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1 m);
(2)若该隧道限速22 m/s,判断小汽车从点A行驶到点B是否超速,通过计算说明理由.
(参考数据:≈1.7,sin 25°≈0.4,cos 25°≈0.9,tan 25°≈0.5,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
答案全解全析
1.B ∵sin 45°=,∴α+15°=45°,∴α=30°,故选B.
2.B 如图,连接BC,AC,
∵AB为直径,∴∠ACB=90°,又∵点A,B,C,D都在圆上,∴∠ADC=∠ABC,在Rt△ABC中,cos∠ABC=,∴cos∠ADC=,故选B.
3.C m=23-=8-4=4;n=-22=4-4=0;k=-cos 60°=-=4,∴m=k,故选C.
4.C 延长AC到D,连接BD,如图,
∵AD2=20,BD2=5,AB2=25,
∴AD2+BD2=AB2,
∴∠ADB=90°,∴cos∠BAC=,故选C.
5.A ∵坡面AB的坡度为,∴AC=5 m,∴AB==10 m.故选A.
6.A
如图,连接AO,BO,∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴∠PAO=∠PBO=90°,PB=PA=8,∵DC=12,∴AO=6,∴OP==10,在Rt△PAO和Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL),∴∠AOP=∠BOP,∴,∴∠ADC=∠BDC,∵∠AOC=2∠ADC,∴∠ADB=∠AOC,∴sin∠ADB=sin∠AOC=.故选A.
7.D 设经过t秒后,四边形ADEF是菱形,
∴AD=DE=t cm,∴CD=(3-t)cm,
∵DE∥AB,∴∠ABC=∠DEC,
∵∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,
∴AB==5(cm),
∵sin∠DEC=sin∠ABC=,
∴,∴t=,故选D.
8.D ①sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°·sin 45°=,故①正确;
②tan 105°=tan(45°+60°)=,故②正确;③sin 15°=sin(60°-45°)=sin 60°cos 45°-cos 60°sin 45°=,故③正确;④cos 90°=cos(45°+45°)=cos 45°cos 45°-sin 45°sin 45°==0,故④正确.故选D.
9.答案
解析 sin 30°=.
10.答案 33°≤α<45°
解析 ∵sin 57°=cos 33°,cos 45°=,
∴cos 45°
解析 用计算器计算:∵tan A=1.5,∴∠A≈56.3°.
12.答案
解析 若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC=x,所以cos C=;若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC=x,所以cos C=.综上所述,cos C的值为.
13.答案
解析 ∵大正方形ABCD的面积是100,∴AD=10,∵小正方形EFGH的面积是4,∴小正方形EFGH的边长为2,∴DF-AF=2,设AF=x,则DF=x+2,由勾股定理得,x2+(x+2)2=102,解得x=6或-8(负值舍去),∴AF=6,DF=8,∴tan∠ADF=,故答案为.
14.答案 1+
解析 如图,由题意得,
∠PAC=45°,∠PBA=30°,AP=100海里,在Rt△APC中,AC=AP·cos 45°=100×(海里),PC=AP·sin 45°=100×(海里),∴在Rt△BCP中,BC=(海里),∴AB=AC+BC=(50)海里,∴t=.
15.答案 或(8-4)
解析 分三种情况:①当∠ABE=30°时,在Rt△ABE中,tan 30°=,∴AE= cm;②当∠AEB=30°时,在Rt△ABE中,tan 30°=,∴AE=4 cm;③当∠A'ED=30°时,如图,由折叠的性质可得△ABE≌△A'BE,∴∠A'EB=∠AEB=75°,∴∠ABE=15°,在Rt△ABE中,作∠FEB=∠FBE,并交AB于点F,则∠AFE=30°,∴BF=EF=2AE,∴AF=4-2AE,在Rt△AFE中,AE2+AF2=EF2,即AE2+(4-2AE)2=(2AE)2,化简得AE2-16AE+16=0,∴AE=(8-4)cm或AE=(8+4)cm(舍).∴AE的长为 cm或(8-4)cm.
