第二十六章 反比例函数
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
A. B. C. D.
2. 反比例函数的图象分别位于( )
A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限
3. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
4. 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点若点，，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，横坐标分别为，，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段相交于点，且是线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为，若的面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
10. 函数与自变量的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为______．
12. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于______ ．
13. 如图，已知直角三角形中，，将绕点旋转至的位置，且在中点，在反比例函数上，则的值是 ．
14. 如图，在直角坐标系中，的顶点与原点重合，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，与轴平行，若，则 ．
三、计算题（本大题共9小题，共90分）
15. 如图，一次函数与反比例函数的图象交开，两点．
分别求出反比例函数与一次函数的关系式；
观察图象，直接写出关于，的方程组的解．
16. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
求反比例函数的解析式；
求点的坐标；
过点作轴于，求．
17. 如图所示，若一次函数和反比例函数的图象都经过点，且直线与轴交于点，与反比例函数的另一个交点为．
求反比例函数的解析式；
在轴正半轴上存在一点使得，求点的坐标．
18. 如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和．
求这两个函数的关系式；
由反比例函数的图象特征可知：点和关于直线对称．请你根据图象，填写点的坐标及时的取值范围．
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于第二、四象限、两点，过点作轴于，，，且点的坐标为．
求一次函数与反比例函数的解析式；
是轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．
20. 已知一次函数的图象分别与坐标轴相交于、两点如图所示，与反比例函数的图象相交于点．
写出、两点的坐标；
作轴，垂足为，如果是的中位线，求反比例函数的关系式．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为
求图象过点的反比例函数的解析式；
求图象过点，的一次函数的解析式；
在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量的取值范围．
22. 某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示年号田和号田年产量情况的点记年为第年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量，如图．
小亮认为，可以从，，中选择适当的函数模型，模拟号田和号田的年产量变化趋势．
小莹认为不能选，你认同吗？请说明理由；
请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟号田和号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
根据中你选择的函数模型，请预测号田和号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
23. 已知点在双曲线上且，过点作轴的垂线，垂足为．
如图，当时，是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转至点．
若，直接写出点的坐标；
若双曲线经过点，求的值．
如图，将图中的双曲线沿轴折叠得到双曲线，将线段绕点旋转，点刚好落在双曲线上的点处，求和的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：将点代入，
，
，
点在函数图象上，
故选：．
将点代入，求出函数解析式即可解题．
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：反比例函数，，
该反比例函数图象在第一、三象限．
故选：．
根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查反比例函数的图象，解答本题的关键是明确当时，反比例函数图象经过第一、三象限．
3.【答案】
【解析】解：在函数和中，
当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象在第一、二、三象限，故选项C错误．
故选D．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，以及一次函数图象与系数的关系．
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题即可．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第二、四象限，则最小，最大．
【解答】
解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，
在每一象限中，随的增大而增大，
而，
．
即．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】
解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知，
根据二次函数的图象确知，，
函数的大致图象经过二、三、四象限，
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出点坐标是解题的关键．
根据平行于轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设利用矩形的性质得出为中点，根据线段中点坐标公式得出．
由勾股定理得出，列出方程，求出，得到点坐标，代入，利用待定系数法求出．
【解答】
解：轴，，
、两点纵坐标相同，都为，
可设．
矩形的对角线的交点为，
为中点，．
．
，
，
，，，
，
解得，
．
反比例函数的图象经过点，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与之间的关系根据题意，利用面积法求出，设出点坐标，表示点的坐标应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为构造方程求．
【解答】
解：连接，，与、轴分别交于点、，
由已知，、横坐标分别为，，
，
四边形为菱形，、为对角线，
，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
点、同在的图象上，
，
，
点坐标为，
，
故选D．
8.【答案】
【解析】
【解答】
解：点关于直线的对称点的坐标为，
，
，，
，
的面积为，
，
解得，，
，
．
故选：．
【分析】
根据对称性求出点坐标，进而得与的长度，再根据已知三角形的面积列出的方程求得，进而用待定系数法求得．
本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，关键是根据对称求得点坐标及由三角形的面积列出方程．
9.【答案】
【解析】分析
根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集即可得解．
本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
详解
解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，
的取值范围是：或，
不等式的解集是或，
故选C．
10.【答案】
【解析】解：由表格可知，与的每一组对应值的积是定值为，所以是的反比例函数，
故选：．
根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
