江西省2024届高三上学期第一次大联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已如集合，，则( )
A. B. C. D.
2、若复数z满足，则z的虚部为( )
A. B. C. D.
3、已知直线l是曲线在点处的切线，则直线l在x轴上的截距为( )
A. B. C.2 D.3
4、在平面直角坐标系xOy中，锐角的大小如图所示，则( )
A.-2 B.2 C. D.3
5、光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（13年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉，光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为( )(参考数据：)
A.9.1m B.10.9m C.11.2m D.12.1m
6、已知各项均为正数的数列满足，且数列的前n项积为，则下列结论错误的是( )
A.若，则
B.若，则
C.存在及正整数k，使得
D.若为等比数列，则
7、已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8、已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知，则下列不等式一定正确的是( )
A. B. C. D.
10、为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩，下列说法正确的是( )
A.众数为95 B.中位数为93
C.平均成绩超过93分 D.25%分位数是91
11、如图，在直三棱柱中，，，则( )
A.平面
B.平面平面
C.异面直线AC与A，B所成的角的余弦值为
D.点，A，B，C均在半径为的球面上
12、加斯帕尔·蒙日（图1）是18-19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆（图2）.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P，Q均在C的蒙日圆O上，PA，PB分别与C相切于A，B，则下列说法正确的是( )
图1 图2
A.C的蒙日圆方程是
B.设，则的取值范围为
C.若点P在第一象服的角平分线上，则直线AB的方型为
D.若直线PQ过原点O，且与C的一个交点为G，，则
三、填空题
13、已知直角三角形OAB的斜边为AB，向量，，则实数________.
14、已知双曲线C的中心为原点.焦点在x轴上，焦距为8，且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则C的标准方程为_______.
15、唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新，为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有_______种.(用数字作答）
16、将函数的图象向右平移个并位长度可以得到函数的图象，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是_______.
四、解答题
17、记，为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式：
（2）记求数列的前30项的和.
18、在中，内角A，B，C所对的边分別为a，b，c，.
（1）求B的大小；
（2）若角B的平分线交AC于点D，，，求c.
19、如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M是PB的中点.
（1）证明：；
（2）求直线DM与平面ACM所发的角的正弦值.
20、已知指物线的焦点为F，顶点为坐标原点O，过点F的直线l与C相交于A，B两点，当点O到直线l的距离最大时，.
（1）求C的标准方理；
（2）过点B作轴于点D，记线段BD的中点为P，且与的面积之和为S，求S的最小值.
21、近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机
抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）是否存99.9\%的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关
（2）M社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从A，B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜，如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为；如果周一选择B平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为，求张无忌周二选择B平台买菜的概率：
（3）用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X，事件“”的概率为P(X=k)，使得P(X=k)取得最大值k的值
参考公式.其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
22、已如函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：，所以，故选B.
2、答案：C
解析：由已知得，所以，所以z的虚部为.
3、答案：A
解析：，，又，所以l的方程为，令，得，即直线l在x轴上的截距为，故选A.
4、答案：B
解析：由题图知，则，所以，故选B.
5、答案：A
解析：如图，设该正四棱台为，其上、下面底中心分别为，O，分别取BC，的中点E，F，连接，，EF，OE，则，，，所以，故选A.
6、答案：C
解析：当时，，所以，A正确；
时，，两式相除得，所以，B正确；
由及各项均为正数，可得，C错误；
若为等比数列，设其公比为q，则，所以，，，D正确，故选C.
7、答案：D
解析：因为对任意的，都有，所以在上单调递减，且，又为奇函数，所以在上也单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得，即，所以或或解得或或，所以原不等式的解集为，故选D.
8、答案：C
解析：设，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得极大值，也是最大值，即，即，所以，所以(当且仅当时取等号)，所以，即.设，则，所以在上单调递增，所以，故，所以，即，所以，故选C.
9、答案：ABD
解析：因为，，故，A正确；因为，，所以，B正确；令，，，，则，故C错误；由，得，又，所以，D正确，故选ABD.