16.答案 (1)9 (2)α-β=7.5°
解析 (1)连接A'A并延长交EF于点H,如图,
则四边形HEB'A',四边形HEBA,四边形ABB'A'均为矩形,∴HE=AB=A'B'=1 m,HA=EB=8 m,HA'=EB'=8 m,∵在点A观测点F的仰角为45°,∴∠HAF=45°,∵∠FHA=90°,∴∠HFA=45°=∠HAF,∴HF=HD=8 m,∴EF=8+1=9(m),故答案为9.
(2)作DC的法线AK,D'C'的法线A'R,如图所示,
则∠FAM=2∠FAK,∠FA'N=2∠FA'R,
∵HF=8 m,HA'=8 m,∴tan∠HFA'=,
∴∠HFA'=60°,∴∠AFA'=60°-45°=15°,
∵太阳光线是平行光线,
∴A'N∥AM,∴∠NA'M=∠AMA',
∵∠AMA'=∠AFM+∠FAM,
∴∠NA'M=∠AFM+∠FAM,
∴2∠FA'R=15°+2∠FAK,
∴∠FA'R=7.5°+∠FAK,
∵AB∥EF,A'B'∥EF,
∴∠BAF=180°-45°=135°,∠B'A'F=180°-60°=120°,
∴∠DAB=∠BAF+∠FAK-∠DAK=135°+∠FAK-90°=45°+∠FAK,
同理,∠D'A'B'=120°+∠FA'R-90°=30°+∠FA'R=30°+7.5°+∠FAK=37.5°+∠FAK,∴∠DAB-∠D'A'B'=45°-37.5°=7.5°,故答案为α-β=7.5°.
17.解析 (1)原式=
=.
(2)∵=0,
∴cos A-=0,sin B-=0,
即cos A=,sin B=,∴∠A=60°,∠B=45°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-60°-45°=75°.
18.解析 如图,过点A作CD的垂线,交CD的延长线于F,
过点C作AB的垂线,交AB的延长线于E,∵AB∥CD,∴四边形AECF是矩形,∵∠BCD=60°,∴∠BCE=90°-60°=30°,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,BC=8,∴BE=BC=4,CE=,∵∠ADC=135°,∴∠ADF=180°-135°=45°,∴△ADF是等腰直角三角形,∴DF=AF=CE=4,∵FC=AE,∴4+2=AB+4,∴AB=4-2,∴S梯形ABCD=×(2+4-2)×4=24.
答:垂尾模型ABCD的面积为24.
19.解析 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为点D,
在Rt△ACD中,∵∠DAC=37°,AC=80米,
∴sin∠DAC=,cos ∠DAC=,
∴CD=AC·sin 37°≈80×0.60=48(米),
AD=AC·cos 37°≈80×0.80=64(米),
在Rt△BCD中,∵∠CBD=58°,CD=48米,
∴tan∠CBD=,∴BD=≈=30(米),
∴AB=AD+BD=64+30=94(米).
答:A、B两点之间的距离约为94米.
20.解析 (1)如图,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,
∵在Rt△DCE中,cos α=,CD=15 m,
∴CE=CD·cos α=15×=12(m).
∴DE==9(m).
答:C,D两点的高度差为9 m.
(2)如图,过点D作DF⊥AB于F,由题意可得BF=DE=9 m,DF=BE,设AF=x m,在Rt△ADF中,tan∠ADF=tan 30°=,∴DF=x m,在Rt△ABC中,AB=AF+FB=(x+9)m,BC=BE-CE=DF-CE=(x-12)m,∴tan 60°=,解得x=6,经检验,x=6是原方程的解,且符合题意,∴AB=6+9≈24(m).
答:居民楼的高度AB约为24 m.
21.解析 (1)由题意得∠CAD=25°,∠EBF=60°,CE=DF=750 m,在Rt△ACD中,CD=7 m,∴AD=≈=14(m),在Rt△BEF中,EF=7米,∴BF=≈4.0(m),∴AB=AD+DF-BF=14+750-4.0=760(m),
∴A,B两点之间的距离约为760 m.
(2)小汽车从点A行驶到点B没有超速.
理由:由题意得760÷38=20 m/s,
∵20 m/s<22 m/s,
∴小汽车从点A行驶到点B没有超速.
