第1章 一元二次方程
1.2 一元二次方程的解法
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知识点1 直接开平方法
1.(2022台湾省中考)已知一元二次方程(x-2)2=3的两个根为a、b,且a>b,则2a+b= ( )
A.9 B.-3
C.6+
2.【开放型试题】若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 (写出一个即可).
知识点2 配方法
3.(2019江苏南通中考)用配方法解方程x2+8x+9=0,变形后的结果正确的是( )
A.(x+4)2=-7 B.(x+4)2=-9
C.(x+4)2=7 D.(x+4)2=25
4.【新独家原创】小明将一元二次方程x2+8x-m=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式时,先移项得x2+8x=m,再把左边写成(x+4)2,然后右边加上一次项系数的平方,得到的错误结果是(x+4)2=56,则将x2+8x-m=0配方的正确结果是 .
知识点3 公式法
5.用公式法解一元二次方程3x2-4x=8时,应先将方程化为ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值依次为 ( )
A.3,-4,8 B.3,-4,-8
C.3,4,-8 D.3,4,8
6.【新考法】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b.以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交线段AB于点D,以点A为圆心,AD的长为半径画弧,交线段AC于点E.下列线段的长度是方程x2+2ax-b2=0的一个根的是( )
A.线段BC的长 B.线段AD的长
C.线段EC的长 D.线段AC的长
知识点4 一元二次方程根的判别式
7.(2022江苏淮安中考)若关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根,则k的值可以是 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
8.(2022湖南郴州中考)一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
9.【开放型试题】(2022江苏扬州中考)请填写一个常数,使得关于x的方程x2-2x+ =0有两个不相等的实数根.
知识点5 因式分解法
10.(2023江苏常州期中)方程x(x-1)=x的解是( )
A.x=1 B.x=0
C.x=2或x=0 D.x=1或x=-1
11.(1)方程(x+1)(x-3)=-4的解为 ;
(2)(2022江苏扬州高邮期末)若x3=x,则x= .
知识点6 用合适的方法解一元二次方程
12.解方程:
(1)(2022黑龙江齐齐哈尔中考)(2x+3)2=(3x+2)2;
(2)(2022江苏徐州中考)x2-2x-1=0;
(3)(2020江苏无锡中考)x2+x-1=0;
(4)(x-1)3+2(x-1)2+2x-2=0.
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13.【整体法】(2021江苏盐城建湖月考,8,★☆☆)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+3)2+b=0的解是 ( )
A.-1或-4 B.-2或1
C.1或3 D.-5或-2
14.(2021湖北荆州中考,10,★★☆)定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q,有[m,p]※[q,n]=mn+pq,其中等式右边是通常的加法和乘法运算,如:[2,3]※[4,5]=2×5+3×4=22.若关于x的方程[x2+1,x]※[5-2k,k]=0有两个实数根,则k的取值范围是( )
A.k<
C.k≤
15.(2020广东广州中考,9,★★☆)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0的实数解的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.1或2
16.(2022江苏宿迁中考,13,★☆☆)若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是 .
17.【易错题】(2022山东东营中考,15,★☆☆)关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
18.【转化与化归思想】(2019江苏连云港中考,14,★★☆)已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则+c的值等于 .
19.【降次法】(2023江苏镇江期中,12,★★☆)我们在学习一元二次方程的解法时用了降次的方法,有时用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解,对于一元二次不等式也可以用类似的方法求解,那么一元二次不等式x2-5x+6>0的解集是 .
20.【分类讨论思想】【新定义试题】(2022湖北十堰模拟,14,★★☆)对于实数p、q,我们用符号min{p,q}表示p、q两数中较小的数,如min{1,2}=1,若min{(x-1)2,x2}=1,则x= .
21.(2023江苏连云港东海马陵山中学月考,17,★★☆)解方程:
(1)(x-1)2=9;
(2)x2-4x-2=0(配方法);
(3)(x+1)(x-3)=2x-6(因式分解法);
(4)3x2+2x-1=0(公式法).
