2022-2023学年四川省泸州市龙马潭区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 式子有意义的条件是( )
A. B. C. 且 D.
3. 下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 矩形的两条对角线的夹角为，对角线长为，则矩形的较长边的长为( )
A. B. C. D.
5. 在 中，：：：的值可以是( )
A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：：
6. 下列条件中能判断四边形是菱形的是( )
A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直且平分
C. 对角线相等 D. 对角线相等且互相平分
7. 如图，在 中，已知，，平分交边于点，则等于( )
A. B.
C. D.
8. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是( )
A. B.
C. D.
9. 在中，，，高，则等于( )
A. B.
C. 或 D. 或
10. 如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
11. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是( )
A. B.
C. D.
12. 如图，正方形的对角线，相交于点，平分交于点，若，则线段的长为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 计算： ______ ．
14. 若一直角三角形的两边长为、，则第三边的长为______．
15. 若与互为相反数，则______．
16. 如图，菱形中，，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
． ．
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点且，求证：四边形为平行四边形．
21. 本小题分
如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？
22. 本小题分
如图，在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，甲货船行驶海里后和乙货船相遇在点处则港与港相距多少海里？
23. 本小题分
在 中，过点作于点，点 在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，，求证：平分．
24. 本小题分
如图，在四边形中，，过点作的角平分线交于点，连接交于点，．
求证：四边形是菱形；
若，的周长为，求菱形的面积．
25. 本小题分
如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接．
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，求当为何值时，和全等？
若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度仅沿着向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：被开方数小于，无意义，故A不是二次根式；
B.是三次根式，故B不是二次根式；
C.根指数是，且被开方数是非负数，故C是二次根式；
D.被开方数有可能小于，故D不是二次根式．
故选：．
根据二次根式的定义根指数是，被开方数是非负数判断即可．
本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义形如的式子叫二次根式是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：式子有意义，
且，
解得且．
故选：．
先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，
故A不符合题意；
B、，
故B不符合题意；
C、，
故C不符合题意；
D、，
故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，负整数指数幂，对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的计算，合并同类项，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：矩形的两条对角线相等且互相平分，如图所示：
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
矩形的较长边长为．
故选：．
根据矩形的性质和两条对角线的夹角为，得出是等边三角形，再根据对角线长为，然后利用勾股定理即可求出矩形较长的边长．
此题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键，是一道基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于平行四边形对角相等，
所以对角的比值数应该相等，
其中，，都不满足，只有满足．
故选：．
根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个．
主要考查了平行四边形的性质．其性质：
平行四边形两组对边分别平行；
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分．
6.【答案】
【解析】解：因为对角线互相平分的四边形为平行四边形，且对角线互相垂直的平行四边形为菱形，
所以对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故选：．
可根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，然后进行选择．
本题主要考查了对菱形判定方法的理解，解题关键是掌握菱形的判定方法．
7.【答案】
【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得，根据、的值，求出的长．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
8.【答案】
【解析】解：如图，；
如图，．
，故选B．
将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出的长，最短者即为所求．
此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．
9.【答案】
【解析】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得：
，
，
在中，，由勾股定理得
，
，
的长为；
钝角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得：
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
，
的长为．
故BC长为或．
故选：．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
10.【答案】
【解析】解：由翻折而成，
，，
矩形，
，
在与中，
≌，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长为．
故选：．
先根据翻折变换的性质得出，，再设，则，由全等三角形的判定定理得出≌，可得出，在中利用勾股定理即可求出的值，进而得出的长．
本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．也考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形中位线定理得到，，得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：，
同理，，
，
，
，
，
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
通过正方形的边长求出长度，过点作，根据角平分线的性质可得，证≌，可得，从而得到长度，证是等腰直角三角形，可得，则可求长．
【详解】
解：四边形是正方形，，
，，．
过点作，又平分，
，
在和中
≌
．
．
，
是等腰直角三角形，
．
．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据二次根式的乘法直接计算即可．
本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式乘法是解决本题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：根据勾股定理，当和都是直角边时，则第三边是；
当是斜边时，则第三边是．
故答案为：或．
考虑两种情况：和都是直角边或是斜边．根据勾股定理进行求解．
考查了勾股定理，此类题注意考虑两种情况，熟练运用勾股定理进行计算．
15.【答案】
【解析】解：与互为相反数，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
由题意可得，利用非负数的性质可得关于，的方程组，解方程组，再把相应的值代入运算即可．
本题主要考查解二元一次方程组，非负数性质，解答的关键是对相应的知识的掌握．
16.【答案】
【解析】解：作点关于对称点点，连接，与的交点即是点，
菱形中，，，是的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值是：．
故答案为：．
根据轴对称最短问题作法首先求出点的位置，再结合菱形的性质得出为等边三角形，进而求出的最小值．
此题主要考查了菱形的性质以及轴对称中最短路径求法，正确地作出点从而利用菱形性质得出是解决问题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可；
先利用完全平方公式和平方差公式计算，再加减运算即可求解．
本题考查二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟记完全平方公式和平方差公式，正确求解是解答的关键．
18.【答案】解：
．
【解析】先计算负整数指数幂、有理数乘方、零指数幂以及算术平方根，然后进行乘除运算，最后加减运算即可求解．
本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、有理数乘方、零指数幂以及算术平方根，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
19.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】证明：连接，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】根据平行四边形的判定与性质证明结论即可．
本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解答的关键．
21.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
，
．
所以需费用元．
【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解．
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
22.【答案】解：作于点，
，海里，
海里，
乙货船从港口沿北偏西方向出发，
，
海里，
海里，
答：港与港相距海里，
【解析】先作于点，根据甲货船从港沿北东的方向以海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分．
【解析】根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的定义，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．
24.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，，
平分，
，
，
，
平行四边形是菱形；
解：由可知，四边形是菱形，
，，，，
的周长为，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积．
【解析】证四边形是平行四边形，，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，再求出，则，然后由勾股定理得，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：四边形是矩形，
，，
若与全等，则或，
当≌，即时，
则；
当≌，即时，
则．
当或时，与全等．
；
四边形是矩形，
，，，
在中，，
，
若为等腰三角形，则或或，
当时，
，，
，
；
当时，
，
，
当时，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
综上所述，当或或时，为等腰三角形．
【解析】分≌和≌两种情况讨论，根据时间路程的关系可求的值；
根据勾股定理可求的长；分或或三种情况讨论，可求的值．
本题主要考查了勾股定理的应用，全等三角形和等腰三角形的判定与性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
第1页，共1页