主要考查反比例函数、一次函数以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象经过点，
．
故答案为．
把代入函数解析式，即可求的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
12.【答案】
【解析】解：设气球内气体的压强与气球体积之间的函数解析式为．
当时，，
，
，
气球内的气压大于时，气球将爆炸，
时，气球不爆炸，
，
解得：，
为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于．
故答案为：．
设气球内气体的压强与气球体积之间的函数解析式为，把时，代入解析式求出值，得到关于的函数解析式，再根据气球内的气体压强大于得到关于的不等式，从而确定正确的答案．
本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得．
【解答】
解：连接，作轴于点，
由题意知，是中点，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法，能根据已知求出点的坐标．
由点的坐标为求出，又，与轴平行，可得，用待定系数法即得答案．
【解答】
解：点的坐标为，，
，
，
与轴平行，
，
把代入得：，
解得，
故答案为：．
15.【答案】解：点在反比例函数上，
，
，
反比例函数的解析式为．
点在反比例函数上，，
，在一次函数上，
，
解得，，
一次函数的解析式为；
关于，的方程组的解为．
【解析】先将点代入，求出，再将点代入求得，最后把点，代入即可得出答案；
一次函数和反比例函数的交点坐标即为方程组的解．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，是基础知识要熟练掌握．
16.【答案】解：将点坐标代入反比例函数，得，
故反比例函数的解析式为；
由题意将两函数解析式联立方程组得：，
消去得：，即，
分解因式得：，
解得：，，
点坐标为；
在中，以为底边，高为，
则．
【解析】将的坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，即可确定出反比例函数解析式；
将反比例函数解析式与一次函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解，根据所在的象限即可得到的坐标；
三角形的面积可以由为底边，横坐标绝对值与横坐标绝对值之和为高，利用三角形的面积公式求出即可．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：因式分解法解一元二次方程，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积公式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．
17.【答案】解：的图象经过点，
代入得：，
解得：，
反比例函数的解析式为．
解：根据题意得：
解得
，
，
当时，
，
令，
解得，
点坐标为．
【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式，求出即可；
求出一次函数与反比例函数的交点坐标，求出直线与轴的交点坐标，设，根据三角形的面积公式得出方程，求出即可．
本题综合考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生能否熟练的运用这些性质进行计算和推理，题型较好，通过做此题培养了学生的计算能力．
18.【答案】解：点是一次函数图象与反比例函数图象的交点，
，，
解得，，
，；
由函数图象可知，
当或时，．
【解析】将点分别代入一次函数与反比例函数中，可求、的值，确定两个函数解析式；
抛物线关于直线轴对称，可证直线与直线互相垂直，根据轴对称性可求点的坐标，再根据与的图象的位置关系，求的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是利用待定系数法求两个函数解析式，结合图象的位置，对称性求解．
19.【答案】解：一次函数与反比例函数图象交于与，且轴，
，
在中，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
代入反比例解析式得：，即，
把坐标代入得：，即，
代入一次函数解析式得：，
解得：，即；
当，即，；
当时，得到，即；
当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，
垂直平分线方程为，
令，得到，即，
综上，当点或或或时，是等腰三角形．
【解析】由垂直的定义及锐角三角函数定义求出的长，利用勾股定理求出的长，确定出坐标，进而求出的值确定出反比例解析式，把的坐标代入反比例解析式求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
分类讨论：当为等腰三角形腰与底时，求出点坐标即可．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
20.【答案】解：，
当时，，
当时，，
的坐标是，的坐标是．
，
，
是的中位线，
，
即点、点的横坐标都是，
把代入得：，
即的坐标是，
把的坐标代入得：，
反比例函数的关系式是．
【解析】分别把和代入一次函数的解析式，即可求出、的坐标；
根据三角形的中位线求出，即可得出、的横坐标是，代入一次函数的解析式，求出的坐标，代入反比例函数的解析式，求出即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，具有一定的代表性．
21.【答案】解：由的坐标为，得到，
菱形，
，轴，
，
设反比例函数解析式为，
把坐标代入得：，
则反比例解析式为；
设直线解析式为，
把，代入得：，
解得：，
则直线解析式为；
联立得：，
解得：或，即一次函数与反比例函数交点坐标为或，
则在第一象限内，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量的取值范围为．
【解析】由的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
由菱形的边长确定出坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可；
联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意的范围即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22.【答案】 解：认同，理由是：当时，中，随的增大而减小，而从图中所描的点可知，随的增大而增大，故不能选；
观察号田和号田的年产量变化趋势可知，号田为，号田为，
把，代入得：
解得
．
把，代入得：
解得
．
答：模拟号田的函数表达式为，模拟号田的函数表达式为；
设号田和号田总年产量为吨，
由知，，
，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而为整数，当或时，取最大值，最大值为．
答：号田和号田总年产量在年或年最大，最大是吨．
【解析】
【分析】
由当时，的性质可得答案；
观察号田和号田的年产量变化趋势可知，号田为，号田为，用待定系数法求解即可；
设号田和号田总年产量为吨，则，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】
解：认同，理由是：当时，中，随的增大而减小，而从图中所描的点可知，随的增大而增大，故不能选；
观察号田和号田的年产量变化趋势可知，号田为，号田为，
把，代入得：
解得
．
把，代入得：
解得
．
答：模拟号田的函数表达式为，模拟号田的函数表达式为；
设号田和号田总年产量为吨，
由知，，
，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而为整数，当或时，取最大值，最大值为．
答：号田和号田总年产量在年或年最大，最大是吨．
【点评】
本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的性质．
23.【答案】解：如图中，
由题意：，，，
．
图中，由题意，
点在上，
，
或，
如图中，
当点与点关于轴对称时，，，
．
当点绕点旋转时，得到，在上，
作轴，则≌，
，，
，
，即，
在上，
，
综上所述，满足条件的、的关系是或．
【解析】本题考查反比例函数综合题、旋转变换、待定系数法、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图中，求出、的长即可解决问题；
图中，由题意，利用待定系数法，把问题转化为方程解决即可；
分两种情形当点与点关于轴对称时，，，可得．
当点绕点旋转时，得到，在上，作轴，则≌，推出，，由，推出，即，由在上，可得；
第1页，共1页