10、答案：ACD
解析：将这6个数据按从小到大排列为84，91，95，95，98，100，其中95出现2次，故A正确；中位数为第3，4个数据的平均数95，B错误；平均数为，故C正确；，故分位数为第2个数91，D正确，故选ACD.
11、答案：ABC
解析：对于A，因为，平面，平面，所以平面，A正确；
对于B，易证得，，又，所以平面，所以平面平面，B正确；
对于C，由，可知即为异面直线AC与所成的角，在中，，，，所以，所以，C正确；
对于D，三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，而该直三棱柱可补形为棱长为1的正方体，故其外接球的半径，D错误，故选ABC.
12、答案：BC
解析：分别过C的顶点，作C的切线，则两切线的交点在C的蒙日圆上，故蒙日圆的半径，即的蒙日圆的方程为，A错误；
对于B，由椭圆的定义得，当且仅当点A在的延长线上时取等号，，当且仅当点A在的延长线上时取等号，所以的取值范围为，B正确；
对于C，在方程中，令，得，故，设切点，，则根据椭圆上一点的切线方程的结论可得两切线方程分别为，，又PA，PB均过点，所以，
，根据方程同解原理可得，直线AB的方程为，C正确；
对于D，，则，所以，由得①，②，则①+②得，解得，所以，故D错误，故选BC.
13、答案：-2
解析：由已知得，，.
14、答案：
解析：设C的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，由已知得，即，又焦距为8，所以，，，所以C的标准方程为.
15、答案：2280
解析：共分两大类：（1）来自江西的散文家选出2人，此时排课方法数为；（2）来自江西的散文家选出3人，此时排课方法数为，故不同的排课方法数共有.
16、答案：
解析：易求得，依题意得，，，，，，因为函数在区间内有零点，无最值，，解得，当时，满足条件，当时，满足条件，当时，显然不满足条件.综上可得.
17、答案：（1）
（2）465
解析：（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得
解得
所以.
（2），
所以.
所以.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知及正弦定理得，又A，，所以，，
所以，
即，
所以，
因为，所以，
所以，即.
（2）由，
得.
所以.
即，
解得.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AB的中点F，连接CF，所以，又因为，所以四边形AFCD是平行四边形.因为，，所以四边形AFCD是正方形，
则，所以，得到，所以.
因为平面ABCD，所以，
又因为，所以平面PAC.因为平面PAC，所以.又点M是BP的中点，所以
（2）因为平面ABCD，AD，平面ABCD，所以，，则PA，AD，AB两两垂直，如图以A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
所以，，.
设平面ACM的一个法向量为，
所以即
令，则，，所以，
设直线DM与平面ACM所成的角为，
则.
所以直线DM与平面ACM所成的角的正弦值为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知，当点O到直线l的距离最大时，轴，将代入，得，
所以，所以，
所以C的标准方程为.
（2）由(1)得.
设，，.
联立得
消去x，得，则，
由P为BD的中点，得P点的纵坐标为，
所以，
当且仅当，即时取等号.
所以S的最小值为.
21、答案：（1）有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关
（2）
（3）12
解析：（1），
所以有的把握认为M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）记事件A：张无忌周一选择A平台买菜，事件B：张无忌周二选择B平台买菜，
则，，，
由全概率公式可得.
因此，张无忌周二选择B平台买菜的概率为.
（3）利用样本分布的频率估算总体分布的概率，可得M社区的市民喜欢网上买菜的概率为，
则，
所以.
设.
若，则，；
若，则，.
所以时，最大，
故使取得最大值的k值为12.
22、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）的定义域为，
当时，令，得，此时单调递增；
令，得，此时单调递减.
当时，令，得，此时单调递减；
令，得，此时单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）记，
由(1)得当时，，即，
所以，即，
当时，等价于不等式对恒成立，
即对恒成立，
即对任意的恒成立，
则等价于对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
即在上单调递增，所以，
所以，即实数a的取值范围为.
