第六单元 数列检测（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·江西·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在及正整数，使得
D．若为等比数列，则
2．（2023·全国·高二专题练习）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，则使得成立的n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知等比数列满足，则（ ）
A． B． C． D．3
4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考期末）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021·高二单元测试）已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水（：单位：）.现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位：），下列关于数列的说法正确的是
A．当时，数列有最大值
B．设，则数列为递减数列
C．对任意的，始终有
D．对任意的，都有
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·河北张家口·统考三模）已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
11．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，，表示落在区间的项数，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量（万件）近似地满足关系式，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 .
14．（2022·全国·高二专题练习）设为等比数列的前项和，若，，，则的公比的取值范围是 ．
15．（2023·全国·高三专题练习）“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上，在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列，，，…，，的和，可设计一个正立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个，第2行为2个，第3行为3个，…，第行为个1；再选一个数列（其前项和已知），可设计一个倒立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为个，第2行为个，第3行为个，…，第行为1个1.这两个三角数阵就组成一个行列的菱形数阵.若已知，则运用垛积术，求得数列，，，…，，的和为 .
16．（2023春·吉林长春·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023·福建宁德·校考二模）已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足条件①；②，请从条件①②中选一个，求出数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）在等差数列中，，其前项和满足.
(1)求实数的值，并求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为，公比为的等比数列，求证：数列的前项和.
20．（2022·全国·高三专题练习）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”.
(1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；
(2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：；
(3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且.
21．（2023·天津滨海新·统考三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，
(1)求，的通项公式；
(2)记为的前项和，求证：；
(3)若，求数列的前项和．
22．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P.
(1)①若，写出所有具有性质P的数列；
②若，写出一个具有性质P的数列；
(2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；
(3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()第六单元 数列检测（能力卷）
答题卡
准考证号：
姓 名：_________________________________________
贴条形码区
此栏考生禁填 缺考
标记
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5．正确填涂
注意事项
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、多选选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。多选、错选不给分，选对部分给2分。
9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．____________________ 14．____________________
15．____________________ 16．____________________
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
19．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
21．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22．（12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页）
数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页）
第六单元 数列检测（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·江西·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，且数列的前项积为，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．存在及正整数，使得
D．若为等比数列，则
【答案】C
【分析】对于A，根据题意直接分组求数列的前项积即可；
对于B，根据得到；
对于C，通过得到即可判断；
对于D，根据等比数列定义进行基本量的运算即可.
【详解】对于A，若，则，
所以 ，故A正确；
对于B，若，则，所以，
两式相除得，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
又因为数列各项均为正数，所以，即，
故不存在及正整数，使得，故C错误；
对于D，若为等比数列，设其公比为，
则，所以，则，故D正确.
故选：C
2．（2023·全国·高二专题练习）北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以此类推，记第n层货物的个数为，则使得成立的n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由题设及累加可得，应用等差数列前n项和公式及已知不等关系求n范围，即可得结果.
【详解】由题意，，且，
累加可得，所以，
∴，得，即．
故选：C．
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知等比数列满足，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】由等比数列的性质化简已知式可得或，则代入即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以，则，解得：或，
当或时，，
，
故选：A.
4．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分组求和法求出，进而得，从而得，利用导数研究其单调性求解.
【详解】等比数列满足各项均为正数，，
则的公比为，，
，
，
；，
当时，，
令，，
令，，
当时，，即为增函数，故，
即当时，为增函数，故，
则单调递增，，时，
综上，则的取值范围为.
故选：A.
5．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果．
【详解】因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为．
由有，，解得，所以，
，故选A．
【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用．
6．（2023秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考期末）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，，成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为，，，
由题意得，
解得，
所以，
则，
则.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
7．（2023·人大附中校考三模）已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，对每项进行验证或者举特例即可
【详解】①由可得，
由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；
②当时，，，
由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列，②错误”；
③是等差数列，故，，
因为数列是“回旋数列”，所以，即，
其中为非负整数，所以要保证恒为整数，
故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；
④由①可得当时，为“回旋数列”，
取，，显然不存在,使得，故④错误
故选：B
8．（2021·高二单元测试）已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水（：单位：）.现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位：），下列关于数列的说法正确的是
A．当时，数列有最大值
B．设，则数列为递减数列
C．对任意的，始终有
D．对任意的，都有
【答案】D
【详解】当趋于正无穷时，甲、乙两容器浓度应趋于相等，当时，显然，当 时，甲容器有剩余，显然，故D正确，A，B错误，对于C，可设，则，此时，C错误.
