1.3.2基本不等式
一、单选题
1．已知，若，则的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知，那么函数有（ ）
A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4
3．已知a＞0，b＞0，a+b＝4，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．6 D．8
5．若把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．25
6．已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．“”是“函数的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
9．若x，y∈R，2x+2y=1，则x+y的取值范围是（ ）
A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)
10．已知都是正数，若，则的最小值是（ ）
A．5 B．4 C． D．
二、填空题
11．若，则的最小值是___________.
12．已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.
13．函数的最小值是___________.
14．已知，且，则的最小值为___________.
三、解答题
15．已知、都是正数，求证：
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.
16．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
参考答案
1．D
【分析】
根据基本不等式求解即可.
【详解】
解：因为，，
所以基本不等式得，当且仅当时等号成立.
所以的最小值是
故选：D
2．B
【分析】
利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】
，等号成立当且仅当，
函数的最小值2，
故选：B.
3．B
【分析】
利用基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
解：因为a＞0，b＞0，a+b＝4，
所以，
当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，A错误；
由基本不等式可知ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，
故C错误；，D错误．
故选：B．
4．B
【分析】
利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值
【详解】
因为所以，从而．
当且仅当时等号成立.
故选：B
5．D
【分析】
设矩形的一边为米，场地面积为,则可得关于的解析式，结合基本不等式可求场地面积的最大值.
【详解】
设矩形的一边为米，则另一边为米，设场地面积为，
∴，当且仅当，即时，．
故选：D.
6．C
【分析】
由重要不等式即可求解.
【详解】
由重要不等式可得：，当且仅当即或时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C.
7．C
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
【详解】
解：若，则的最小值为；
若的最小值大于4，则，且，则，
故选：C．
8．A
【分析】
直接根据基本不等式求解即可．
【详解】
解：∵，
又，，当且仅当即时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
故选：A．
9．A
【分析】
利用基本不等式由2x+2y=1可得，从而可求出x+y的取值范围
【详解】
解：因为，
所以，
即，当且仅当，即时取“=”，
所以x+y的取值范围是(﹣∞，﹣2].
故选：A.
10．C
【分析】
利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果.
【详解】
∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值是.
故选：C.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．
【分析】
由，结合基本不等式即可.
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号成立.
故的最小值为，
故答案为：
12．
【分析】
由已知可得，利用两元换一元及基本不等式即得．
【详解】
由x2+xy=1，得，
所以，
当且仅当 时取等号.
故答案为：.
13．4
【分析】
根据基本不等式可求出结果.
【详解】
令，则，当且仅当，即时，.
所以函数的最小值是4.
故答案为：4
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．
【分析】
首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
由得，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用基本不等式可证明出结论成立；
（2）利用基本不等式可证明出结论成立.
【详解】
因为、都是正数，所以.
（1）当积等于定值时，，所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值；
（2）当和等于定值时，，所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.
【点睛】
本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.
16．（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
【分析】
设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；
（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
【详解】
设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页
