1.1 空间向量及其运算
——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）
选择性必修第一册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 空间向量及其线性运算
1.空间中任意四个点，则( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是( )
A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D
3.如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，点N在BC上，且，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知i，j，k是不共面向量，，，，若a，b，c三个向量共面，则实数等于___________.
知识点2 空间向量的数量积运算
5.如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是的中点，则( )
A. B. C. D.
6.设为空间中的任意两个非零向量，有下列各式:
①;②;③;④.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( ).
A. B. C. D.
8.已知空间向量a，b，c和实数，则下列说法正确的是( )
A.若，则或 B.若，则或
C.若，则或 D.若，则
【提升能力】
9.如图，在平行六面体中，与向量的模一定相等的向量有( )
A.0个 B.3个 C.7个 D.9个
10.已知A，B，C，D为空间中任意四个点，则等于( )
A. B. C. D.
11.已知四边形ABCD为矩形，平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
12.如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，点N是上的点，且，用a，b，c表示向量的结果是( )
A. B. C. D.
13.（多选）对于空间一点O，下列命题中正确的是( ).
A.若，则P，A，B三点共线
B.若，则P是线段AB的中点
C.若，则P，A，B三点不共线
D.若，则B是线段AP的中点
14.（多选）已知长方体，则下列向量的数量积可以为0的是( )
A. B. C. D.
15.已知，，，，，，则__________.
16.如图，四棱锥的底面是平行四边形，点H在PC上，，点G在AH上，，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值.
【综合素养】
17.在空间四边形OABC中，若，，则( ).
A. B. C. D.0
18.如图，在正三棱柱中，底面边长为.
(1)若侧棱长为1，求证：；
(2)若与的夹角为，求侧棱长.
答案以及解析
1.答案：C
解析：利用空间向量运算法则即可得出.
2.答案：A
解析：，A，B，D三点共线，故选A.
3.答案：A
解析：如图，连接MB，则
.故选A.
4.答案：
解析：若向量a，b，c共面，则存在，使得，
，解得.
5.答案：B
解析：由题意得，所以.故选B.
6.答案：B
解析：由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.
7.答案：B
解析：，，设，，则.
8.答案：B
解析：对于选项A，若，则或或，故A错误；
对于选项B，由，可得或，故B正确；
对于选项C，由，得，即向量， 的模相等，但方向不确定，故C错误；
对于选项D，由，得，则或或，故D错误.故选B.
9.答案：C
解析：向量的模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量的模一定相等的向量有，，，，，，，共7个.故选C.
10.答案：D
解析：.
11.答案：A
解析：由平面ABCD，及三垂线定理可知，，，故B，C，D选项中两向量的数量积为零，无法判断PC与BD是否存在垂直关系，故数量积不一定为零.
12.答案：D
解析：由题意可得，
.
，，
，故选D.
13.答案：ABD
解析：由得，知P，A，B三点共线，A正确；由得，知P是线段AB的中点，B正确；由得，知B是线段AP的中点，D正确.由得，知P，A，B三点共线，故C错误.
14.答案：ABC
解析：若，则，A正确；若，则，B正确；平面，，C正确；和BC分别为矩形的对角线和边，
两者不可能垂直，D错.故选ABC.
15.答案：
解析：，故.
16.答案：
解析：设，，，则，
，
.
因为G，B，P，D四点共面，所以向量，，共面，
于是，即，
所以，解得.
17.答案：D
解析：.
18.答案：(1)证明见解析
(2)侧棱长为2
解析：解：设，，，
则，，.
(1)由，得
，
所以，即.
(2)设，则，
，
又与的夹角为，
所以或，
所以，解得，即侧棱长为2.
