第4章 直线与角 综合素质评价
一、选择题 (本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．【2023·合肥巢湖市期末】下面的几何体中，有2个面的是( )
2．【2023·合肥长丰县期末】如图，以A为一个端点的线段共有( )
INCLUDEPICTURE"7HK+14+.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+14+.EPS" \* MERGEFORMATINET
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．【2023·合肥庐阳区期末】下列说法正确的是( )
A．直线MN和直线NM是同一条直线 B．射线MN和射线NM是同一条射线
C．画一条长为3 cm的射线 D．点A到点B的距离是线段AB
4．如图，已知三角形ABC，可以用刻度尺量出AB、AC、BC的长度，比较
AB＋AC与BC的长短，若不通过测量进行比较，其依据是( )
A．两条直线只有一个交点
B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
(第4题)INCLUDEPICTURE"7HK+16.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+16.EPS" \* MERGEFORMATINET (第6题) (第7题)
5．【母题：教材P145习题T1】某电视节目定于晚上8：00准时开播，请问晚上
8：00时，钟表上时针和分针所成的最小角的度数为( )
A．100° B．120° C．220° D．240°
6．【2023·合肥蜀山区期末】将一副直角三角尺按如图所示的位置放置，其中
∠COD＝45°，∠AOB＝60°，经测量∠BOC＝90°，则∠AOD的度数为( )
A．15° B．25° C．30° D．45°
7．【母题：教材P146习题T2】如图，一艘轮船行驶到点O处时测得海岛A，B的方向分别是北偏东75°和西北方向，则∠AOB的度数是( )
A．150° B．135° C．120° D．100°
8．【2023·合肥38中月考】已知点A，B，C在同一条直线上，线段AB的长为8，线段BC的长为12，点M是线段BC的中点，则MA的长为( )
A．14 B．2 C．2或14 D．2或12
9．【2023·合肥肥西县期末】如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是( )
A．∠COD＝∠AOB B．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOD D．∠BOC＝∠AOD
(第9题)INCLUDEPICTURE"7HK+19.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+19.EPS" \* MERGEFORMATINET (第10题)
10．【2023·合肥瑶海区期末】如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG的度数为( )
A．9° B．10° C．11° D．12°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．【2023·合肥淮南期末】若∠α＝25°，∠α的补角是∠β的5倍，则∠β＝________．
12．如图，点O与量角器中心重合，OA与零刻度线叠合，OB与量角器刻度线叠合，OD是∠BOC的平分线，那么∠BOD＝________．
(第12题) (第13题)
13．【母题：教材P142习题T3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，则线段AC的长度为________．
14．【2023·合肥庐阳区校级期末】在同一平面内，O为直线AB上一点，射线OE将平角∠AOB分成∠AOE，∠BOE两部分，已知∠BOE＝α，OC为∠AOE的平分线，则∠COE＝________；若∠DOE＝90°，则∠COD＝____________．(用含α的式子表示)
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：180°－25°24′35″×2－40°35′25″×2.
16.INCLUDEPICTURE"学科素养推理能力.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\学科素养推理能力.EPS" \* MERGEFORMATINET 如图是由边长为1的小正方形按照一定的规律排列而成的，观察图形，回答下列问题：
INCLUDEPICTURE"7HK+22.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+22.EPS" \* MERGEFORMATINET
(1)按上述规律排列，图⑤中图形的周长为________；
(2)按上述规律排列，若某幅图形的周长为58，则这幅图形是第多少幅图？
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．按要求画图：如图，P是∠AOB的边OB上的一点．
(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C；
(2)过点P画OA的垂线，垂足为H.
INCLUDEPICTURE"7HK+23.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+23.EPS" \* MERGEFORMATINET
18．如图，延长线段AB到点C，使BC＝4AB，且点D是线段BC的中点，
CD＝4.
(1)求AC的长度；
(2)若点E是线段AC的中点，求ED的长度．
INCLUDEPICTURE"7HK+24.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+24.EPS" \* MERGEFORMATINET
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．【母题：教材P151习题T5】如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠BOE＝3∠COE，∠DOE＝81°，求∠BOE，∠AOD的度数．
INCLUDEPICTURE"7HK+25.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+25.EPS" \* MERGEFORMATINET
20．如图是一种盛装葡萄酒的瓶子，已量得瓶塞AB与标签CD的高度之比为2∶3，且标签底部DE＝AB，C是BD的中点，又量得AE＝330 mm，求标签CD的高度．
INCLUDEPICTURE"7HK+26.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+26.EPS" \* MERGEFORMATINET
六、(本题满分12分)
21．【2023·合肥50中月考】如图，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC.
