2023年吉林省长春八十七中中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，数轴的单位长度为，若点表示的数是，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
2. 年月日，我国神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功在距离地面约米外的中国空间站中，神舟十五号乘组和神舟十六号乘组六名航天员一起工作和生活这个数用科学记数法可以表示为( )
A. B. C. D.
3. 如图是正方体一种展开图，表面上的语句为长春年马拉松主题口号“激情长马，魅力春城”的节选，那么在正方体的表面与“长”相对的汉字是( )
A. 春 B. 城 C. 激 D. 情
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图所示，号称“长春眼”的摩天轮在摩天活力城的楼顶，其直径约为米，摩天活力城楼高约米，摩天轮旋转一周大约需要分钟，乘坐摩天轮升到最高处，可俯瞰整座城市小红乘坐摩天轮游玩，分钟后她乘坐的轿厢升至点处距地面的高度约为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
6. 将一个含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，一个顶点与的圆心重合，一条直角边与相切，切点为将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点则为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将的周长分成相等两部分的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，两点，若轴，菱形的面积为，点的纵坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
10. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．
11. 如图是世纪艺术家阿尔布雷希特丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为______ 度
12. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为：，点的坐标为，若点的对应点的横坐标为，则点的横坐标为______．
13. 如图是由边长为的正六边形外接圆和以其各边为直径作半圆围成的，则阴影部分的周长______ ．
14. 要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为米，水柱落地处离池中心米，水管长应为______ 米
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
有三条带子，第一条的一头是灰色，另一头是黄色，第二条的一头是黄色，另一头是红色，第三条的一头是红色，另一头是灰色若任意选取这三条带子的一头，请用画树状图的方法，求颜色各不相同的概率．
17. 本小题分
如图，在 中，是边上一点，，延长交的延长线于点，过点作交的延长线于点求证：四边形是菱形．
18. 本小题分
新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年相同，销售总额比去年少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？
19. 本小题分
根据中国汽车协会最新数据得到如图统计图表，请根据图表回答下列问题：
年月新能源汽车比年月新能源汽车月销量多______ 万辆．
年月四种品牌汽车月销量的中位数是______ 万辆．
将统计表中个数据相加，可以知道，四种品牌车在年月的总销量为万辆小明利用得出比亚迪车型占当月汽车月销售总量的百分比，你同意吗？若同意请说明理由；若不同意请计算出该百分比结果保留到
20. 本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长都是，请按要求分别在图和图中画出相应的图形，所画的图形的各个顶点均在格点上每个小正方形的顶点均为格点
如图所示， ______ ；
请在图中画一个四边形，使四边形其中至少有一个内角与中相等；
请在图中画一个与图不全等的四边形，使得它是一个中心对称图形，并且使四边形其中至少有一个内角与中互补；
．
21. 本小题分
如图，、、三个容积相同的容器之间有阀门连结从某一时刻开始，打开容器阀门，以升分的速度向容器内注水分钟，然后关闭，接着打开容器阀门，以升分的速度向容器内注水分钟，然后关闭设、、三个容器内的水量分别为、、单位：升，时间为单位：分开始时，容器内有水升，、与的函数图象如图所示请在的范围内解答下列问题：
求时，的值．
当时，求与的函数关系式．
在图中画出与的其函数图象，并直接写出时，容器的水量与容器的水量相差多少升？
22. 本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容：
如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．
求证：
请用演绎推理写出证明过程．
【结论应用】如图，在四边形中，，，，是的中点，连结，则的度数为______ ．
如图，将直角三角形绕其直角顶点顺时针旋转至，若旋转角小于且点、、共线时，，，点，分别是，的中点，则线段的长为______ ．
23. 本小题分
如图，在中，，，点从点出发以每秒个单位的进度沿向终点匀速运动，作交射线于点设点的运动时间为秒．
的长为______ ；
当点与点重合时，求的长．
当点在边上时，设与重叠部分图形的面积为当时，求的值．
设的中点为，连结、设点关于的对称点为，当所在的直线与直角边垂直时，直接写出的值．