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．（2023·河北张家口·统考三模）已知是数列的前项和，，则下列递推关系中能使存在最大值的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于A，根据等比数列求和公式求出，可得A不正确；对于B，根据等差数列的通项公式可得B正确；对于C，计算出数列的前四项，结合单调性可得C正确；对于D，推出数列为周期函数，可得D不正确.
【详解】对于A，由，，可得，，
当为正奇数且趋近于无穷大时，也趋近于正无穷大，故不存在最大值，故A不正确；
对于B，由，得，又，所以，
当时，，当时，，当时，，
所以当或时，取得最大值，故B正确；
对于C，由，，得，，，
，又，递减，所以当时，取最大值，故C正确；
对于D，由，，得，，，，
所以数列的周期为，故不存在最大值，故D不正确.
故选：BC
10．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
【答案】ABD
【分析】直接利用累加法可判断选项A项；构造为等比数列可判断B项；利用与的关系可求得通项公式即可判断C项；利用等差数列的前n项和公式及定义法判断等差数列即可判断D项.
【详解】对于选项A，由，得，
则，故A项正确；
对于选项B，由得，
所以为等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，
当时，，
当时，，
将代入，得，
所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前项和公式可得，
所以与n无关，
所以数列为等差数列，故D项正确.
故选：ABD.
11．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.
【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第次得到数列1，，2 此时，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则
又
所以 ，则，故B项错误；
由B项分析可知，故C项正确.
，故D项错误.
故选：AC.
12．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，，表示落在区间的项数，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由已知列出数列的部分项，得出数列的通项，根据数列的基本性质以及错位相减、裂项相消法求和逐一判断各选项即可.
【详解】列举可得，数列的前若干项分别为1，2，3，3，4，5，6，6，….不难发现，.
对于A，区间，即中3的倍数有3个，这些数在中会出现两次，其它数只出现一次，因此，故A错误.
对于B，当时，；时，；时，；时，，均在中，故B正确.
对于C， ，故C正确.
对于D，取奇数时，除以3的余数为2，而取偶数时，除以3的余数为1，因此取奇数时，取偶数时，，
所以，.则，
即，
设，
，
所以，
所以，即，
所以.
.
.
故D错误.
故选:BC.
【点睛】关键点点睛：关于分奇偶列项法求和，主要是对通项做好裂项变形，拆分成合适的项进行消项，如本题中，灵活性比较强.本题属于难题，考察基本数列、数列的基本性质.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．（2023·全国·高三专题练习）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量（万件）近似地满足关系式，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 .
【答案】7，8
【分析】由n个月内累积的需求量求出每月的需求量，从而可得结果.
【详解】因为，
所以当时，，
当时，
，
化为，
解得，
可知当或8，需求量超过1.5万件.
故答案为：7，8.
14．（2022·全国·高二专题练习）设为等比数列的前项和，若，，，则的公比的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先讨论和时不符合题意，可得，再由等比数列前项和公式求出，由即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，所以，
若，则与矛盾，，
若，则与矛盾，
所以，
因为 ，则
所以，可得，
故答案为：.
15．（2023·全国·高三专题练习）“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上，在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列，，，…，，的和，可设计一个正立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个，第2行为2个，第3行为3个，…，第行为个1；再选一个数列（其前项和已知），可设计一个倒立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为个，第2行为个，第3行为个，…，第行为1个1.这两个三角数阵就组成一个行列的菱形数阵.若已知，则运用垛积术，求得数列，，，…，，的和为 .
【答案】
【分析】根据菱形区域的个数，结合公式，化简变形求值.