(1)计算求值：若∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，求∠MON的度数；
(2)问题解决：若∠AOB＝x°，∠MON＝y°.
①y＝________(用含x的代数式表示)；
②如果∠AOB＋∠MON＝156°，试求∠MON的度数．
INCLUDEPICTURE"7HK+27.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7HK+27.EPS" \* MERGEFORMATINET
七、(本题满分12分)
22.INCLUDEPICTURE"学科素养几何直观.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\学科素养几何直观.EPS" \* MERGEFORMATINET 如图，如果一点在由两条有公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，那么这点叫做这条折线的“折中点”．如果点D是折线
A－C－B的“折中点”，请解答以下问题：
(1)已知AC＝m, BC＝n.当m>n时，点D在线段________上；当m＝n时，点D与________重合；当m
八、(本题满分14分)
23．【2023·合肥瑶海区期末】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“2倍点”．
(1)线段的中点________这条线段的“2倍点”；(填“是”或“不是”)
(2)若AB＝15，点C是线段AB的“2倍点”，求AC的长；
(3)如图②，已知AB＝20 cm.动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速移动．动点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，移动停止，设移动的时间为t s，当
t＝________时，点Q恰好是线段AP的“2倍点”．(请直接写出答案)
答案
一、1．D 点拨：A.有5个面；B.有4个面；C.有5个面，D.有2个面，故D
正确．
2．C 点拨：以A为一个端点的线段有AB，AC，AD，共3条．
3．A 点拨：B.射线MN和射线NM是不同的两条射线，故B错误；C.射线没有长度，故C错误；D.点A到点B的距离是线段AB的长度，故D错误．
4．C 5．B
6．A 点拨：因为∠BOC＝90°，∠AOB＝60°，所以∠AOC＝∠BOC－∠AOB＝
90°－60°＝30°，所以∠AOD＝∠COD－∠AOC＝45°－30°＝15°.
7．C 点拨：根据题意得∠AOB＝45°＋75°＝120°，故选C.
8．C 点拨：如图①，当点C在线段AB的延长线上时，
因为BC＝12，点M是线段BC的中点，所以MB＝BC＝6，
因为AB＝8，所以AM＝6＋8＝14.
如图②，当点C在线段BA的延长线上时，
因为BC＝12，点M是线段BC的中点，所以MB＝BC＝6.
因为AB＝8，所以AM＝8－6＝2.
9．D 点拨：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，
因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD＝∠BOD＝∠AOC＝∠BOC，
所以∠AOD＝∠AOB＝∠BOC，所以∠BOC＝∠AOD，故选D.
10．D 点拨：因为OE平分∠AOC，OG平分∠EOF，
所以∠EOC ＝∠AOE，∠EOG＝∠GOF.
因为∠BOC＝48°，所以∠AOE＝＝66°，
所以∠EOG＝∠GOF＝∠AOG＋66°.
因为OF⊥AB，所以∠AOF＝90°.
所以∠AOG＋∠GOF＝∠AOG＋∠AOG＋66°＝90°，所以∠AOG＝12°.
二、11．31° 点拨：根据题意得180°－∠α＝5∠β，因为∠α＝25°，所以∠β＝31°.
12．55° 点拨：由题意，得∠AOB＝70°.所以∠BOC＝110°.
因为OD是∠BOC的平分线，所以∠BOD＝∠BOC＝55°.
13．4 点拨：因为C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，
所以AD＝DC＝AC，AC＝BC＝AB.
因为AD＋AC＋AB＋DC＋DB＋CB＝26，
所以AD＋2AD＋4AD＋AD＋3AD＋2AD＝26，
解得AD＝2，所以AC＝2AD＝4.
14．90°－α ；α或180°－α
点拨：因为OC为∠AOE的平分线，所以∠COE＝∠AOC，
因为∠AOE＋∠BOE＝180°，∠BOE＝α，所以∠AOE＝180°－α，
所以∠COE＝(180°－α)＝90°－α.
当射线OD，OE在直线AB的同侧时，
如图①所示，
INCLUDEPICTURE"7D+3.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7D+3.EPS" \* MERGEFORMATINET
因为∠DOE＝90°，所以∠COD＝∠DOE＋∠COE＝90°＋90°－α＝180°－α.
当射线OD，OE在直线AB的异侧时，如图②所示，
INCLUDEPICTURE"7D+4.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7D+4.EPS" \* MERGEFORMATINET
因为∠DOE＝90°，所以∠COD＝∠DOE－∠COE＝90°－(90°－α )＝α.