24. 本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线是常数经过点，若点、，且点是过点作轴的平行线与抛物线的交点，以、为邻边构造矩形．
求该抛物线对应的函数表达式；
当时，求．
当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围；
若坐标轴轴或轴将矩形面积分为：，请直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数轴的单位长度为，线段个单位长度，点表示的数是．
，
点表示的数是．
故选：．
根据图形得出点、点距离个单位长度，题干中明确数轴单位长度为，利用点表示的数即可推理出点表示的数．
本题以数轴为背景考查了学生在数轴中数形结合的能力，难度较小．常在中考第一题出现，本题解题关键是明确数轴的单位长度，用已知点的数推理出目标点所代表的数．
2.【答案】
【解析】解：这个数用科学记数法可以表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：在正方体的表面与“长”相对的汉字是激，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
在数轴上表示为：，
故选：．
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出选项．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作水平面垂足为点，作垂足为点，过点作于点，
依题意，，，米，
，
分钟后她乘坐的轿厢升至点处距地面的高度约为：米，
故选：．
过点作水平面垂足为点，作垂足为点，过点作于点，依题意，，，，进而即可求解．
本题主要考查三角函数知识的应用，解题关键是利用题目中的条件找到破解方法，合理建立坐标系，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：将绕点按顺时针方向旋转得到，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
先证为等边三角形，求出，进而求出，利用三角形内角和公式即可求解．
本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，
，
则作图为的角平分线，将的周长分成相等两部分，
选项作图为的角平分线，不合题意；
选项为的角平分线，不合题意；
选项为的角平分线，符合题意；
选项为的垂直平分线，不合题意．
故选：．
由，，得出，则，推出，再根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，三角形中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息．
8.【答案】
【解析】解：过点作于，交轴于，
轴，，
轴，
点与关于原点对称，点的纵坐标为，
，，
，
菱形的面积为，
，
，
四边形是菱形，
，
，
由勾股定理得：，
，
．
故选：．
过点作于，交轴于，根据反比例函数的对称性可得，由菱形的面积公式可得，由此可得的长，由勾股定理得的长，得点的坐标，从而得的值即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，菱形的性质和面积等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件得出答案．
【解答】
解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
11.【答案】
【解析】解：正五边形一个外角的度数为，
正五边形一个内角的度数为，
图中菱形的最小内角的顶点处有三个正五边形的内角，
，
菱形的最小内角为，
故答案为：．
先求得正五边形一个内角的度数为，再由正五边形的内角与它相邻的外角互为补角求得正五边形一个内角的度数为，观察图形可知菱形的最小内角的顶点处有三个正五边形的内角，即可求得菱形的最小内角为．
此题重点考查平面镶嵌、正多边形的外角与内角、菱形的性质等知识，求出正五边形一个内角的度数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：过点作作于，过点作轴于，
则，
∽，
，
点的坐标为，点的横坐标为，
，
和的周长之比为：，
和的相似比为：，即，
，
解得：，
点的横坐标为，
故答案为：．
过点作作于，过点作轴于，得到∽，根据相似三角形的性质求出和的相似比，进而求出，根据坐标与图形性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由正六边形的边长为可知，正六边形的外接圆的半径为，每个小半圆弧的直径是，
所以阴影部分的周长为：半径为的圆周长个直径为半圆弧长，
即，
故答案为：．
根据正六边形的性质，得出正六边形的外接圆的半径为，每个小半圆弧的直径是，由阴影部分的周长半径为的圆周长个直径为半圆弧长进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质以及弧长的计算方法是正确解答的前提．
14.【答案】
【解析】解：设抛物线的解析式为，
由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，．
水管的长度是
故答案为：．
设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．
15.【答案】解：，
．
【解析】首先化简，然后把代入化简后的算式计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
16.【答案】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，颜色各不相同的有种情况，
颜色各不相同的概率为．
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与颜色各不相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