【详解】正三角形的区域与正三角形的区域的所有数的和为
而正三角形区域的所有数的和为
，
所以正三角形的区域的所有数的和为
，
故答案为：
16．（2023春·吉林长春·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
两式作差得，所以，
两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.
若对恒成立，当且仅当.
又，，
所以，解得：.
即首项的取值范围是.
四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（2023·福建宁德·校考二模）已知为等差数列的前项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前15项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的求和公式即可根据等差数列的性质求解，
（2）根据分组求和，结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，，
且，，，，．
（2）由（1）可知其中．
故的前15项和为
．
18．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列的各项均为正数，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列满足条件①；②，请从条件①②中选一个，求出数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出的值，将换成，结合条件可得出，从而得出答案；
（2）若选①，可得，利用裂项相消法可求解；若选②，利用错位相减法可求解.
【详解】（1）∵，
所以或，∵，∴，
……①．……②．
① - ②得是首项为3，公差为2得等差数列，；
（2）若选①，，
；
若选②，
，
，
，
.
19．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）在等差数列中，，其前项和满足.
(1)求实数的值，并求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为，公比为的等比数列，求证：数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意的，进而得，即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）知，得，进而得，利用等比数列的前项和裂项求和，即可得到数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，
所以，所以. …
所以，所以.
所以.
（2）由（1）知，
所以.
所以.
所以
由于为正整数，所以成立.
20．（2022·全国·高三专题练习）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”.
(1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；
(2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：；
(3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）“子列”的和不可能为，所以不存在“完美互补子列”；
（2）利用反证法证明得解；
（3）先利用完美互补子列的定义证明当和时，都存在“完美互补子列”，再分类讨论证明.
【详解】（1）解：由题得数列各项的和为
由题得“完美互补子列”的和相等，所以每一个“子列”的和为是一个小数，
由于数列各项为整数，所以“子列”的和不可能为，
所以不存在“完美互补子列”.
（2）解：假设，
由题得数列的前100项和为,
所以不管在哪一个“子列”，都不可能，
所以假设不成立，所以.
（3）解：时，
，
不妨设中项为中项为
则中所有项与中所有的项的和均为，
所以时，数列存在完美互补子数列.
时，只需将中，中移到中，将放入中，将放入中，则此时，中的的和均在原来的基础上增加了，所以时，数列存在完美互补子数列.
下面证明.
当时，数列共有对完美互补子数列，在每一对完美互补子列中，
（1）假设在中，则将放入中，将中的移到中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.
（2）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.
（3）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.
故对于时，中每一对完美互补子列，都至少有3种情况，
所以.
21．（2023·天津滨海新·统考三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，
(1)求，的通项公式；
(2)记为的前项和，求证：；
(3)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出d，q，根据等比和等差数列的通项公式求解即可；
（2）利用等比数列前项和公式求出，求出，得证；
（3）利用错位相减法和裂项相消法分奇偶项两组求和即可.
【详解】（1）解：由已知可得，
，
联立①②，得，解得或，
因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得，
所以，；
（2），
，，
则
，
所以；
（3）
，
令
，
则，
，得
，
令
，
.
22．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）若项数为的数列满足：，且存在，使得，则称数列具有性质P.
(1)①若，写出所有具有性质P的数列；
②若，写出一个具有性质P的数列；
(2)若，数列具有性质P，求的最大项的最小值；
(3)已知数列均具有性质P，且对任意，当时，都有．记集合，，求中元素个数的最小值.
【答案】(1)①：，2，1或1，3，1或1，3，2；
②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）
(2)1013
(3)3
【分析】（1）直接根据性质P的概念一一列举即可；
（2）根据性质P及累加法得和，两式相加即可求解；
（3）根据性质P及累加法得，，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.
【详解】（1）①：，2，1或1，3，1或1，3，2；
②：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）
（2）当时，．
由，累加得；
又由，累加得；
相加得，又，所以.
所以数列的最大项的最小值为1013，
一个满足条件的数列为；
（3）由，累加得．
又，所以，同理，，
所以，
因为，
所以，
所以中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为
此时.
【点睛】思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：
(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；
(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；
(3)将已知条件代入新定义的要素中；
(4)结合数学知识进行解答.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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