2023年湖南省怀化市中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 对称美是和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 年国务院政府工作报告回顾了年取得的成就，工作回顾中提到“十四五”实现良好开局，人民生活水平稳步提高，脱贫攻坚成果得到巩固和拓展，新开工改造城镇老旧小区万个，惠及近千万家庭这个数万用科学记数法表示为数据来源百度百科年国务院政府工作报告．( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 以下调查中，最适合采用抽样调查的是( )
A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
B. 了解全班名同学每天体育锻炼的时间
C. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D. 为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查
6. 如图，直线，，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是( )
A. 四边形周长不变 B.
C. 四边形面积不变 D.
8. 如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是( )
A. B. C. D.
9. “盈不足问题”作为我国数学的古典问题，在多年前的九章算术一书中就有很详尽而深刻的阐述书中记载：今有人买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、物价各几何？意思是：有若干人一起买鸡，如果每人出文钱，就多出文钱；如果每人出文钱，就相差文钱买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？若设鸡的价钱是文钱，根据题意列一元一次方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是( )
；
；
；
将图象向上平移个单位后与直线有个交点．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 单项式的系数是______ ．
12. 分解因式：______．
13. 已知是二元一次方程的一个解，那么的值是______．
14. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长厘米，弓形高为厘米，则镜面半径为______厘米．
15. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多为了解南迁到该区域某湿地的种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，只种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______ 只种候鸟．
16. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在九章算术注中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣”也就是说，图中直角三角形的三边、、存在的关系他在书中构造了一些基本图形来解决问题如图，分别将以为边长的正方形和为边长的正方形置于以为边长的大正方形的左下角和右上角，则图中阴影部分面积等于______ 用含字母的代数式表示；若，则 ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
19. 本小题分
如图所示，工人赵师傅用块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙、和、，点在上，已知，．
求证：≌；
求的长．
20. 本小题分
我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程研学旅行开展以来引起广泛关注，九年级班数学兴趣小组对本班同学对研学旅行课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
九年级班共有学生 名；
九年级共有学生人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择类的大约有多少人？
该校德育处决定从九年级二班调查的类的人中，抽人到八年级开展研学宣讲，若在调查的类人中，刚好有名男生名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率．
21. 本小题分
如图，在中，点，分别是，的中点，点是延长线上的一点，且，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求四边形的面积．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线：过，，直线：．
求直线的表达式；
过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别是，当时，点位于点右方，直接写出的取值范围．
23. 本小题分
某班在庆祝中国共产主义青年团成立周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多元，用元购买的笔记本数量与用元购买的钢笔数量相同．
笔记本和钢笔的单价各多少元？
若给全班名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过元，最多可以购买多少本笔记本？
24. 本小题分
如图，内接于，的平分线交于点，交于点，且过点作，交的延长线于点．
求证：为的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．
25. 本小题分
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点是函数的图象的“等值点”．
分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
设函数，的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为当的面积为时，求的值；
若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，的相反数是，
故选：．
根据相反数定义直接求值即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，单项式除以单项式的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A符合题意；
B、了解全班名同学每天体育锻炼的时间，最适合采用全面调查，故B不符合题意；
C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意；
D、为保证飞机正常飞行，对其零部件进行检查，最适合采用全面调查，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：反向延长的一边，如图，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质以及三角形外角的性质即可得到的度数．
本题考查平行线的性质、三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，
四边形为平行四边形，
，
故选：．
由条件可知，，可证明四边形为平行四边形，可得到．
本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故选：．
由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．
本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设鸡的价钱是文钱，根据题意得，
．
故选：．
利用人数不变，结合“如果每人出文钱，多出文钱；如果每人出文钱，还差文钱”，即可得出关于的一元一次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知二次函数与轴的交点为和，
