第6章 一次函数
6.4 用一次函数解决问题
基础过关全练
知识点1 一次函数的应用
1.“农村公路”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分,某县某村要铺设一条全长为2 200米的水泥公路.工程队铺设公路施工x天与铺设公路y米之间的关系如下表所示,则施工30天后,未铺设的公路长度为
米.( )
时间x (天) 1 2 3 4 5 …
公路长 度y(米) 50 100 150 200 250 …
2.【教材变式·P159T1】拖拉机开始工作时,油箱中有油30 L,每小时耗油5 L.
(1)写出油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数关系式;
(2)写出自变量t的取值范围;
(3)拖拉机工作2小时后,油箱余油量是多少
(4)若余油10 L,那么拖拉机工作了几小时
3.(2023江苏连云港模拟)为弘扬雷锋精神,重温革命先烈的艰苦奋斗历史,某校组织九年级全体师生前往雷锋纪念馆参观,需要租用甲、乙两种客车共6辆(每种车至少租一辆).已知甲、乙两种客车的租金分别为450元/辆和300元/辆,设租用乙种客车x辆,租车费用为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量,租用乙种客车多少辆时,租车费用最少 最少费用是多少元
知识点2 一次函数图像的应用
4.【跨学科·生物】(2023北京东城期中)某生物小组观察一植物生长,得到植物高度y(单位:厘米)与观察时间x(单位:天)之间的关系,并画出如图所示的图像(AC是线段,射线CD平行于x轴).在第 天后植物的高度不变,该植物最高为 厘米.
5.(2022江苏盐城中考)小丽从甲地匀速步行去乙地,小华骑自行车从乙地匀速前往甲地,同时出发.两人离甲地的距离y(m)与出发时间x(min)之间的函数关系如图所示.( )
(1)小丽步行的速度为 m/min;
(2)当两人相遇时,求他们到甲地的距离.
能力提升全练
6.(2022黑龙江绥化中考,11,★★☆)小王从家出发,步行到离家a米的公园晨练,4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练,爸爸到达公园后因有事立即以原速折返回到家中,两人离家的距离y(单位:米)与小王出发时间x(单位:分钟)的函数关系如图所示,则两人先后两次相遇的时间间隔为( )( )
A.2.7分钟 B.2.8分钟 C.3分钟 D.3.2分钟
7.【跨学科·物理】(2023江苏宿迁期末,16,★☆☆)如图,杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器,其秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物体的质量x kg之间满足一次函数关系.若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为2.5 cm,挂1 kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为8 cm,则当秤砣到秤纽的水平距离为30 cm时,秤钩所挂物体的质量为 .
8.(2022江苏苏州中考,25,★★☆)某水果店经销甲、乙两种水果,两次购进水果的情况如表所示:( )
进货 批次 甲种水果质量 (单位:千克) 乙种水果质量 (单位:千克) 总费用 (单位:元)
第一次 60 40 1 520
第二次 30 50 1 360
(1)求甲、乙两种水果的进价;
(2)销售完前两次购进的水果后,该水果店决定回馈顾客,开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共200千克,且投入的资金不超过3 360元.将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售,剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售.若第三次购进的200千克水果全部售出后,获得的最大利润不低于800元,求正整数m的最大值.
9.(2021江苏南京中考,24,★★☆)甲、乙两人沿同一直道从A地去B地.甲比乙早1 min出发,乙的速度是甲的2倍.在整个行程中,甲离A地的距离y1(单位:m)与甲出发的时间x(单位:min)之间的函数关系如图所示.( )
(1)在图中画出乙离A地的距离y2(单位:m)与甲出发的时间x(单位:min)之间的函数图像;
(2)若甲比乙晚5 min到达B地,求甲整个行程所用的时间.
素养探究全练
10.【运算能力】小芳从甲地出发沿一条笔直的公路匀速骑行前往乙地,她与乙地之间的距离y(km)与出发时间t(h)之间的函数关系如图1中的线段AB所示,在小芳出发的同时,小亮从乙地沿同一公路匀速骑行前往甲地,两人之间的距离s(km)与出发时间t(h)之间的函数关系如图2中折线段CD—DE—EF所示.
(1)小芳骑行的速度为 km/h,小亮骑行的速度为
km/h;
(2)求线段DE所表示的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)求两人出发1.5 h后两人之间的距离.