【解析】先证四边形是平行四边形，再证，则，即可得出结论．
此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形的性质和菱形的判定解答．
18.【答案】解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，
根据题意，得．
解得：．
检验：当时， 所以是原方程的解．
答：今年月份每辆车的销售价格为万元．
【解析】设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
19.【答案】
【解析】解：年月新能源汽车销量为万辆，年月新能源汽车销量万辆，
年月新能源汽车比年月新能源汽车月销量多万辆．
故答案为：；
由统计表可知年月四种品牌汽车月销量分别为：，，，，
其中位数是，
故答案为：；
万辆是四种品牌汽车年月的销量，而不是年月所有汽车的总销量，
不同意利用得出比亚迪车型占当月汽车月销售总量的百分比，
年月的总销量为万辆，
比亚迪车型占当月汽车月销售总量的百分比为：．
根据条形统计图中年月和年月新能源汽车月销量即可解决问题；
根据统计表中年月四种品牌汽车月销量即可求出中位数；
根据题意进行分析进行判断后再进行正确计算即可．
本题是统计综合题，主要考查条形统计图的认识，中位数，深入理解题意是解决问题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图中，是等腰直角三角形，
，
故答案为：；
如图中，四边形即为所求；
如图中，四边形即为所求．
利用等腰直角三角形的性质解决问题；
构造等腰梯形即可；
构造平行四边形即可．
本题考查作图旋转变换，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：当时，向容器内注水分钟，
．
由函数图象可得：与的函数过，，
设与的函数关系式为：，
则有：，解得：，
．
当，；
当，．
与的函数关系式：，
与的其函数图象如下：
由函数图象可得：当时，，，
，
容器的水量与容器的水量相差升．
【解析】根据题意列出与的函数关系式，然后再将代入计算即可；
运用待定系数法求解即可；
先分和两种情况求得函数解析式，然后根据解析式化出图象，再根据图象可得当时，，，然后作差即可解答．
本题主要考查了一次函数的应用、列函数关系式、求函数解析式、从函数图象获取信息等知识点，灵活运用函数及图象是解答本题的关键．
22.【答案】
【解析】【教材呈现】证明：延长到点，使，连结、，
是边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
．
【结论应用】解：如图，连结，
，，，
，
，
是的中点，
，，，
，，，
，
，
，
故答案为：．
解：如图，连结、，
由旋转得≌，
，
，
、、三点共线，
，
旋转角小于且点、、共线，
点在边上，
，，
，
点，分别是，的中点，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【教材呈现】延长到点，使，连结、，由，，可证明四边形是矩形，则，所以；
【结论应用】连结，由，，，得，则，而是的中点，则，，，所以，，，可求得，，所以；
连结、，由旋转得≌，可证明、、三点共线，点在边上，再根据勾股定理求得，则，，所以，，可证明，则．
此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23.【答案】
【解析】解：在中，，，，
．
故答案为：；
如图，当点和点重合时，
由题意得：，
，
在中，，
即，
解得：，
；
点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，
，
，
如图，过点作于，则为中点，
，，
∽，
，
，
，，
，，
由题意得：，
解得：；
的中点为，
，
如图：当在是左侧时，，时，
，关于对称，
，
即，
又，
，
的中点为，
为的中点，
，
，，，
，
解得：；
如图，当在的右侧，，时，
过点作，
由可知：，
，，
，，
，
，关于对称，，
，
，
即，
解得：舍去，
如图，当在的左侧，，时，
过作，
由可知，
，，
，，，
，关于对称，，
，
，
即，
解得：，
综上所述，的值为或．
直接运用勾股定理解答即可；
当点和重合时，由题意可得：，进而得到，然后用勾股定理列方程求出的值，即可求出的值；
根据题意可得，判定∽后得出，，然后根据三角形面积公式和两个三角形面积之间的关系求解即可；
根据中点定义求出的长，然后分类讨论，分别画出图形，利用轴对称的特点，勾股定理、解直角三角形等知识解答即可．
本题是一道几何变换综合题，主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称，解直角三角形等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
24.【答案】解：抛物线是常数经过点，
，
解得：，
该抛物线对应的函数表达式为；
当时，，，
轴，
点在抛物线上，轴，
，，
，，
．
当时，如图，抛物线不可能在矩形的内部，不符合题意；
当时，如图，
抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，
，
；
综上所述，的取值范围为；
当轴将矩形面积分为：时，
若，
则或，
；
若，
则或，
；
若，矩形位于轴上方，轴不可能将矩形面积分为：；
当轴将矩形面积分为：时，
若或，不成立；
若，
则或，
解得：或；
综上所述，的值为或或或．
【解析】运用待定系数法即可求得答案；
由题意得，，则轴，根据轴，可得，，利用三角函数定义即可求得答案；
分两种情况：当时，抛物线不可能在矩形的内部；当时，可得，解不等式组即可；
分两种情况：当轴将矩形面积分为：时，当轴将矩形面积分为：时，分别求得的值即可．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，矩形的性质，三角函数定义等知识，解题的关键是理解题意，列不等式组解决数学问题，属于中考压轴题．
第1页，共1页
