第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.2 三角形的外角
基础过关全练
知识点1 三角形的外角
1.选项中,∠1为△ABC的外角的是 ( )
A B C D
知识点2 三角形外角的性质
2.(2021广西河池中考)如图,∠A=40°,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD
=120°,则∠C的大小是 ( )
A.90° B.80° C.60° D.40°
3.(2023山东济南期末)如果将一副三角板按如图所示的方式叠放,那么∠1等于 ( )
A.95° B.105°
C.120° D.135°
4.【新情境·展板支架】【新独家原创】图1是一展板支架的实物图,图2是该支架的侧面示意图,经测量,∠BAC=48°,∠BCE=117°,则图2中∠CBD的度数为( )
图1 图2
A.69° B.89° C.111° D.165°
5.(2021河南郑州一模)将一副学生用的三角板按如图所示的方式放置,若AE∥BC,则∠EFC的度数是 .
6.将一块三角形纸片按如图所示的方式摆放,AB∥CD,顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,则∠EFB的度数为 .
7.【教材变式·P16T4】如图,已知点D是△ABC的边BC上的一点,∠B=∠BAD=∠C,∠ADC=72°.试求∠DAC的度数.
8.一个零件的形状如图所示,按规定,∠A=90°,∠B和∠C分别是32°和21°的零件为合格零件,现质检工人量得∠BDC=149°,就断定这个零件不合格,请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
9.【分类讨论思想】(2022河南信阳期中)如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,若∠ABC=64°,∠AEB=70°.
(1)求∠CAD的度数;
(2)若点F为线段BC上的任意一点,当△EFC为直角三角形时,求∠BEF的度数.
能力提升全练
10.(2021辽宁中考,8,★★☆)一副三角板如图所示摆放,若∠1=80°,则∠2的度数是 ( )
A.80° B.95°
C.100° D.110°
11.(2020湖北仙桃中考,4,★★☆)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,点E在AC上,点D在BC的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A
=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是 ( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
12.(2022天津七中期末,10,★★☆)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的E处,则∠ADE等于 ( )
A.25° B.30°
C.35° D.40°
13.(2022福建莆田期末,14,★☆☆)将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起,其中F,A,C,D四点在同一条直线上,点B在AE上,则图中∠ABF的度数是 .
14.(2022河北师大附中期末,15,★★☆)如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,CE是外角∠ACM的平分线,BE与CE相交于点E,若∠A=60°,则∠BEC的度数是 .
15.【易错题】(2023浙江宁波江北外国语学校期中,16,★★☆)如图,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论:①AD∥BC;②∠DAC=2∠ADB;③∠ADC
=90°-∠ABD;④DB平分∠ADC.其中错误的结论有 (填写序号).
16.(2021北京丰台期中,18,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C=45°,点D在BC边上,点E在AC边上,连接AD、DE,且∠ADE=∠AED.
(1)当∠BAD=60°时,∠CDE的度数是 ;
(2)当点D在BC边上(点B,C除外)运动时,设∠CDE=α,请用α表示∠BAD,并说明理由.
素养探究全练
17.【推理能力】(2023江苏南京期末)
【概念认识】
如图①,在∠ABC中,若∠ABD=∠DBE=∠EBC,则BD,BE叫做∠ABC的“三分线”,其中,BD是“邻AB三分线”,BE是“邻BC三分线”.
【问题解决】
(1)如图②,在△ABC中,∠A=70°,∠B=45°,若∠B的“三分线”BD交AC于点D,则∠BDC= ;
(2)如图③,在△ABC中,BP、CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”,且BP⊥CP,求∠A的度数;
【延伸推广】
(3)如图④,直线AC、BD交于点O,∠ADB的“三分线”所在的直线与∠ACB的“三分线”所在的直线交于点P.若∠A=66°,∠B=45°,∠ADB=m°,直接写出∠DPC的度数.
答案全解全析
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1.B 根据三角形的一条边的延长线与另一边的夹角叫做这个三角形的外角可知只有选项B中的∠1是△ABC的外角,故选B.
2.B 由三角形的外角性质得,∠C=∠CBD-∠A=120°-40°=80°.故选B.
3.B 如图,
由题意得∠2=90°-45°=45°,
由三角形的外角性质得,∠1=∠2+60°=45°+60°=105°.故选B.
4.C ∵∠BCE=117°,∴∠ACB=180°-117°=63°.
∵∠CBD是△ABC的外角,
∴∠CBD=∠BAC+∠ACB=48°+63°=111°.故选C.
5.答案 75°
解析 ∵AE∥BC,∴∠EDC=∠E=45°,
∵∠C=30°,∴∠EFC=∠C+∠EDC=75°,
故答案为75°.
6.答案 20°
解析 ∵在△EFG中,∠EFG=90°,∠E=35°,
∴∠EGF=90°-∠E=55°.
∵GE平分∠FGD,∴∠EGD=∠EGF=55°.
∵AB∥CD,∴∠EHB=∠EGD=55°.
又∵∠EHB=∠EFB+∠E,
∴∠EFB=∠EHB-∠E=55°-35°=20°.
7.解析 ∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠BAD.
又∵∠B=∠BAD=∠C,∠ADC=72°,
∴∠B=∠BAD=∠C=36°.
∵∠DAC+∠ADC+∠C=180°,
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-72°-36°=72°.
8.解析 如图,延长BD交AC于点E,
∵∠A=90°,∠B=32°,
∴∠DEC=∠A+∠B=90°+32°=122°,
∵∠C=21°,
∴∠BDC=∠C+∠DEC=21°+122°=143°.