图1 图2
答案全解全析
基础过关全练
1.答案 700
解析 观察表格数据可知y=50x.当x=30时,y=1 500,所以未铺设的公路长度为2 200-1 500=700(米).
2.解析 (1)由题意可得,油箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数关系式是Q=30-5t.
(2)当Q=0时,0=30-5t,解得t=6,
∴自变量t的取值范围是0≤t≤6.
(3)当t=2时,Q=30-5×2=20,
∴拖拉机工作2小时后,油箱余油量是20 L.
(4)当Q=10时,10=30-5t,解得t=4.
∴拖拉机工作了4个小时.
3.解析 (1)租用乙种客车x辆,租车费用为y元,依题意得y=450(6-x)+300x,整理得y=-150x+2 700.
(2)∵租用乙种客车的数量少于甲种客车的数量,
∴x<6-x,即x<3,∴x=1或x=2,
当x=1时,y=-150×1+2 700=2 550,
当x=2时,y=-150×2+2 700=2 400,
故租用乙种客车2辆时,租车费用最少,为2 400元.
答:租用乙种客车2辆时,租车费用最少,为2 400元.
4.答案 50;16
解析 ∵CD∥x轴,
∴从第50天开始植物的高度不变.
设线段AC的解析式为y=kx+b(k≠0)(0≤x≤50).
∵AC经过点A(0,6),B(30,12),
∴解得
∴线段AC的解析式为y=x+6(0≤x≤50),
当x=50时,y=×50+6=16.
∴该植物最高为16厘米.
故答案为50;16.
5.解析 (1)由图像可知,小丽步行的速度为=80(m/min).故答案为80.
(2)由图像可得,小华骑自行车的速度是=120(m/min),
∴出发=12(min)后两人相遇,
∴相遇时小丽所走的路程为12×80=960(m),
即当两人相遇时,他们到甲地的距离是960 m.
能力提升全练
6.C 由图像可得,小王的速度为米/分钟,
爸爸的速度为(米/分钟),
设小王出发m分钟两人第一次相遇,出发n分钟两人第二次相遇,
m=(m-4)·[n-4-(12-4)÷2]=a,
解得m=6,n=9,∴n-m=9-6=3.故选C.
7.答案 5 kg
解析 设秤砣到秤纽的水平距离y cm与所挂物体的质量x kg之间的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
由题意可得,当x=0时,y=2.5,当x=1时,y=8,
∴解得
∴y=5.5x+2.5.
当y=30时,30=5.5x+2.5,解得x=5.
即当秤砣到秤纽的水平距离为30 cm时,秤钩所挂物体的质量为5 kg.故答案为5 kg.
8.解析 (1)设甲种水果的进价为每千克a元,乙种水果的进价为每千克b元.
由题意,得
解得
答:甲种水果的进价为每千克12元,乙种水果的进价为每千克20元.
(2)设第三次购进x千克甲种水果,则购进(200-x)千克乙种水果.
由题意,得12x+20(200-x)≤3 360,解得x≥80.
设获得的利润为w元,
由题意,得w=(17-12)×(x-m)+(30-20)×(200-x-3m)
=-5x-35m+2 000.
∵-5<0,∴w随x的增大而减小,
∴x=80时,w的值最大,最大值为-35m+1 600.
由题意,得-35m+1 600≥800,解得m≤.
∴m的最大整数值为22.
9.解析 (1)如图.
(2)设甲的速度是v m/min,乙整个行程所用的时间为t min.
由题意得 2v·t=(t+1+5)v,解得 t=6,
6+1+5=12(min).
答:甲整个行程所用的时间为12 min.
素养探究全练
10.解析 (1)小芳的速度=36÷2.25=16(km/h).
设小亮的速度为x km/h,
由题意,得 1×(16+x)=36,
解得x=20.
故答案为16;20.
(2)由图像可知,点E表示小亮到了甲地,此时小芳没到乙地,
∴点E的横坐标=36÷20=,
∴点E的纵坐标=×16=,
∴点E.
设线段DE所表示的函数关系式为s=kt+b(k≠0).
将D(1,0),E代入,
得解得
∴线段DE所表示的函数关系式为s=36t-36.
自变量的取值范围为1≤t≤.
(3)∵t=1.5,1≤1.5≤,
∴t=1.5时,s=36×1.5-36=18(km).
答:两人出发1.5 h后两人之间的距离是18 km.