22.(2019湖南衡阳中考,21,★★☆)关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
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23.【几何直观】【教材变式·P12数学实验室】某“优学团”在社团活动时,研究了教材第12页的“数学实验室”,他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示.他们查阅资料还发现,这种构图法有阿拉伯数学家阿尔·花剌子模和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法.该社团以方程x2+10x-39=0为例,分别进行了展示.
因为x2+10x-39=0,所以有x(x+10)=39.
展示1:阿尔·花剌子模构图法:
如图1,方程x(x+10)=39可以看成是一个长为(x+10),宽为x的矩形,其面积为39,若在该矩形上剪去两个相邻的,长、宽都分别为x和5的小矩形,重新摆放并补上一个合适的小正方形,则可以拼成如图2所示的大正方形.
(1)图2中,补上的空白小正方形的边长为 ,通过不同的方式表示大正方形的面积,可以将原方程化为(x+ )2=39+ .
展示2:赵爽构图法:
用4个长都是(x+10),宽都是x的相同矩形,拼成如图3所示的正方形.
(2)图3中,大正方形的面积可以表示为( )2(用含x的代数式表示),另一方面,它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积,即等于4×39+ ,故可得原方程的一个正根为 .
(3)请选择上述任一种拼图方法直观地表示方程x2+2x=3的配方结果(请画出图形,并在图中标注出相关线段的长度).
答案全解全析
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1.C ∵(x-2)2=3,∴x-2=,
∴x1=2+,x2=2-,
∵a>b,∴a=2+,b=2-,
∴2a+b=4+2.故选C.
2.答案 5(答案不唯一,只要c≥0即可)
解析 ∵一元二次方程(x+3)2=c有实数根,
∴c≥0,∴c的值可以为5,答案不唯一.
3.C 方程x2+8x+9=0,移项得x2+8x=-9,配方得x2+8x+16=-9+16,即(x+4)2=7,故选C.
4.答案 (x+4)2=8
解析 由题意可得(x+4)2=m+64=56,所以m=-8,所以原方程为x2+8x=-8,
配方得x2+8x+16=-8+16,即(x+4)2=8.
故答案为(x+4)2=8.
5.B ∵3x2-4x=8,∴3x2-4x-8=0,
则a=3,b=-4,c=-8,故选B.
6.B 由勾股定理得,AB=,
∴AD=-a,
解方程x2+2ax-b2=0得x=-a,
∴线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.
故选B.
7.A ∵一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根,
∴Δ=(-2)2-4×1×(-k)=4+4k<0,∴k<-1,故选A.
8.A ∵Δ=12-4×2×(-1)=1+8=9>0,∴一元二次方程2x2+x-1=0有两个不相等的实数根,故选A.
9.答案 0(答案不唯一)
解析 设该方程为x2-2x+c=0,则(-2)2-4×1×c>0,
解得c<1,故填写的常数可以为0.答案不唯一.
10.C ∵x(x-1)=x,∴x(x-1)-x=0,
∴x(x-1-1)=0,∴x(x-2)=0,
∴x=0或x-2=0,∴x=0或x=2.故选C.
11.答案 (1)x1=x2=1 (2)0或±1
解析 (1)由原方程,得x2-2x+1=0,
∴(x-1)2=0,∴x1=x2=1.
(2)∵x3=x,∴x3-x=0,
∴x(x2-1)=0,∴x(x-1)(x+1)=0,∴x=0或±1.
12.解析 (1)(2x+3)2=(3x+2)2,
两边直接开平方得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2,
解得x=1或x=-1,即方程的解为x1=1,x2=-1.
(2)方程移项得x2-2x=1,配方得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,∴x-1=±,
∴x=1±,即方程的解为x1=1+,x2=1-.
(3)∵a=1,b=1,c=-1,∴Δ=12-4×1×(-1)=5>0,
∴x=,∴x1=,x2=.
(4)原方程可以变形为(x-1)3+2(x-1)2+2(x-1)=0,
∴(x-1)[(x-1)2+4(x-1)+4]=0,
∴(x-1)(x+1)2=0,∴x1=1,x2=-1.
