2020~2021学年第一学期学生学业发展水平调研检测测试试题
高二数学（理科）
注意事项：
1. 本试题共4页，满分150分，时间120分钟；
2. 答卷前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3. 第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4. 考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知在处的导数为2，则（ ）
A. 2 B. 6 C. D.
2. 已知命题p：，，则为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 已知椭圆E：的长轴长为8，短半轴长为2，则椭圆E的方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. －4 D. －2
5. 如图，在平行六面体中，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数的导函数为，且，则（ ）
A. 0 B. －1 C. D. e
7. 已知函数在上的最大值为2，则实数a的值为（ ）
A. B. 2 C. 5 D.
8. 已知P为双曲线C：右支上一点，、分别为双曲线C的左、右焦点，且线段，分别为双曲线C的实轴与虚轴，若，，成等比数列，则（ ）
A. 4 B. 10 C. 5 D. 6
9. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 地铁某换乘站设有编号为，，，的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下表：
安全出口编号 ， ， ， ，
疏散乘客所需的时间（s） 120 140 190 160
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）
A. B. C. D.
11. 若函数在区间上不是单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知过双曲线C：左焦点的直线l与双曲线C的右支有公共点，且直线l与圆相切，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，若，则______.
14. 曲线在点处的切线方程为______.
15. 已知，，，若，，三向量共面，则实数______.
16. 已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且对任意实数x都有，则不等式的解集为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
求下列函数的导数：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
18.（本小题满分12分）
设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足.
（Ⅰ）若，为真命题，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线C：的焦点为F，准线l与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线C上，当AF与y轴垂直时，.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线AF与抛物线C交于另一点B，证明：直线AM的斜率与直线BM的斜率互为相反数.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，.请用空间向量知识解答下列问题：
（Ⅰ）证明：平面SAB；
（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（Ⅰ）若，求a的取值范围；
（Ⅱ）当时，若方程在上存在实数根，求b的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为.
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，点M关于x轴的对称点为E.证明：当直线l绕点A旋转时，直线EN经过定点.
2020~2021学年第一学期学生学业发展水平调研检测测试试题
高二数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. A 2. D 3. C 4. D 5. A 6. A 7. B 8. D 9. A 10. B 11. C 12. B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 2 14. 15. －9 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解：（Ⅰ）.……（5分）
（Ⅱ）.……（10分）
18. 解：（Ⅰ）当时，命题p：实数x满足，
由q：实数x满足，得q：实数x满足.
若为真，则p、q均为真，
∴，得，
∴实数x的取值范围是.……（6分）
（Ⅱ）p是q的充分不必要条件，等价于，且q推不出p，
设，，则，
∴，解得，
又，∴正实数m的取值范围是.……（12分）
19. 解：（Ⅰ）抛物线C：的焦点为，
当AF与y轴垂直时，易得，即，
∴抛物线C的方程为.……（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，，
设点，，
设直线AB：，代入抛物线C的方程得，，
则，，
∴.……（12分）
20. 解：（Ⅰ）显然SA、AB、AD两两垂直，
以A为原点，AB、AD、AS分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，
∴，，故，，
又，∴平面SAB.……（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，为平面SAB的一个法向量，
设平面SCD的法向量为，则，，
即，令，得平面SCD的一个法向量为，
∴，
∴平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为.……（12分）
21. 解：（Ⅰ）由得，
∵，∴，
设，则，
令，解得，令，解得，
故函数在上递增，在上递减，
故时，函数取最大值，
∴，即a的取值范围是.……（6分）
（Ⅱ）由题意得在上存在实数根，
设，则，
令，得或，令，得，
故在，上递增，在上递减，
∵在上存在实数根，
∴，即，解得，
故b的取值范围是.……（12分）
22. 解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，可得，∴，
∵椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，∴，得，
∴，
将代入抛物线的方程，可得，∴，
∵过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为，
∴，即，解得，∴，，
由，可得，
∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：.……（6分）
（Ⅱ）由题知，直线l的斜率存在，
设直线l：，，，则，
联立，消去y得，
∴，，
直线EN的方程为，即为，
即，
∴，
∴当直线l绕点A旋转时，直线EN经过定点.……（12分）