二次函数的对称轴为，
，
，故正确；
由图象可知时，，
，故正确；
由图象可知二次函数与轴的交点为，
二次函数与轴的交点为，
，故错误；
将点和代入，
，解得，
二次函数的表达式为：，
当时，，
图象上当时，函数顶点的坐标为，
将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，
此时，直线与函数图象有个交点，故正确，
综上：正确的有，
故选：．
根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故正确；由图象可知时，，故正确；由图象可判断二次函数与轴的交点为，即，故错误；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有个交点，故正确．
本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的表达式，数形结合是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：单项式的系数是．
故答案为：．
根据单项式的系数定义得出答案即可．
本题考查了单项式，能熟记单项式的系数定义是解此题的关键，注意：单项式中的数字因数叫单项式的系数．
12.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
13.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
把代入方程得出，再求出方程的解即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，点是圆形玻璃镜面的圆心，连接，则点，点，点三点共线，
由题意可得：，厘米，
设镜面半径为厘米，
由题意可得：，
，
镜面半径为厘米，
故答案为：．
根据题意，弦长厘米，弓形高为厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．
15.【答案】
【解析】解：设该湿地约有只种候鸟，
则：：，
解得．
故答案为：．
在样本中“只种候鸟中有只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
16.【答案】
【解析】解：图中阴影部分面积等于，
如图所示：
，，，
，
，即，
，
，
，即，
，
故答案为：，．
根据阴影面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积即可表示；先求出，，，再根据得到，再根据，即可求出．
本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，勾股定理，三角形三边的关系，求平方根，正确理解题意推出是解题的关键．
17.【答案】解：
．
【解析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：
，
当，时，
原式．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】证明：，，
同角的余角相等．
在与中，
，
≌；
由题意知，，．
由知，≌，
，，
．
【解析】根据全等三角形的判定定理证得结论；
利用中全等三角形的对应边相等得到：，，则．
本题主要考查了全等三角形的应用，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
20.【答案】
【解析】解：九年级班共有学生：名，
故答案为：；
人，
答：估计九年级学生选择类的大约有人；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有种，
抽到的一男一女的概率为．
由类的人数除以所占的百分比得出九年级班的人数，即可解决问题；
由九年级共有学生人数乘以类人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的一男一女的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：由得：，
是的中点，，
，
，
四边形的面积
【解析】证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形；
由得：，四边形是平行四边形，得其面积，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、四边形的面积等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
22.【答案】解：直线：过，，
，解得：，
直线：；
，
直线必过点，
过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别是，，当时，点位于点右方，
当时，当时，必然存在点位于点右方，不符合题意；
当时，，平行时，满足题意，此时：；
，相交时，则交点的横坐标恒大于，此时：；
综上：的取值范围为．
【解析】待定系数法求出函数解析式即可；
分和，两种情况分类讨论，利用数形结合的思想进行求解即可．
本题考查一次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想的进行求解，是解题的关键．
23.【答案】解：设每支钢笔元，依题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故笔记本的单价为：元，
答：笔记本每本元，钢笔每支元；
设购买本笔记本，则购买钢笔支，依题意得：
，
解得：，
故最多购买笔记本本．
【解析】可设每支钢笔元，则每本笔记本元，根据其数量相同，可列得方程，解方程即可；
可设购买本笔记本，则购买钢笔支，根据总费用不超过元，可列一元一次不等式，解不等式即可．
本题主要考查一元一次不等式的应用，分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到等量关系和不等关系．
24.【答案】证明：连结，
平分交于，
，
，
，
，
，
为的切线；
连结，连结交于，作于，
，平分，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
，
，
，
，
，，
∽，
：：，即：：，
，
∽，
，即，
解得，
在中，，
阴影部分的面积的面积弓形的面积
的面积扇形的面积的面积
．
【解析】连结，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明；
连结，连结交于，作于，证明为等边三角形，得到，，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据阴影部分的面积的面积弓形的面积计算．
本题考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．
25.【答案】解：在中，令，得不成立，
函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点”或；
在函数中，令，
解得：，
，
在函数中，令，
解得：，
，
轴，
，
，
的面积为，
，
当时，，
解得，
当时，，
，
方程没有实数根，
当时，，
解得：，
综上所述，的值为或；
令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点”或，
当时，，两部分组成的图象上必有个“等值点”或，
：，
：，
令，
整理得：，
的图象上不存在“等值点”，
，
，
，
当时，有个“等值点”、、，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．
【解析】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．
根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
先根据“等值点”的定义求出函数的图象上“等值点”，同理求出，根据的面积为可得，求解即可；
先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．
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