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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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北师大版九年级上册数学第四章测试题（附答案）
一、单选题（共12题；共24分）
1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 1：3 B. 3：4 C. 1：9 D. 9：16
2.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（ ）
A. 105° B. 115° C. 125° D. 135°
3.在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，且AD∶DB=1∶2，则下列结论正确的是( )
A. DE：BC=1：2 B. DE：BC=1：3
C. △ADE的周长：△ABC的周长=1：2 D. S△ADE：S△ABC=1：3
4.已知a：b=3：2，则a：（a﹣b）=（ ）
A. 1：3 B. 3：1 C. 3：5 D. 5：3
5.下列各组中的四条线段成比例的是（ ）.
A. 1cm，2cm，20cm，40cm B. 1cm，2cm，3cm，4cm
C. 4cm，2cm，1cm，3cm D. 5cm，10cm，15cm，20cm
6.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是( )
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
7.“相似的图形”是（ ）
A. 形状相同的图形 B. 大小不相同的图形 C. 能够重合的图形 D. 大小相同的图形
8.同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为（ ）
A. 2.4米 B. 9.6米 C. 2米 D. 1.6米
9.如图，在平面直角坐标系中有一个四边形ABCD，现将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到四边形A1B1C1D1 ， 则四边形A1B1C1D1的面积与四边形ABCD的面积之比为（ ）
A. 2：1 B. 3：1 C. 4：1 D. 5：1
10.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且 ，则 ： ( )
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：9
11.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．
其中正确的结论有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
12.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣8，4）或（8，﹣4） D. （﹣2，1）或（2，﹣1）
二、填空题（共6题；共12分）
13.如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，已知AD=2，DB=4，AC=4.5，则EC=________．
14.如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点， F是CD边上的一点， 且DF=1。若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为________ 。
15.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为________。
16.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为________.
17.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若△AEF的面积为5cm2 ， 则平行四边形ABCD的面积是________cm2 ．
18.如图，在 中，D是BC边上一点，且满足 ， ，若 ，且 ，则AB的长为________．
三、解答题（共3题；共15分）
19.已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△ ，求△ 中的第三边长．
20.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1=2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2=1．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？
21.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E ， 若EF=32，GE=8，求BE ．
四、作图题（共1题；共10分）
22.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）.
（1）请在第四象限画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似中心是点O，相似比为2；
（2）求△A′B′C′的面积.
五、综合题（共4题；共59分）
23.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC ， 垂足为D ， 点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F ， 作PG⊥AB交AD于点E ， 交线段CD于点G ， 设BP=x.
（1）用含x的代数式表示线段DG的长；
（2）设△DEF的面积为 y ， 求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由.
24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；
（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．
25.如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
（1）【问题引入】
若点O是AC的中点， ，求 的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
（2）【探索研究】
若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证： ；
（3）【拓展应用】
如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若 ， ，求 的值．
26.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
答案
一、单选题
1.D 2. D 3. B 4. B 5. A 6.B 7. A 8. B 9. C 10. D 11. B 12. D
二、填空题
13. 314. 15. 1 16. 1:16. 17. 40 18.
三、解答题
19. 解答：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，
△ 的两边长分别为1，1.5，可以看出，△ 的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△ 需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．
20. 解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″．
∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD．
∵对应顶点的连线过同一点，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形．
∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1=2，
四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2=1，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比为 ．
21. 解答：
设BE=x ， ∵EF=32 ， GE=8，
∵AD∥BC ， ∴△AFE∽△CBE ， ∴则 ①
∵DG∥AB ， ∴△DFG∽△CBG ， ∴ 代入①
解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．
四、作图题
22. （1）解：如图所示：
（2）解：△A′B′C′的面积＝
五、综合题
23. （1）解：∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC， ∴BD=CD=3，
在Rt△ABD中，AD= =4，
∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，∴△ABD∽△GBP，
∴ ，∴BG= BP= x，∴DG=BG-BD= x-3
（2）解：∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BCA，∴ ，
即 ，∴BF= x，
∴FD=BD-BF=3- x，
∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，
∴∠ABD=∠DEG，∠ADG=∠ADB=90°，
∴△DEG∽△DBA，∴ ，∴ ，∴DE= x- ，
∴S△DEF=y= ×DF×DE= ×（3- x）×（ x- ）=- x2+ x- （ ＜x＜ ）
（3）解：若EF⊥PG时，
∵EF⊥PG，ED⊥FG，∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，
∴∠EFD=∠DEG，且∠EDF=∠EDG，
∴△EFD∽△GDE，∴ ，∴ED2=FD×DG，
∴（ x- ）2=（3- x）（ x-3），∴5×57x2-1138x+225×5=0，
∴x= （不合题意舍去），x= ；
若EF⊥PF，
∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，
∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，
∴△EDF∽△CDA，∴ ，∴ ，∴x= ，
综上所述：当BP为 或 时，△PEF为直角三角形．
24. （1）解：设AC=BC=2a，
∵M是边AC的中点，
∴CM=AM=a，∴BM= = = a．
∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，∴sin∠MCH=sin∠MBC= = = ；
（2）解：△MCH∽△MBC．
理由：∵CH⊥BM于H，
∴∠MHC=90°．
∵∠ACB=90°，∴∠MCB=∠MHC=90°．
∵∠BMC是公共角，∴△MCH∽△MBC；
（3）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠BAM=45°．
∵由（2）知，△MCH∽△MBC，∴ = ．
∵M是边AC的中点，∴CM=AM，∴ = ．
∵∠AMH为公共角，∴△AMH∽△BMA，∴∠AHM=∠BAM=45°．
25. （1）解：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵ON∥AG，∴ .∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN.∵MN∥AG，∴ ，∴ .
（2）解：证明：由(1)可知 ， ，∴ =1
（3）解：在△ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C.由(2)可得 .在△ACD中，过点P的直线与AC，CD的延长线分别相交于点E，B.由(2)可得
26. （1）解：作CE⊥AB于E，∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四边形AECD是矩形，∴AE=CD=5，CE=AD=4，∴BE=3，∴BC= ，∴BC＜AB，
∴P到C时，P、Q同时停止运动，∴t= （秒），
即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动
（2）解：由题意知，AQ=BP=t，∴QB=8﹣t，
作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，∴ ，即 ，
∴BF= ，∴S= QB PF= × （8﹣t）= =﹣ （t﹣4）2+ （0＜t≤5），
∵﹣ ＜0，∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是
（3）解：∵cos∠B= ，
① 当PQ=PB时（如图2所示），则BG= BQ， = = ，解得t= s，
②当PQ=BQ时（如图3所示），则BG= PB， = = ，解得t= s，
③当BP=BQ时（如图4所示），则8﹣t=t，
解得：t=4．综上所述：当t= s， s或t=4s时，△PQB为等腰三角形
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