又∵149°≠143°,∴这个零件不合格.
9.解析 (1)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠EBC=64°,∴∠EBC=32°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38°,
∴∠CAD=90°-38°=52°.
(2)分两种情况:
①当∠EFC=90°时,如图1所示,则∠BFE=90°,
∴∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°;
图1 图2
②当∠FEC=90°时,如图2所示,
则∠EFC=90°-38°=52°,
∴∠BEF=∠EFC-∠EBC=52°-32°=20°.
综上所述,∠BEF的度数为58°或20°.
能力提升全练
10.B 如图,∠5=90°-30°=60°,∠3=∠1-45°=35°,
∴∠4=∠3=35°,∴∠2=∠4+∠5=95°,故选B.
11.A ∵∠B=90°,∠A=45°,∴∠ACB=45°.
∵∠EDF=90°,∠F=60°,∴∠DEF=30°.
∵EF∥BC,∴∠EDC=∠DEF=30°,
∴∠CED=∠ACB-∠EDC=45°-30°=15°.故选A.
12.D 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,
∴∠B=90°-25°=65°,
∵△CDE由△CDB折叠而成,∴∠CED=∠B=65°,
∵∠CED是△AED的外角,
∴∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°.故选D.
13.答案 15°
解析 ∵∠EAD=45°,∠F=30°,∠EAD是△ABF的外角,
∴∠ABF=∠EAD-∠F=15°.故答案为15°.
14.答案 30°
解析 ∵BE是∠ABC的平分线,∴∠EBM=∠ABC,
∵CE是外角∠ACM的平分线,∴∠ECM=∠ACM,
∴∠BEC=∠ECM-∠EBM=(∠ACM-∠ABC)=∠A=30°.
15.答案 ④
解析 ∵AD平分∠EAC,∴∠EAC=2∠EAD,
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB,∠ABC=∠ACB,
∴∠EAD=∠ABC,∴AD∥BC,故①中结论正确;
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC,∴∠ACB=2∠ADB,
∴∠DAC=2∠ADB,故②中结论正确;
在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°,
∵CD平分∠ACF,∴∠ACD=∠DCF,
∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCF,∴∠ACD=∠ADC,
∵∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD,
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°,∴∠ADC+∠ABD=90°,
∴∠ADC=90°-∠ABD,故③中结论正确;
根据已知条件无法得到DB平分∠ADC,故④中结论错误.
16.解析 (1)∵∠BAD=60°,∠B=∠C=45°,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=105°,∠BAC=180°-45°-45°=90°,∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°,
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,∠ADE=∠AED,
∴∠ADE=∠AED=×(180°-30°)=75°,
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°-75°=30°.
故答案为30°.
(2)∠BAD=2α.理由:设∠BAD=x,
∵∠B=∠C=45°,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=x+45°,
∠BAC=180°-45°-45°=90°,
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=90°-x,
∴∠ADE=∠AED=[180°-(90°-x)]=45°+x,
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=x+45°-=x,
∴∠BAD=2∠CDE=2α.
素养探究全练
17.解析 (1)如图,
∵∠ABC=45°,BD,BD'是∠ABC的“三分线”,
∴∠ABD=∠DBD'=∠D'BC=∠ABC=×45°=15°,
∵∠A=70°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=70°+15°=85°,∠BD'C=∠A+∠ABD'=70°+15°+15°=100°,故答案为85°或100°.
(2)∵BP⊥CP,∴∠BPC=90°,
∴∠PBC+∠PCB=90°,
∵BP、CP分别是∠ABC的“邻AB三分线”和∠ACB的“邻AC三分线”,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=90°,∴∠ABC+∠ACB=135°,
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-135°=45°.
(3)分四种情况讨论:
①如图1,当DP和CP分别是∠ADB的“邻AD三分线”、∠ACB的“邻BC三分线”时,
图1
∠ADE=∠ADB=m°,∠ACP=∠ACB,
∵∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠ADB=∠B+∠ACB,
∵∠A=66°,∠B=45°,∠ADB=m°,
∴66°+m°=45°+∠ACB,∴∠ACB=21°+m°,
∴∠ACP=∠ACB=14°+m°,
∵∠AED=∠CEP,∴∠A+∠ADE=∠DPC+∠ACP,
∴66°+m°=∠DPC+14°+m°,
∴∠DPC=°;
②如图2,当DP和CP分别是∠ADB的“邻AD三分线”、∠ACB的“邻AC三分线”时,
图2
∠ADE=∠ADB=m°,∠ACP=∠ACB,
由①知∠ACB=21°+m°,
同理得66°+m°=∠DPC+7°+m°,
∴∠DPC=59°;
③如图3,当DP和CP分别是∠ADB的“邻OD三分线”、∠ACB的“邻BC三分线”时,
图3
∠ADE=∠ADB=m°,∠ACP=∠ACB,
由①知∠ACB=21°+m°,
同理得66°+m°=∠DPC+14°+m°,
∴∠DPC=52°;
④如图4,当DP和CP分别是∠ADB的“邻OD三分线”、∠ACB的“邻AC三分线”时,
图4
∠ADE=∠ADB=m°,∠ACP=∠ACB,
由①知∠ACB=21°+m°,
同理得66°+m°=∠DPC+7°+m°,
∴∠DPC=°.
综上,∠DPC的度数为59°或52°或°或°.