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13.D 方程a(x+m+3)2+b=0可看成关于(x+3)的一元二次方程,
∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=-2,x2=1,∴x+3=-2或x+3=1,
∴x1=-5,x2=-2,∴方程a(x+m+3)2+b=0的解为-5或-2.故选D.
14.C ∵[x2+1,x]※[5-2k,k]=0,∴k(x2+1)+(5-2k)x=0,整理得kx2+(5-2k)x+k=0,∵方程有两个实数根,∴Δ≥0且k≠0.由Δ≥0得(5-2k)2-4k2≥0,解得k≤.∴k的取值范围是k≤且k≠0.故选C.
15.D ∵直线y=x+a不经过第二象限,∴a≤0.当a=0时,关于x的方程ax2+2x+1=0是一元一次方程,解为x=-.当a<0时,关于x的方程ax2+2x+1=0是一元二次方程,此时Δ=22-4a>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选D.
16.答案 k≤1
解析 ∵关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根,
∴Δ=(-2)2-4×1×k=4-4k≥0,∴k≤1.故答案为k≤1.
17.答案 k<2且k≠1
解析 根据题意得k-1≠0且Δ=(-2)2-4×(k-1)×1>0,解得k<2且k≠1,
所以k的取值范围是k<2且k≠1.故答案为k<2且k≠1.
此题容易忽视二次项系数不为0而出错.
18.答案 2
解析 根据题意得Δ=4-4a(2-c)=0,
整理得4ac-8a=-4,∴4a(c-2)=-4,
∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程,∴a≠0,
∴等式两边同时除以4a得c-2=-,则+c=2,
故答案为2.
19.答案 x>3或x<2
解析 x2-5x+6>0可化为(x-2)(x-3)>0,
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得①
解不等式组①,得x>3,解不等式组②,得x<2,
故一元二次不等式x2-5x+6>0的解集为x>3或x<2.
故答案为x>3或x<2.
20.答案 2或-1
解析 当(x-1)2=1时,解得x=2或0,
易知x=0不符合题意,∴x=2.
当x2=1时,解得x=1或-1,
易知x=1不符合题意,∴x=-1,
故答案为2或-1.
21.解析 (1)(x-1)2=9,∴x-1=±3,
∴x-1=3或x-1=-3,∴x1=4,x2=-2.
(2)x2-4x-2=0,∴x2-4x=2,
∴x2-4x+4=2+4,∴(x-2)2=6,
∴x-2=±,∴x-2=,
∴x1=2+,x2=2-.
(3)(x+1)(x-3)=2x-6,
∴(x+1)(x-3)=2(x-3),
∴(x+1)(x-3)-2(x-3)=0,
∴(x-3)(x+1-2)=0,∴(x-3)(x-1)=0,
∴x-3=0或x-1=0,∴x1=3,x2=1.
(4)∵3x2+2x-1=0,∴a=3,b=2,c=-1,
∴b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0,
∴x=,∴x1=,x2=-1.
22.解析 (1)∵一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,
∴Δ=9-4k≥0,∴k≤.
(2)∵k是符合条件的最大整数,∴k=2,∴原一元二次方程为x2-3x+2=0,解该方程得x1=1,x2=2,∵方程x2-3x+2=0与关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根,∴(m-1)×12+1+m-3=0或(m-1)×22+2+m-3=0,∴m=或m=1.当m=1时,m-1=0,不符合题意,舍去,∴m=.
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23.解析 (1)题图2中,补上的空白小正方形的边长为5,通过不同的方式表示大正方形的面积,可以将原方程化为(x+5)2=39+25.故答案为5;5;25.
(2)题图3中,大正方形的面积可以表示为(2x+10)2,另一方面,它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积,即等于4×39+100,
则(2x+10)2=4×39+100,∴(2x+10)2=256,
∴2x+10=±16,解得x1=3,x2=-13.
故原方程的一个正根为x=3.
故答案为2x+10;100;x=3.
(3)答案不唯一.如图所示:
