提升卷02
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东东莞·统考模拟预测）复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）下列命题中不正确是（ ）
A．中位数就是第百分位数
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，且数为偶函数，则
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为132.25
4．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，的面积为，则（ ）
A．2 B．8 C． D．4
5．（2023·山东泰安·校考模拟预测）随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若，则（ ）
A．244 B．243
C．242 D．241
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）设m，n是空间中两条不同直线，，是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是（ ）
A．当时，“”是“”的充要条件．
B．当时，“”是“”的充要条件．
C．当时，“”是“”的充分不必要条件．
D．当时，“”是“”的必要不充分条件．
10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，且等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列的前项和为，则
11．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的，有
B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立
C．若与垂直，则与共线
D．若与共线，则与的模相等
12．（2022·高一课时练习）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率 ．（结果用分数表示）
附参考数据：，；
14．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若两个锐角，满足，则 .
15．（2024·四川成都·成都七中校考一模）双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
16．（2023·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 .
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
提升卷02
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出集合与，再利用集合的交集运算进行求解.
【详解】集合，集合，
所以.
故选：C.
2．（2023·广东东莞·统考模拟预测）复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复数模的公式及复数的运算法则求得，利用共轭复数的概念得出答案.
【详解】因为，
所以，
所以．
故选：A．
3．（2023·上海虹口·上海市复兴高级中学校考模拟预测）下列命题中不正确是（ ）
A．中位数就是第百分位数
B．已知随机变量，若，则
C．已知随机变量，且数为偶函数，则
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为132.25
【答案】B
【分析】根据题意，由百分位数的定义即可判断A，由二项分布的方差性质即可判断B，由正态分布密度曲线的性质即可判断C，由方差的计算公式即可判断D.
【详解】对于A：中位数就是第百分位数，选项A正确；
对于B：，则，因此，故B错误；
对于C：，函数为偶函数，
则，
区间与关于对称，
故，故C正确；
对于D：分层抽样的平均数，
按分成抽样样本方差的计算公式，故D正确.
故选：B.
4．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，的面积为，则（ ）
A．2 B．8 C． D．4
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义以及三角形的面积，转化求解p即可．
【详解】
由已知结合抛物线的定义可得，又，
所以是正三角形，
连接点与的中点，则，
又点到准线的距离为，
所以，，
因为的面积为，
∴，得，
故选：C.
5．（2023·山东泰安·校考模拟预测）随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出第n次（）推送时不购买此商品的概率，构造得，从而利用等比数列通项得到，根据函数单调性即可得到答案.
【详解】由题意知，根据第次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的概率
第n次（）推送时不购买此商品的概率，
所以，由题意知，则，
所以是首项为、公比为的等比数列，
所以，即．
显然数列递减，所以当时，，
所以M的最小值为．
故选:A．
6．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知函数，的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据递推关系可得且，进而有，构造易知是周期为2，分别求得、，再求、，根据周期性求，最后求和.
【详解】由，则，即，
由，则，即，
又，则，
，则，
又，
所以
，
即，
即，
所以，故，
综上，则，故关于对称，
且有，
令，则，即的周期为，
由知关于对称且，
所以，即，则，
由，可得，则，
所以则；
则，
依次类推可得，，……，，则，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据递推式得且，构造并确定其周期，依据周期性求.
7．（2023·全国·高一专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
8．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若，则（ ）
A．244 B．243
C．242 D．241
【答案】C
【分析】对偶法，结合二项式展开式的特征，各系数绝对值之和，将二项式中的改成，然后令 即可解出结果.
【详解】显然，，
令得，
故.
故选：C.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）设m，n是空间中两条不同直线，，是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是（ ）
A．当时，“”是“”的充要条件．
B．当时，“”是“”的充要条件．
C．当时，“”是“”的充分不必要条件．
D．当时，“”是“”的必要不充分条件．
【答案】AD
【分析】根据线面之间的位置关系结合充分条件和必要条件逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，若，则或或m，相交,
若，则或或m，相交，
故不是的充分条件，也不是必要条件，故A错误；
对于B，根据面面平行的性质B正确；
对于C，当时，若，由面面垂直的判定定理得，
若，则或或m，相交，故C正确；
对于D，当时，若，则m，n平行或异面，
若，则或，
所以不是的充分条件也不是必要条件，故D错误．
故选：AD．
10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）在公差不为零的等差数列中，已知其前项和为，且等比数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．设数列的前项和为，则
【答案】BC
【分析】设等差数列的公差为，利用，等比数列求出、，可判断A；求出可判断B，利用等差数列求和公式求出可判断C；求出，再利用错位相减求和可判断D.
【详解】对于A，设等差数列的公差为，由得，①
由等比数列得，，②
由①②解得，，所以，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以
所以，①
，②
①②得，，
则，故D错误.
故选：BC.
11．（2023·全国·高三专题练习）定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）
A．对任意的，有
B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立
C．若与垂直，则与共线
D．若与共线，则与的模相等
【答案】AD
【分析】由表示出和，即可判断A；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即方程组
，对任意恒成立，解方程可判断B；若与垂直，则，设，分别表示出与即可判断C；若与共线，则，设，分别表示出与即可判断D.
【详解】设向量，，对于A，对任意的，有
，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程组
，对任意恒成立，而此方程组无解，故B不正确；
对于C，若与垂直，则，设，则，
，其中，故C不正确；
对于D，若与共线，则，设，
，
，所以与的模相等，故D正确.
故选：AD.
【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
12．（2022·高一课时练习）已知函数，若函数有个零点，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由分段函数解析式判断函数性质并画出函数图象，讨论参数判断不同a对应值域的的范围，结合函数图象判断解的情况，即可确定有个零点时的范围.
【详解】在上单调递增且值域为；
在上单调递减且值域为；
在上单调递增且值域为；
故的图象如下：
由题设，有个零点，即有7个不同解，
当时有，即，此时有1个零点；
当时有，即，
∴有1个零点，有3个零点，此时共有4个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有3个零点，此时共有7个零点；
当时有或或，
∴有1个零点，有3个零点，有2个零点，此时共有6个零点；
当时有或，
∴有3个零点，有2个零点，此时共有5个零点；
综上，要使有7个零点时，则，()
故选：BD
【点睛】关键点点睛：由解析式确定分段函数的性质并画出草图，进而讨论参数确定对应的取值范围，结合函数图象判断零点情况.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率 ．（结果用分数表示）
附参考数据：，；
【答案】
【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.
【详解】由题知，
事件为“记该同学的成绩”，
因为，，
所以，
又，
所以.
故答案为：
14．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）若两个锐角，满足，则 .
【答案】
【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角，的关系，代入即可求解.
【详解】因为，
所以
所以，
因为，为锐角，所以有，
所以，即，
所以，即，
因为，为锐角，所以有，即，
所以
故答案为：
15．（2024·四川成都·成都七中校考一模）双曲线：其左、右焦点分别为、，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，设双曲线右顶点为，若，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设，则，然后在中利用余弦定理列方程可表示出，再由可求出离心率的范围
【详解】设，则，
因为直线的倾斜角为，所以，
在中，由余弦定理得，
，
得，
因为，所以
得，，
所以，
所以，
解得，
即双曲线的离心率的取值范围为
故答案为：
【点睛】关键点睛：此题考查求双曲线的离心率的范围，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是根据题意在中利用余弦定理表示出，然后代入已知条件中可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.
16．（2023·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】以A为坐标原点建立空间坐标系，根据条件求出C坐标，因为为直角三角形，故球心O在过BD中点且与面ABD垂直的方向上，设球心O坐标，根据求得O坐标，可求得外接球的表面积.
【详解】
过C作面于H，
则三棱锥的体积为，所以，
取AD中点M，连接CM，MH，
因为为等边三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中， 所以
以AB，AD为轴，垂直于AB，AD方向为轴，建立如图所示空间坐标系，
设球心，在面的投影为，
由得，
所以N为的外接圆圆心，所以N为斜边的中点，故设
由得，解得，
所以，
故外接球的表面积为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题直接求球心或半径有一定的难度，先是确定球心在过面的外心且与面垂直的线上，设球心的坐标，利用球心到各顶点的距离相等求出坐标，从而求得球的半径.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