综上所述，∠COD＝α或180°－α.
三、15．解：180°－25°24′35″×2－40°35′25″×2＝
180°－(25°24′35″＋40°35′25″)×2＝180°－66°×2＝180°－132°＝48°.
16．解：(1)26 点拨：题图①中图形的周长为10，10＝2×(3＋1)＋2，
题图②中图形的周长为14，14＝2×(5＋1)＋2，
题图③中图形的周长为18，18＝2×(7＋1)＋2，
题图④中图形的周长为22，22＝2×(9＋1)＋2，
所以图⑤中图形的周长为2×(11＋1)＋2＝26.
(2)由(1)可得，图INCLUDEPICTURE"字母圈n.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\字母圈n.EPS" \* MERGEFORMATINET 中图形的周长为2×(2n＋1＋1)＋2＝4n＋6，
所以4n＋6＝58，解得n＝13，所以这幅图形是第13幅图．
四、17．解：(1)如图所示．(2)如图所示．
18．解：(1)因为点D是线段BC的中点，CD＝4，所以BC＝2CD＝8.
因为BC＝4AB，所以AB＝2，所以AC＝AB＋BC＝10，即AC的长度是10.
(2)因为点E是线段AC的中点，
所以EC＝AC＝5，所以ED＝EC－DC＝5－4＝1，即ED的长度是1.
五、19．解：设∠COE＝x，
因为∠BOE＝3∠COE，所以∠BOE＝3x，所以∠BOC＝4x.
因为∠DOE＝81°，所以∠DOC＝81°－x，
因为OD平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠DOC＝2(81°－x)，
所以2(81°－x)＋4x＝180°，解得x＝9°，
所以∠BOE＝27°，∠AOD＝∠DOC＝81°－9°＝72°.
20．解：设DE＝x mm，
因为DE＝AB，所以AB＝2DE＝2x mm，
因为AB∶CD＝2∶3，所以CD＝3x mm，
因为C是BD的中点，所以BC＝CD＝3x mm.
因为AE＝330 mm，
所以2x＋3x＋3x＋x＝330，所以x＝，所以3x＝3×＝110.
所以标签CD的高度为110 mm.
六、21．解：(1)因为∠AOB＝90°，∠AOC＝60°，
所以∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋60°＝150°.
因为ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
所以∠COM＝∠BOC＝×150°＝75°，∠CON＝∠AOC＝×60°＝30°，
所以∠MON＝∠COM－∠CON＝75°－30°＝45°.
(2)①x 点拨：因为ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，
所以∠NOC＝∠AOC，∠MOC＝∠BOC，
所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(∠BOC－∠AOC)＝∠AOB＝x°.
所以y＝x.
②根据题意，得x＋y＝156，
所以x＋x＝156，解得x＝104，所以∠MON＝×104°＝52°.
七、22．解：(1)AC；点C；BC
(2)分两种情况：
当AC>BC时，折线A－C－B的“折中点”D在线段AC上，如图①，
INCLUDEPICTURE"7D+7.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\马银钏\\3.完成半本\\2. 23秋 典中点 7 数学 HK安徽（马银钏\\7D+7.EPS" \* MERGEFORMATINET
因为E为线段AC的中点，
所以AE＝CE＝4，
又因为CD＝3，
所以DE＝CE－CD＝4－3＝1.
因为D是折线A－C－B的“折中点”，
所以BC＋CD＝AD＝AE＋DE＝5，
所以CB＝5－3＝2.
当AC
因为E为线段AC的中点，
所以AC＝2EC＝8，
又因为CD＝3，
所以CD＋AC＝3＋8＝11.
因为D是折线A－C－B的“折中点”，
所以BD＝11，
所以BC＝BD＋CD＝11＋3＝14.
八、23．解：(1)是
(2)当AB＝2AC，即点C是AB的中点时，AC＝AB＝7.5；
当BC＝2AC时，设AC＝x，则BC＝2x，
所以x＋2x＝15，解得x＝5，即AC＝5；
当AC＝2BC时，设BC＝y，则AC＝2y，
所以y＋2y＝15，解得y＝5，所以AC＝10.综上，AC的长为7.5或5或10.
(3)10或 点拨：由题意知AP＝2t cm，BQ＝t cm，
当AQ＝PQ时，20－t＝2t－(20－t)，解得t＝10.
当AQ＝2PQ时，20－t＝2[2t－(20－t)]，解得t＝.
当PQ＝2AQ时，2t－(20－t)＝2(20－t)，解得t＝12(不符合题意，舍去)，
所以t＝10或.
